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12.如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系$xOy$,$△ ABC$的顶点和$A_1$均为格点(网格线的交点)。已知点$A$和$A_1$的坐标分别为$(-1,-3)$和$(2,6)$。
(1)在所给的网格图中描出边$AB$的中点$D$,并写出点$D$的坐标；
(2)以点$O$为位似中心,将$△ ABC$放大得到$△ A_1B_1C_1$,使得点$A$的对应点为$A_1$,请在所给的网格图中画出$△ A_1B_1C_1$。
(1)在所给的网格图中描出边$AB$的中点$D$,并写出点$D$的坐标；
(2)以点$O$为位似中心,将$△ ABC$放大得到$△ A_1B_1C_1$,使得点$A$的对应点为$A_1$,请在所给的网格图中画出$△ A_1B_1C_1$。
答案
12.解:(1)如图,点D即为所求。
由图可得,点D的坐标为$(-2,-1)$。
(2)如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求。
解析
【分析】
(1) 要求AB的中点D，首先需从网格中读取点B的坐标，结合已知的点A坐标，利用中点坐标公式计算D的坐标，再在网格中描出对应点即可。
(2) 要画以O为位似中心、A对应A1的位似图形△A1B1C1，首先根据A和A1的坐标计算位似比，明确原点为位似中心时的坐标变换规律，再求出B、C对应点B1、C1的坐标，描点后顺次连接即可得到所求三角形。
【解析】
(1) 观察网格可知点B的坐标为$(-3,1)$，已知$A(-1,-3)$，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则它们的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
代入A、B坐标计算D点坐标：
横坐标：$\frac{-1+(-3)}{2}=-2$，纵坐标：$\frac{-3+1}{2}=-1$，即$D(-2,-1)$，在网格中描出该点即可。
(2) 已知位似中心为原点$O$，对应点$A(-1,-3)$、$A_1(2,6)$，可得位似比$k=\frac{2}{-1}=\frac{6}{-3}=-2$，即位似变换规律为：原图形上点$(x,y)$的对应点坐标为$(-2x,-2y)$。
读取网格中点$C$的坐标为$(-2,2)$，结合$B(-3,1)$，计算对应点坐标：
$B_1$坐标：$(-2×(-3),-2×1)=(6,-2)$，$C_1$坐标：$(-2×(-2),-2×2)=(4,-4)$。
在网格中找到$A_1(2,6)$、$B_1(6,-2)$、$C_1(4,-4)$三个点，顺次连接三点，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
【答案】
(1) 如图,点D即为所求。点D的坐标为$(-2,-1)$。
(2) 如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求。
【知识点】
中点坐标计算，位似图形的性质，平面直角坐标系位似变换
【点评】
本题结合网格考查平面直角坐标系内的中点求解和位似作图，解题的核心是熟练掌握中点坐标公式、原点为位似中心时的坐标变化规律，作图时需准确读取格点坐标，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
(1) 要求AB的中点D，首先需从网格中读取点B的坐标，结合已知的点A坐标，利用中点坐标公式计算D的坐标，再在网格中描出对应点即可。
(2) 要画以O为位似中心、A对应A1的位似图形△A1B1C1，首先根据A和A1的坐标计算位似比，明确原点为位似中心时的坐标变换规律，再求出B、C对应点B1、C1的坐标，描点后顺次连接即可得到所求三角形。
【解析】
(1) 观察网格可知点B的坐标为$(-3,1)$，已知$A(-1,-3)$，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则它们的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
代入A、B坐标计算D点坐标：
横坐标：$\frac{-1+(-3)}{2}=-2$，纵坐标：$\frac{-3+1}{2}=-1$，即$D(-2,-1)$，在网格中描出该点即可。
(2) 已知位似中心为原点$O$，对应点$A(-1,-3)$、$A_1(2,6)$，可得位似比$k=\frac{2}{-1}=\frac{6}{-3}=-2$，即位似变换规律为：原图形上点$(x,y)$的对应点坐标为$(-2x,-2y)$。
读取网格中点$C$的坐标为$(-2,2)$，结合$B(-3,1)$，计算对应点坐标：
$B_1$坐标：$(-2×(-3),-2×1)=(6,-2)$，$C_1$坐标：$(-2×(-2),-2×2)=(4,-4)$。
在网格中找到$A_1(2,6)$、$B_1(6,-2)$、$C_1(4,-4)$三个点，顺次连接三点，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
【答案】
(1) 如图,点D即为所求。点D的坐标为$(-2,-1)$。
(2) 如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求。
【知识点】
中点坐标计算，位似图形的性质，平面直角坐标系位似变换
【点评】
本题结合网格考查平面直角坐标系内的中点求解和位似作图，解题的核心是熟练掌握中点坐标公式、原点为位似中心时的坐标变化规律，作图时需准确读取格点坐标，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
13.【综合与实践】在平面内,先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小,使所得多边形与原多边形对应线段的比为k,并且原多边形上的任一点P,它的对应点P'在线段OP或其延长线上;接着将所得多边形以点O为旋转中心,逆时针旋转一个角度θ,这种经过相似和旋转的图形变换叫作旋转相似变换,记为O(k,θ),其中点O叫作旋转相似中心,k叫作相似比,θ叫作旋转角。
根据上述材料,回答下列问题:
(1)填空:如图①,将△ABC以点A为旋转相似中心,放大为原来的2倍,再逆时针旋转60°,得到△ADE,这个旋转相似变换记为A(
(2)如图②,△ABC的边AB长为3 cm,将它作旋转相似变换A($\frac{4}{3}$,90°),得到△ADE,点D恰落在BC的延长线上,求线段BD的长。
根据上述材料,回答下列问题:
(1)填空:如图①,将△ABC以点A为旋转相似中心,放大为原来的2倍,再逆时针旋转60°,得到△ADE,这个旋转相似变换记为A(
2
,$60°$
);(2)如图②,△ABC的边AB长为3 cm,将它作旋转相似变换A($\frac{4}{3}$,90°),得到△ADE,点D恰落在BC的延长线上,求线段BD的长。
答案
13.(1)2 $60°$
(2)解:$\because △ ABC$作旋转相似变换A$(\frac{4}{3},90°)$,$\therefore AD = \frac{4}{3} × 3=4(\mathrm{cm})$,
$∠ BAD=90°$,
$\therefore BD=\sqrt{3^2+4^2}=5(\mathrm{cm})$。
(2)解:$\because △ ABC$作旋转相似变换A$(\frac{4}{3},90°)$,$\therefore AD = \frac{4}{3} × 3=4(\mathrm{cm})$,
$∠ BAD=90°$,
$\therefore BD=\sqrt{3^2+4^2}=5(\mathrm{cm})$。
解析
【分析】
(1) 首先明确旋转相似变换的记法规则：$O(k,θ)$中$k$是相似比，$θ$是旋转角。题目中图形放大为原来的2倍，因此相似比$k=2$，逆时针旋转角度为$60°$，即旋转角$θ=60°$，直接对应填空即可。
(2) 求$BD$的长度时，先根据旋转相似变换的定义提取两个关键信息：一是相似比为$\frac{4}{3}$，可得到对应边$AD$和$AB$的数量关系，算出$AD$的长度；二是旋转角为$90°$，可得$∠ BAD=90°$，即$△ BAD$是直角三角形，最后用勾股定理计算$BD$的长即可。
【解析】
(1) 根据旋转相似变换的记法，相似比为放大倍数2，旋转角为逆时针旋转的$60°$，因此变换记为$A(2,60°)$。
(2) 解：$\because △ ABC$作旋转相似变换$A(\frac{4}{3},90°)$得到$△ ADE$，
$\therefore$ 相似比为$\frac{4}{3}$，旋转角为$90°$，
$\therefore AD=\frac{4}{3}AB=\frac{4}{3}×3=4(\mathrm{cm})$，$∠ BAD=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BAD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{60°}$；
(2) $\boldsymbol{5\mathrm{cm}}$
【知识点】
新定义理解、旋转的性质、勾股定理
【点评】
本题结合新定义考查几何知识的应用，解题核心是准确理解旋转相似变换的含义，从中提取相似比、旋转角两个关键条件，再结合勾股定理求解即可，整体考查对新信息的理解和转化能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确旋转相似变换的记法规则：$O(k,θ)$中$k$是相似比，$θ$是旋转角。题目中图形放大为原来的2倍，因此相似比$k=2$，逆时针旋转角度为$60°$，即旋转角$θ=60°$，直接对应填空即可。
(2) 求$BD$的长度时，先根据旋转相似变换的定义提取两个关键信息：一是相似比为$\frac{4}{3}$，可得到对应边$AD$和$AB$的数量关系，算出$AD$的长度；二是旋转角为$90°$，可得$∠ BAD=90°$，即$△ BAD$是直角三角形，最后用勾股定理计算$BD$的长即可。
【解析】
(1) 根据旋转相似变换的记法，相似比为放大倍数2，旋转角为逆时针旋转的$60°$，因此变换记为$A(2,60°)$。
(2) 解：$\because △ ABC$作旋转相似变换$A(\frac{4}{3},90°)$得到$△ ADE$，
$\therefore$ 相似比为$\frac{4}{3}$，旋转角为$90°$，
$\therefore AD=\frac{4}{3}AB=\frac{4}{3}×3=4(\mathrm{cm})$，$∠ BAD=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BAD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{60°}$；
(2) $\boldsymbol{5\mathrm{cm}}$
【知识点】
新定义理解、旋转的性质、勾股定理
【点评】
本题结合新定义考查几何知识的应用，解题核心是准确理解旋转相似变换的含义，从中提取相似比、旋转角两个关键条件，再结合勾股定理求解即可，整体考查对新信息的理解和转化能力。
【难度系数】
0.7
