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10.若x,y互为相反数，p,q互为倒数，则
$(x+y)-2pq$的值是________。
$(x+y)-2pq$的值是________。
答案
10. $-2$
解析
【分析】
解题时先回忆相反数和倒数的相关性质，第一步，根据“互为相反数的两个数之和为0”，可以得到x+y的值；第二步，根据“互为倒数的两个数的乘积为1”，可以得到pq的值；第三步，把得到的x+y和pq的值代入所求的代数式，按照有理数的运算规则计算就能得出结果。
【解析】
解：
∵x、y互为相反数，根据相反数的性质，互为相反数的两数和为0，
∴$x+y=0$，
又
∵p、q互为倒数，根据倒数的性质，互为倒数的两数乘积为1，
∴$pq=1$，
将$x+y=0$，$pq=1$代入代数式$(x+y)-2pq$中，得：
原式=$0 - 2×1 = 0 - 2 = -2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；有理数混合运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的核心是熟练掌握相反数和倒数的性质，将性质转化为数值代入式子计算即可，解题时注意运算符号不要出错。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆相反数和倒数的相关性质，第一步，根据“互为相反数的两个数之和为0”，可以得到x+y的值；第二步，根据“互为倒数的两个数的乘积为1”，可以得到pq的值；第三步，把得到的x+y和pq的值代入所求的代数式，按照有理数的运算规则计算就能得出结果。
【解析】
解：
∵x、y互为相反数，根据相反数的性质，互为相反数的两数和为0，
∴$x+y=0$，
又
∵p、q互为倒数，根据倒数的性质，互为倒数的两数乘积为1，
∴$pq=1$，
将$x+y=0$，$pq=1$代入代数式$(x+y)-2pq$中，得：
原式=$0 - 2×1 = 0 - 2 = -2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；有理数混合运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的核心是熟练掌握相反数和倒数的性质，将性质转化为数值代入式子计算即可，解题时注意运算符号不要出错。
【难度系数】
0.9
11.(1)若$a+b＞0,ab＜0$,且$|a|＞|b|$,则
a
(2)若$a+b＞0,ab＞0$,则a
b
a
＞
0,b＜
0;(2)若$a+b＞0,ab＞0$,则a
＞
0,b
＞
0。答案
11.(1)＞ ＜ (2)＞ ＞
解析
【分析】
解题时先根据乘法运算的符号规律判断两数的同异号情况，再结合加法运算的符号规律以及绝对值的大小关系，最终确定两个数的正负：
(1) 先由$ab＜0$可得$a$、$b$异号，再结合$a+b＞0$且$|a|＞|b|$，根据异号两数相加的符号规律，和的符号与绝对值更大的数一致，即可判断$a$、$b$的正负；
(2) 先由$ab＞0$可得$a$、$b$同号，再结合$a+b＞0$，即可排除两数均为负的情况，得到两数均为正。
【解析】
(1) 因为$ab＜0$，根据有理数乘法“同号得正，异号得负”的法则，可知$a$和$b$异号；
又因为$a+b＞0$，且$|a|＞|b|$，根据异号两数相加的规则：绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，因此和为正说明绝对值更大的$a$是正数，即$a＞0$，与$a$异号的$b$为负数，即$b＜0$。
(2) 因为$ab＞0$，根据有理数乘法法则，可知$a$和$b$同号，即要么同时为正，要么同时为负；
又因为$a+b＞0$，若$a$、$b$同时为负，两负数相加和必为负数，与$a+b＞0$矛盾，因此$a$、$b$只能同时为正，即$a＞0$，$b＞0$。
【答案】
(1)＞；＜ (2)＞；＞
【知识点】
1.有理数乘法符号法则
2.有理数加法法则
3.绝对值的性质
【点评】
本题是有理数运算符号判断的基础题型，核心是熟练掌握有理数乘、加法的符号规律，解题时先通过乘法判断两数的同异号，再结合加法条件即可快速确定两数的正负。
【难度系数】
0.8
解题时先根据乘法运算的符号规律判断两数的同异号情况，再结合加法运算的符号规律以及绝对值的大小关系，最终确定两个数的正负：
(1) 先由$ab＜0$可得$a$、$b$异号，再结合$a+b＞0$且$|a|＞|b|$，根据异号两数相加的符号规律，和的符号与绝对值更大的数一致，即可判断$a$、$b$的正负；
(2) 先由$ab＞0$可得$a$、$b$同号，再结合$a+b＞0$，即可排除两数均为负的情况，得到两数均为正。
【解析】
(1) 因为$ab＜0$，根据有理数乘法“同号得正，异号得负”的法则，可知$a$和$b$异号；
又因为$a+b＞0$，且$|a|＞|b|$，根据异号两数相加的规则：绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，因此和为正说明绝对值更大的$a$是正数，即$a＞0$，与$a$异号的$b$为负数，即$b＜0$。
(2) 因为$ab＞0$，根据有理数乘法法则，可知$a$和$b$同号，即要么同时为正，要么同时为负；
又因为$a+b＞0$，若$a$、$b$同时为负，两负数相加和必为负数，与$a+b＞0$矛盾，因此$a$、$b$只能同时为正，即$a＞0$，$b＞0$。
【答案】
(1)＞；＜ (2)＞；＞
【知识点】
1.有理数乘法符号法则
2.有理数加法法则
3.绝对值的性质
【点评】
本题是有理数运算符号判断的基础题型，核心是熟练掌握有理数乘、加法的符号规律，解题时先通过乘法判断两数的同异号，再结合加法条件即可快速确定两数的正负。
【难度系数】
0.8
12.【数学应用】规定“*”是一种运算符号，且$a*b = ab - 2a$，则$4*(-2*3) = $
-16
。答案
12. $-16$
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题时需遵循有理数运算顺序，先计算括号内的运算，再计算括号外的运算。首先明确新运算规则$a*b = ab - 2a$，计算时将对应位置的数值代入公式即可，代入时要注意数值的符号不要出错。
【解析】
第一步：先计算括号内的$-2*3$，此时对应新运算中的$a=-2$，$b=3$，代入公式得：
$\begin{aligned}-2*3&=(-2)×3 - 2×(-2)\\&=-6 + 4\\&=-2\end{aligned}$
第二步：计算$4*(-2)$，此时对应新运算中的$a=4$，$b=-2$，代入公式得：
$\begin{aligned}4*(-2)&=4×(-2) - 2×4\\&=-8 - 8\\&=-16\end{aligned}$
【答案】
$-16$
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算，有理数乘法运算
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和有理数混合运算的能力，解题核心是严格遵循给定的运算规则和运算顺序，代入数值计算时需格外注意符号的处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题目，解题时需遵循有理数运算顺序，先计算括号内的运算，再计算括号外的运算。首先明确新运算规则$a*b = ab - 2a$，计算时将对应位置的数值代入公式即可，代入时要注意数值的符号不要出错。
【解析】
第一步：先计算括号内的$-2*3$，此时对应新运算中的$a=-2$，$b=3$，代入公式得：
$\begin{aligned}-2*3&=(-2)×3 - 2×(-2)\\&=-6 + 4\\&=-2\end{aligned}$
第二步：计算$4*(-2)$，此时对应新运算中的$a=4$，$b=-2$，代入公式得：
$\begin{aligned}4*(-2)&=4×(-2) - 2×4\\&=-8 - 8\\&=-16\end{aligned}$
【答案】
$-16$
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算，有理数乘法运算
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和有理数混合运算的能力，解题核心是严格遵循给定的运算规则和运算顺序，代入数值计算时需格外注意符号的处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
13.【数学应用】某儿童服装店老板以每件32元的价格购进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全相同，若以每件47元为标准价，将超过的钱数记为正数，不足的钱数记为负数，记录结果如下表所示。
该服装店老板在售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？
该服装店老板在售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？
答案
13. 解:以每件47元为标准,30件连衣裙总销售额的增减量为 $7×(+3)+6×(+2)+3×(+1)+5×0+4×(-1)+5×(-2)=21+12+3+0-4-10=22$(元)。
$47×30+22-32×30=472$(元),
所以赚了472元。
$47×30+22-32×30=472$(元),
所以赚了472元。
解析
【分析】
要计算售完连衣裙后赚的钱，首先明确利润=总销售额-总成本。首先总成本可通过进价乘进货总量直接算出；总销售额以47元为标准价，可先计算所有连衣裙售价相对标准价的总增减量，再加上标准价下的总销售额得到实际总销售额，最后用总销售额减去总成本即可得到最终利润。
【解析】
第一步：计算30件连衣裙总销售额相对标准价的增减量：
$\begin{aligned}&7×(+3)+6×(+2)+3×(+1)+5×0+4×(-1)+5×(-2)\\=&21+12+3+0-4-10\\=&22(\mathrm{元})\end{aligned}$
第二步：计算总利润，即实际总销售额减去总成本：
$\begin{aligned}&47×30+22-32×30\\=&1410+22-960\\=&472(\mathrm{元})\end{aligned}$
【答案】
472元
【知识点】
正负数的实际应用，有理数混合运算，利润计算
【点评】
本题结合生活中的销售场景考查数学知识的应用，解题核心是理解正负数表示的差价含义，准确计算总增减量，再结合利润的计算方法求解，计算时注意符号避免出错。
【难度系数】
0.7
要计算售完连衣裙后赚的钱，首先明确利润=总销售额-总成本。首先总成本可通过进价乘进货总量直接算出；总销售额以47元为标准价，可先计算所有连衣裙售价相对标准价的总增减量，再加上标准价下的总销售额得到实际总销售额，最后用总销售额减去总成本即可得到最终利润。
【解析】
第一步：计算30件连衣裙总销售额相对标准价的增减量：
$\begin{aligned}&7×(+3)+6×(+2)+3×(+1)+5×0+4×(-1)+5×(-2)\\=&21+12+3+0-4-10\\=&22(\mathrm{元})\end{aligned}$
第二步：计算总利润，即实际总销售额减去总成本：
$\begin{aligned}&47×30+22-32×30\\=&1410+22-960\\=&472(\mathrm{元})\end{aligned}$
【答案】
472元
【知识点】
正负数的实际应用，有理数混合运算，利润计算
【点评】
本题结合生活中的销售场景考查数学知识的应用，解题核心是理解正负数表示的差价含义，准确计算总增减量，再结合利润的计算方法求解，计算时注意符号避免出错。
【难度系数】
0.7
14.已知a的倒数是它本身，b是－10的相反数，负数c的绝对值是8，求4a－b＋3c的值。
答案
14. 解:由已知条件得 $a=\pm1,b=10,c=-8$,
所以 $4a-b+3c=4×1-10+3×(-8)=-30$,
或 $4a-b+3c=4×(-1)-10+3×(-8)=-38$。
所以 $4a-b+3c=4×1-10+3×(-8)=-30$,
或 $4a-b+3c=4×(-1)-10+3×(-8)=-38$。
解析
【分析】
解题时先根据题目给出的三个条件分别求出a、b、c的取值：①回忆倒数的性质，倒数等于自身的数只有1和-1，即可确定a的两个可能值；②根据相反数的定义，求-10的相反数得到b的值；③根据绝对值的性质，绝对值为8的数有±8，结合c是负数的限制条件确定c的值；最后将a的两种取值分别代入代数式4a－b＋3c计算，即可得到结果。
【解析】
解：根据题意分别推导a、b、c的取值：
1. 因为a的倒数是它本身，所以a=1或a=-1；
2. 因为b是-10的相反数，所以b=-(-10)=10；
3. 因为负数c的绝对值是8，即$\vert c\vert=8$，且$c＜0$，所以$c=-8$。
分两种情况代入代数式计算：
① 当$a=1$时：
$4a-b+3c=4×1-10+3×(-8)=4-10-24=-30$
② 当$a=-1$时：
$4a-b+3c=4×(-1)-10+3×(-8)=-4-10-24=-38$
【答案】
-30或-38
【知识点】
倒数的定义；相反数的定义；绝对值的性质
【点评】
本题主要考查有理数基础概念的应用，解题关键是根据相关概念准确求出各字母的取值，注意不要遗漏a有两个取值的情况，同时要留意c的符号限制，避免因取值错误导致计算出错。
【难度系数】
0.7
解题时先根据题目给出的三个条件分别求出a、b、c的取值：①回忆倒数的性质，倒数等于自身的数只有1和-1，即可确定a的两个可能值；②根据相反数的定义，求-10的相反数得到b的值；③根据绝对值的性质，绝对值为8的数有±8，结合c是负数的限制条件确定c的值；最后将a的两种取值分别代入代数式4a－b＋3c计算，即可得到结果。
【解析】
解：根据题意分别推导a、b、c的取值：
1. 因为a的倒数是它本身，所以a=1或a=-1；
2. 因为b是-10的相反数，所以b=-(-10)=10；
3. 因为负数c的绝对值是8，即$\vert c\vert=8$，且$c＜0$，所以$c=-8$。
分两种情况代入代数式计算：
① 当$a=1$时：
$4a-b+3c=4×1-10+3×(-8)=4-10-24=-30$
② 当$a=-1$时：
$4a-b+3c=4×(-1)-10+3×(-8)=-4-10-24=-38$
【答案】
-30或-38
【知识点】
倒数的定义；相反数的定义；绝对值的性质
【点评】
本题主要考查有理数基础概念的应用，解题关键是根据相关概念准确求出各字母的取值，注意不要遗漏a有两个取值的情况，同时要留意c的符号限制，避免因取值错误导致计算出错。
【难度系数】
0.7
15.【数学游戏】有一数值转换器，原理如图所示。若开始输入的x的值是5，可发现第1次输出的结果是8，第2次输出的结果是4……则第2026次输出的结果是
1
。答案
15. 1
解析
【分析】
遇到这类数值转换器的规律题，解题思路分为三步：第一步先明确转换器的运算规则，输入奇数则输出x+3，输入偶数则输出$\frac{1}{2}x$，输出结果作为下一次的输入；第二步从初始输入开始依次计算前几次的输出结果，直到找到重复出现的结果，确定循环周期；第三步用总次数减去循环前的次数，除以周期长度，根据余数判断对应周期内的结果即可。
【解析】
我们先依次计算前几次的输出结果：
第1次：输入x=5（奇数），输出$5+3=8$；
第2次：输入x=8（偶数），输出$\frac{1}{2}×8=4$；
第3次：输入x=4（偶数），输出$\frac{1}{2}×4=2$；
第4次：输入x=2（偶数），输出$\frac{1}{2}×2=1$；
第5次：输入x=1（奇数），输出$1+3=4$；
第6次：输入x=4，输出2；
第7次：输入x=2，输出1；
……
观察可得：除第1次输出的8外，从第2次开始，输出结果以“4、2、1”为一个周期循环，周期长度为3。
计算第2026次输出对应的循环位置：
去掉第1次不参与循环的结果，剩余次数为$2026-1=2025$
$2025÷3=675$，刚好整除，说明第2026次输出的是周期的最后一个数1。
【答案】
1
【知识点】
有理数运算，周期规律探究
【点评】
本题结合数值转换器考查规律探索能力，需要先按照运算规则推导前几次结果找到循环周期，再利用周期计算对应位置的结果，解题的关键是准确找到循环规律。
【难度系数】
0.7
遇到这类数值转换器的规律题，解题思路分为三步：第一步先明确转换器的运算规则，输入奇数则输出x+3，输入偶数则输出$\frac{1}{2}x$，输出结果作为下一次的输入；第二步从初始输入开始依次计算前几次的输出结果，直到找到重复出现的结果，确定循环周期；第三步用总次数减去循环前的次数，除以周期长度，根据余数判断对应周期内的结果即可。
【解析】
我们先依次计算前几次的输出结果：
第1次：输入x=5（奇数），输出$5+3=8$；
第2次：输入x=8（偶数），输出$\frac{1}{2}×8=4$；
第3次：输入x=4（偶数），输出$\frac{1}{2}×4=2$；
第4次：输入x=2（偶数），输出$\frac{1}{2}×2=1$；
第5次：输入x=1（奇数），输出$1+3=4$；
第6次：输入x=4，输出2；
第7次：输入x=2，输出1；
……
观察可得：除第1次输出的8外，从第2次开始，输出结果以“4、2、1”为一个周期循环，周期长度为3。
计算第2026次输出对应的循环位置：
去掉第1次不参与循环的结果，剩余次数为$2026-1=2025$
$2025÷3=675$，刚好整除，说明第2026次输出的是周期的最后一个数1。
【答案】
1
【知识点】
有理数运算，周期规律探究
【点评】
本题结合数值转换器考查规律探索能力，需要先按照运算规则推导前几次结果找到循环周期，再利用周期计算对应位置的结果，解题的关键是准确找到循环规律。
【难度系数】
0.7
