1.正方形的判定
（1）由定义判定：
① 的平行四边形是正方形。
② 的矩形是正方形。
③ 的菱形是正方形。
（2）由对角线判定：
①对角线 的矩形是正方形。
②对角线 的菱形是正方形。
总之既是 ，又是 的四边形是正方形。

1.(1)①有一组邻边相等,并且有一个角是直角
②有一组邻边相等
③有一个角是直角
(2)①互相垂直 ②相等 菱形 矩形

【分析】
本题考查正方形的判定相关基础概念，解题思路可结合正方形与平行四边形、矩形、菱形的从属关系推导：
1. 正方形是特殊的平行四边形，同时具备菱形和矩形的所有性质，因此判定平行四边形是正方形，需同时满足菱形和矩形的核心判定特征；
2. 矩形本身已具备“四个角为直角、对边相等”的特征，只需补充菱形的核心特征即可判定为正方形；菱形本身已具备“邻边相等、对角线垂直”的特征，只需补充矩形的核心特征即可判定为正方形；
3. 从对角线角度判定时，矩形的对角线天然相等，添加对角线垂直的条件就同时满足菱形对角线的特征，可判定为正方形；菱形的对角线天然垂直，添加对角线相等的条件就同时满足矩形对角线的特征，可判定为正方形；
4. 最终总结可知，正方形同时具备菱形和矩形的属性。
【解析】
(1)由定义判定：
① 平行四边形要成为正方形，需要同时满足菱形“邻边相等”和矩形“有一个角是直角”的特征，故填“有一组邻边相等，并且有一个角是直角”；
② 矩形已经满足有直角的特征，补充“有一组邻边相等”的条件就符合正方形的要求，故填“有一组邻边相等”；
③ 菱形已经满足邻边相等的特征，补充“有一个角是直角”的条件就符合正方形的要求，故填“有一个角是直角”；
(2)由对角线判定：
① 矩形的对角线本身相等，若对角线互相垂直，就同时满足菱形对角线的性质，故填“互相垂直”；
② 菱形的对角线本身互相垂直，若对角线相等，就同时满足矩形对角线的性质，故填“相等”；
综上，正方形同时具备菱形和矩形的性质，因此既是菱形，又是矩形的四边形是正方形，后两空依次填“菱形”“矩形”。
【答案】
1.(1)①有一组邻边相等，并且有一个角是直角
②有一组邻边相等
③有一个角是直角
(2)①互相垂直 ②相等 菱形 矩形
【知识点】
正方形的判定；矩形的性质；菱形的性质
【点评】
本题属于基础概念类填空题，重点考查特殊四边形之间的包含关系与判定逻辑，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的特征与判定定理是解决此类问题的核心，是特殊四边形模块的基础考点。
【难度系数】
0.9

2.顺次连接四边形各边中点所得的新四边形称为中点四边形，它的形状只与原四边形的对角线有关。
若原四边形的对角线相等，则中点四边形为；
若原四边形的对角线互相垂直，则中点四边形为；
若原四边形的对角线既互相垂直又相等，则中点四边形为。

2.菱形 矩形 正方形

【分析】
解决中点四边形相关问题的核心是利用三角形中位线定理，建立中点四边形与原四边形对角线的联系。首先推导中点四边形的基础形状：任意四边形的中点四边形首先是平行四边形，再根据原对角线的特殊性质进一步判定平行四边形的类型。第一步：连接原四边形的两条对角线，根据三角形中位线定理，可得中点四边形的每组对边分别平行且等于原四边形对应对角线的一半，因此首先确定中点四边形是平行四边形；第二步：结合原对角线的条件判断：①若对角线相等，则平行四边形的邻边相等，可判定为菱形；②若对角线互相垂直，则平行四边形的邻边互相垂直，可判定为矩形；③若对角线既相等又垂直，则平行四边形同时满足菱形和矩形的判定条件，即为正方形。
【解析】
设任意四边形ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、BD。
根据三角形中位线定理可得：
$EF// AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$；$GH// AC$，$GH=\frac{1}{2}AC$，因此$EF// GH$且$EF=GH$，故四边形EFGH是平行四边形。
1. 若原四边形对角线相等，即$AC=BD$：
同理可得$EH=\frac{1}{2}BD$，因此$EF=EH$，邻边相等的平行四边形是菱形，故此时中点四边形为菱形。
2. 若原四边形对角线互相垂直，即$AC⊥ BD$：
同理可得$EH// BD$，结合$EF// AC$，可得$EF⊥ EH$，有一个内角为直角的平行四边形是矩形，故此时中点四边形为矩形。
3. 若原四边形对角线既互相垂直又相等，即$AC⊥ BD$且$AC=BD$：
此时平行四边形EFGH同时满足邻边相等、有一个内角为直角，既是菱形又是矩形，故此时中点四边形为正方形。
【答案】
菱形 矩形 正方形
【知识点】
三角形中位线定理；特殊平行四边形的判定；中点四边形性质
【点评】
本题考查中点四边形的判定，解题关键是明确中点四边形的形状仅由原四边形对角线的性质决定，熟练运用三角形中位线定理和特殊平行四边形的判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8

识别出错

1.B

【分析】
本题考查正方形的判定定理的应用，解题思路如下：首先回忆正方形的三类判定方向：①在菱形的基础上增加“有一个直角”或“对角线相等”的条件可判定为正方形；②在矩形的基础上增加“邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件可判定为正方形；③若判定对象是普通四边形，需要同时满足对角线互相平分、相等、垂直三个条件才能判定为正方形。解题时逐一分析每个选项，结合判定规则判断表述是否正确，选出错误选项即可。
【解析】
结合正方形判定定理逐一分析选项：
A. 有一个角是直角的菱形，满足“菱形+1个直角”的正方形判定条件，表述正确，不符合题意；
B. 两条对角线相等且互相垂直的四边形，未说明对角线是否互相平分，例如筝形也满足对角线垂直且一组对角线相等，但不属于正方形，表述错误，符合题意；
C. 对角线相等的菱形，满足“菱形+对角线相等”的正方形判定条件，表述正确，不符合题意；
D. 对角线互相垂直的矩形，满足“矩形+对角线互相垂直”的正方形判定条件，表述正确，不符合题意。
综上，错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
正方形的判定
【点评】
本题重点考查对正方形判定条件的辨析，解题时要注意区分判定的前提是普通四边形、菱形还是矩形，避免遗漏“对角线互相平分”这一基础条件。
【难度系数】
0.7

2.在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（）。

A.BC=CD
B.AB=CD
C.∠D=90°
D.AD=BC

2.A

【分析】
首先根据已知条件中四边形有三个内角为90°，可先判定该四边形为矩形；而矩形要判定为正方形，只需添加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件即可，接下来逐一验证各选项是否符合上述要求就能选出正确答案。
【解析】
第一步：先判定已知四边形的类型
∵ 四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°
∴ 四边形ABCD是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）
第二步：结合正方形的判定条件分析各选项
正方形的判定规则：一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形。
选项A：若BC=CD，即矩形的一组邻边相等，符合“一组邻边相等的矩形是正方形”的判定规则，可推出该四边形是正方形，符合要求；
选项B：AB=CD是矩形本身就具备的对边相等的性质，添加该条件后仍为矩形，不能判定为正方形，排除；
选项C：四边形内角和为360°，已知三个角为90°，可推出∠D=90°是必然成立的，添加该条件后仍为矩形，排除；
选项D：AD=BC也是矩形本身具备的对边相等的性质，添加该条件后仍为矩形，排除。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
矩形的判定、正方形的判定、矩形的性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查矩形与正方形的判定逻辑，解题的关键是先确定四边形已满足矩形的判定条件，再结合正方形的额外判定要求筛选选项，做题时要注意区分矩形本身的固有性质和正方形的额外判定条件，避免混淆。
【难度系数】
0.8

3.在四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列条件能判定这个四边形为正方形的是()。

A.$AD// BC,∠ ABC=∠ ADC$
B.$AC=BD,AB=CD,AD=BC$
C.$OA=OC,OB=OD,AB=BC$
D.$OA=OB=OC=OD,AC⊥ BD$

3.D

【分析】
要判定四边形是正方形，需明确正方形是同时具备矩形和菱形特征的特殊平行四边形，解题时先根据每个选项的条件判断对应的四边形类型，再验证是否同时满足矩形、菱形的判定要求，逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 由$AD// BC$可得$∠ BAD+∠ ABC=180°$，结合$∠ ABC=∠ ADC$，可推出$∠ BAD+∠ ADC=180°$，即$AB// CD$，因此四边形$ABCD$是平行四边形，无法判定为正方形，排除A；
B. 由$AB=CD,AD=BC$可判定四边形$ABCD$是平行四边形，再结合$AC=BD$，可判定平行四边形$ABCD$是矩形，无法判定为正方形，排除B；
C. 由$OA=OC,OB=OD$可判定四边形$ABCD$是平行四边形，再结合$AB=BC$，可判定平行四边形$ABCD$是菱形，无法判定为正方形，排除C；
D. 由$OA=OB=OC=OD$可知，四边形对角线互相平分且相等，可判定为矩形，又$AC⊥ BD$，即对角线互相垂直的矩形是正方形，因此D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 正方形的判定
2. 平行四边形的判定
3. 矩形与菱形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形的判定，解题核心是区分各类特殊四边形的判定条件，明确正方形需要同时满足矩形和菱形的判定标准，掌握基础判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7

4.如图,在△ABC中,点E,D,F分别在边AB,BC,CA上,且DE//CA,DF//BA。下列四个判断,不正确的是()。

A.四边形AEDF是平行四边形
B.如果AD=EF,那么四边形AEDF是矩形
C.如果AD平分∠EAF,那么四边形AEDF是菱形
D.如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是正方形

4.D

【分析】
解答本题首先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，先确定四边形AEDF是平行四边形，再结合每个选项给出的附加条件，依次对应矩形、菱形、正方形的判定定理逐一验证，选出不符合判定规则的选项即可。
【解析】
解：已知$DE// CA$，$DF// BA$，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形$AEDF$是平行四边形。
选项A：由上述推导可知四边形$AEDF$是平行四边形，该判断正确，不符合题意；
选项B：平行四边形$AEDF$中$AD=EF$，即对角线相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得四边形$AEDF$是矩形，该判断正确，不符合题意；
选项C：若$AD$平分$∠ EAF$，则$∠ EAD=∠ FAD$，由$DF// AB$可得$∠ EAD=∠ ADF$，因此$∠ FAD=∠ ADF$，推出$AF=DF$，根据“邻边相等的平行四边形是菱形”，可得四边形$AEDF$是菱形，该判断正确，不符合题意；
选项D：若$AD⊥ BC$且$AB=AC$，由等腰三角形三线合一可知$AD$平分$∠ BAC$，结合选项C的结论可推出四边形$AEDF$是菱形，但没有条件证明$∠ BAC$是直角，因此无法判定四边形$AEDF$是正方形，该判断错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定；特殊平行四边形的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础考查题，核心是对各类特殊平行四边形判定定理的应用，需要注意正方形的判定需要同时满足矩形和菱形的判定条件，不可遗漏要素。
【难度系数】
0.7

5.如图，在$□ ABCD$中，$AE⊥ BC$于点$E$，$CF⊥ AD$于点$F$，$∠ B=60°$，当$AD:AB=$时，四边形$AECF$是正方形。

5.$(\sqrt{3}+1):2$

【分析】
首先判断四边形AECF的形状：已知平行四边形ABCD中AD//BC，AE⊥BC、CF⊥AD，可得∠AEC=∠CFA=∠EAF=90°，因此四边形AECF是矩形。要使矩形AECF为正方形，需满足一组邻边相等，即AE=EC。接下来结合∠B=60°，在Rt△ABE中用特殊直角三角形的边角关系表示出AE、BE的长度，再结合EC=BC-BE（BC=AD），建立AE和EC的等量关系，即可求出AD与AB的比值。
【解析】
设$AB=a$，$AD=b$，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $BC=AD=b$，$AD// BC$，
∵ $AE⊥ BC$，$CF⊥ AD$，
∴ $∠ AEC=∠ EAF=∠ AFC=90°$，
∴ 四边形AECF是矩形，
若四边形AECF是正方形，则需$AE=EC$，
在$Rt△ ABE$中，$∠ B=60°$，
∴ $∠ BAE=30°$，
∴ $BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{a^2-(\frac{1}{2}a)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
又
∵ $EC=BC-BE=b-\frac{1}{2}a$，且$AE=EC$，
∴ $\frac{\sqrt{3}}{2}a = b-\frac{1}{2}a$，
整理得：$b=\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{1}{2}a=\frac{(\sqrt{3}+1)a}{2}$，
∴ $AD:AB=b:a=(\sqrt{3}+1):2$。
【答案】
$(\sqrt{3}+1):2$
【知识点】
平行四边形的性质；正方形的判定；解直角三角形
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的判定与性质，以及含30°角的直角三角形的边角关系，解题关键是明确正方形的判定条件，通过设参数建立线段间的等量关系求解比值。
【难度系数】
0.6

6.如图,在矩形ABCD内有一点F,BF与CF分别平分∠ABC和∠BCD,E为矩形ABCD外一点,连接BE,CE。现添加下列条件:①EB//CF,CE//BF;②BE=CE,BE=BF;③BE//CF,CE⊥BE;④BE=CE,CE//BF。其中能判定四边形BECF是正方形的有()。

A.1组
B.2组
C.3组
D.4组

6.D

【分析】
首先从矩形性质和角平分线定义出发，先推导△FBC的形状：矩形ABCD内角均为90°，BF、CF分别平分∠ABC、∠BCD，可得∠FBC=∠FCB=45°，即△BFC为等腰直角三角形，有BF=CF，∠BFC=90°。要判定四边形BECF是正方形，只需结合给出的条件，证明BECF满足“既是矩形又是菱形”的特征即可，接下来逐个验证4个条件是否符合要求。
【解析】
已知四边形ABCD是矩形，因此∠ABC=∠BCD=90°。
∵BF平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，∠FCB=$\frac{1}{2}$∠BCD=45°，
∴∠BFC=180°-45°-45°=90°，且BF=CF。
逐个判断条件：
① 若EB//CF，CE//BF：两组对边分别平行，可得四边形BECF是平行四边形。
又
∵BF=CF，∠BFC=90°，
∴平行四边形BECF是正方形（一组邻边相等且有一个内角为直角的平行四边形是正方形），故①符合要求。
② 若BE=CE，BE=BF：
∵BF=CF，
∴BE=CE=BF=CF，四边形BECF四条边相等，是菱形。
又
∵BC为公共边，△BFC≌△BEC（SSS），
∴∠E=∠BFC=90°，菱形BECF有一个内角为直角，因此是正方形，故②符合要求。
③ 若BE//CF，CE⊥BE：
由BE//CF，CE⊥BE可得CE⊥CF，即∠FCE=90°，又∠BFC=90°，∠E=90°，因此四边形BECF三个内角为直角，是矩形。
又
∵BF=CF，矩形BECF邻边相等，因此是正方形，故③符合要求。
④ 若BE=CE，CE//BF：
由CE//BF可得∠ECB=∠FBC=45°，
∵BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB=45°，因此∠E=180°-45°-45°=90°，∠FCE=∠FCB+∠ECB=90°，此时四边形BECF三个内角为直角，是矩形。
又
∵BF=CF，矩形BECF邻边相等，因此是正方形，故④符合要求。
综上，4组条件都能判定四边形BECF是正方形。
【答案】
D
【知识点】
正方形的判定；矩形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，解题的关键是先从已知条件推导出△BFC为等腰直角三角形，再结合正方形的判定定理逐一验证给出的条件，需要熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的判定关系。
【难度系数】
0.7