1. 如图,抛物线$y=ax^2+bx+4(a＜0)$与$x$轴交于点$A$和点$B$,与$y$轴交于点$C$,过点$C$作$CD ⊥ y$轴,交抛物线于点$D$,且$OC=OB=2OA$.
(1)求抛物线的表达式.
(2)如图,抛物线对称轴上是否存在一点$E$,使$△ BDE$为等腰三角形?若存在,请求出点$E$的坐标;若不存在,请说明理由.

1. (1)当x=0时,y=4,
∴ C(0,4).
∵ OC=OB=2OA,
∴ B(-4,0),A(2,0),分别将B(-4,0),A(2,0)代入$y=ax^2+bx+4(a＜0)$得
$\begin{cases}4a+2b+4=0,\\16a-4b+4=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2},\\b=-1,\end{cases}$
∴ $y=-\dfrac{1}{2}x^2-x+4$.
(2)存在.设CD交对称轴于M,设AB交对称轴于N,$y=-\dfrac{1}{2}x^2-x+4$对称轴为直线$x=\dfrac{2-4}{2}=-1$,则M(-1,4),N(-1,0).设E点纵坐标为t,则E(-1,t).
∵ 过点C作CD⊥y轴,交抛物线于点D,
∴ C,D关于直线x=-1对称,
∴ D(-2,4).当BE=DE时,如图①,则$DM^2+EM^2=BN^2+EN^2$,即$1+(4-t)^2=9+t^2$,解得t=1,即E(-1,1);当BD=DE时,如图②,③,则$BD^2=DM^2+EM^2$.
∵ B(-4,0),D(-2,4),
∴ $BD^2=[-4-(-2)]^2+(0-4)^2=20$,即$20=1+(4-t)^2$,解得$t=4±\sqrt{19}$,即$E(-1,4+\sqrt{19})$或$E(-1,4-\sqrt{19})$;当BE=BD时,如图④,⑤,则$BD^2=BN^2+EN^2$,即$20=9+t^2$,解得$t=±\sqrt{11}$,即$E(-1,\sqrt{11})$或$E(-1,-\sqrt{11})$.
综上所述,点E的坐标为$(-1,1)$或$(-1,4+\sqrt{19})$或$(-1,4-\sqrt{19})$或$(-1,\sqrt{11})$或$(-1,-\sqrt{11})$.

【分析】
(1) 先求抛物线与y轴交点C的坐标，结合OC=OB=2OA推导得到A、B两点的坐标，再将A、B坐标代入抛物线解析式，解二元一次方程组求出a、b的值，即可得到抛物线表达式。
(2) 先求出抛物线的对称轴，再根据抛物线对称性得到D点坐标；设对称轴上点E的坐标为(-1,t)，分三种情况讨论△BDE为等腰三角形：①BE=DE，②BD=DE，③BE=BD，分别利用两点间距离公式列方程求解t的值，即可得到所有符合条件的E点坐标，注意分类时不要漏解。
【解析】
(1) 当x=0时，代入$y=ax^2+bx+4$得y=4，$\therefore$ C(0,4)，OC=4。
$\because$ OC=OB=2OA，$\therefore$ OB=4，OA=2，结合点在坐标轴上的位置可得B(-4,0)，A(2,0)。
将B(-4,0)、A(2,0)代入$y=ax^2+bx+4(a＜0)$得：
$\begin{cases}4a+2b+4=0\\16a-4b+4=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2}\\b=-1\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2-x+4$。
(2) 存在，理由如下：
抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2-x+4$的对称轴为直线$x=\dfrac{2+(-4)}{2}=-1$。
$\because$ CD⊥y轴，C、D都在抛物线上，$\therefore$ C、D关于对称轴直线x=-1对称，已知C(0,4)，可得D(-2,4)。
设对称轴上点E的坐标为(-1,t)，分三种情况讨论：
① 当BE=DE时，如图①，由两点间距离公式得：
$1+(4-t)^2=9+t^2$，解得t=1，即E(-1,1)；
② 当BD=DE时，如图②、③，先计算$BD^2=[-4-(-2)]^2+(0-4)^2=20$，
$\therefore 20=1+(4-t)^2$，解得$t=4\pm\sqrt{19}$，即$E(-1,4+\sqrt{19})$或$E(-1,4-\sqrt{19})$；

③ 当BE=BD时，如图④、⑤，可得$20=9+t^2$，解得$t=\pm\sqrt{11}$，即$E(-1,\sqrt{11})$或$E(-1,-\sqrt{11})$。

综上即可得到所有符合条件的E点坐标。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{2}x^2-x+4$
(2) 存在，点E的坐标为$(-1,1)$或$(-1,4+\sqrt{19})$或$(-1,4-\sqrt{19})$或$(-1,\sqrt{11})$或$(-1,-\sqrt{11})$。

【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 等腰三角形分类讨论
3. 两点间距离公式
【点评】
本题是二次函数与等腰三角形的综合题，第一问属于基础题，考查二次函数与坐标轴交点的求法及待定系数法的应用；第二问重点考查分类讨论思想，解题时需对等腰三角形腰和底的三种情况分别讨论，避免漏解，同时需要熟练运用两点间距离公式列方程求解，对运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.55

2. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $ L_1:y=-2x^2+bx+c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A(-1,0),B $ 两点(点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧),与 $ y $ 轴交于点 $ C $,对称轴为直线 $ l:x=1 $.
(1)求 $ b,c $ 的值;
(2)将抛物线 $ L_1 $ 向下平移 $ m $ 个单位长度($ m＞0 $)得到新抛物线 $ L_2 $,新抛物线 $ L_2 $ 的顶点为点 $ P $,抛物线 $ L_2 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ Q $,如果 $ △ CPQ $ 是等腰三角形,求抛物线 $ L_2 $ 的函数表达式.

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2. (1)由题意得$\dfrac{b}{-2×(-2)}=1$,
∴ b=4.将(-1,0)代入$y=-2x^2+4x+c$中,得$-2-4+c=0$,解得c=6.
(2)由(1)可得抛物线$L_1$的函数表达式为$y=-2x^2+4x+6=-2(x-1)^2+8$,
∴ C(0,6).由题意可知抛物线$L_2$的函数表达式为$y=-2(x-1)^2+8-m$,其中m＞0,则抛物线$L_2$的顶点坐标为P(1,8-m),点Q的坐标为(0,6-m),
∴ $CP^2=1+(8-m-6)^2$,$CQ^2=m^2$,$PQ^2=1+2^2=5$.
如图,分情况讨论:

①如图①,当CP=PQ时,$1+(8-m-6)^2=5$,解得m=4或m=0(舍去),
∴ 抛物线$L_2$的函数表达式为$y=-2(x-1)^2+4$;
②如图②,当CP=CQ时,$1+(8-m-6)^2=m^2$,解得$m=\dfrac{5}{4}$,
∴ 抛物线$L_2$的函数表达式为$y=-2(x-1)^2+\dfrac{27}{4}$;
③如图③,当CQ=PQ时,$m^2=5$,解得$m_1=\sqrt{5}$,$m_2=-\sqrt{5}$(舍去),
∴ 抛物线$L_2$的函数表达式为$y=-2(x-1)^2+8-\sqrt{5}$.综上,抛物线$L_2$的表达式为$y=-2(x-1)^2+4$或$y=-2(x-1)^2+\dfrac{27}{4}$或$y=-2(x-1)^2+8-\sqrt{5}$.

【分析】
(1) 求二次函数系数b、c时，先利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，结合已知对称轴$x=1$、$a=-2$即可求出b；再将点A(-1,0)代入含b的抛物线解析式，即可求出c的值。
(2) 首先将$L_1$化为顶点式，根据抛物线“上加下减”的平移规律写出平移后$L_2$的解析式，得到顶点P、y轴交点Q的坐标，结合点C的坐标，用两点距离公式的平方形式表示出$△ CPQ$三边的平方，再分CP=PQ、CP=CQ、CQ=PQ三种等腰三角形的情况列方程求解m，舍去不符合$m＞0$的解后，即可得到$L_2$的解析式。
【解析】
(1) 抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$a=-2$，对称轴为$x=1$，因此：
$\frac{b}{-2×(-2)}=1$，解得$b=4$。
将点A(-1,0)代入$y=-2x^2+4x+c$中，得：
$-2×(-1)^2 +4×(-1)+c=0$，即$-2-4+c=0$，解得$c=6$。
(2) 由(1)可得抛物线$L_1$的解析式为$y=-2x^2+4x+6$，化为顶点式为$y=-2(x-1)^2+8$，因此$L_1$与y轴交点C的坐标为(0,6)。
将$L_1$向下平移m个单位（$m＞0$）得到$L_2$，则$L_2$的解析式为$y=-2(x-1)^2+8-m$，因此$L_2$的顶点P坐标为(1,8-m)，$L_2$与y轴交点Q的坐标为(0,6-m)。
根据两点间距离公式，可得三边的平方：
$CP^2=(1-0)^2+(8-m-6)^2=1+(2-m)^2$，
$CQ^2=(0-0)^2+(6-(6-m))^2=m^2$，
$PQ^2=(1-0)^2+(8-m-(6-m))^2=1+2^2=5$。
分三种情况讨论：
① 当CP=PQ时，$CP^2=PQ^2$，即$1+(2-m)^2=5$，解得$m=4$或$m=0$，因为$m＞0$，舍去$m=0$，此时$L_2$的解析式为$y=-2(x-1)^2+4$；

② 当CP=CQ时，$CP^2=CQ^2$，即$1+(2-m)^2=m^2$，展开整理得$5-4m=0$，解得$m=\frac{5}{4}$，此时$L_2$的解析式为$y=-2(x-1)^2+\frac{27}{4}$；

③ 当CQ=PQ时，$CQ^2=PQ^2$，即$m^2=5$，解得$m_1=\sqrt{5}$，$m_2=-\sqrt{5}$，因为$m＞0$，舍去$m_2=-\sqrt{5}$，此时$L_2$的解析式为$y=-2(x-1)^2+8-\sqrt{5}$。

【答案】
(1) $b=4$，$c=6$；
(2) 抛物线$L_2$的函数表达式为$y=-2(x-1)^2+4$或$y=-2(x-1)^2+\dfrac{27}{4}$或$y=-2(x-1)^2+8-\sqrt{5}$。

【知识点】
二次函数的性质，二次函数的平移，等腰三角形的判定
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，解题核心是熟练掌握二次函数的对称轴公式、平移规律，以及等腰三角形分类讨论的思想，用坐标表示线段长度时采用平方形式可简化计算，同时要注意结合参数的取值范围舍去不合题意的解。
【难度系数】
0.6