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7.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，请添加一个条件，使四边形ABCD是正方形：
∠ABC=90°(答案不唯一)
。答案
7.$∠ABC=90°$(答案不唯一)
解析:如图,过点 A 作 $AE⊥BC$ 于点 E,作 $AF⊥CD$ 于点 F。
∵两条纸条宽度相同，
∴$AE=AF$。
∵$AB//CD,AD//BC$，
∴四边形 ABCD 是平行四边形。
∵$S_{□ABCD}=BC·AE=CD·AF$，
∴$BC=CD$。
∴四边形 ABCD 是菱形。
∴当$∠ABC=90°$时,四边形 ABCD 是正方形。
解析
【分析】
解题时先结合已知条件判断四边形ABCD的初始形状：①两张纸条的对边分别平行，可得$AB// CD$、$AD// BC$，因此四边形ABCD首先是平行四边形；②纸条宽度相等，可通过作高用面积法证明平行四边形邻边相等，即四边形ABCD是菱形。接下来回忆正方形的判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形、对角线相等的菱形是正方形，因此添加的条件只需满足菱形成为正方形的要求即可，比如添加一个内角为90°，或对角线相等类的条件均正确。
【解析】
如图，过点A作$AE⊥BC$于点E，作$AF⊥CD$于点F。
∵两条纸条宽度相同，
∴$AE=AF$。
∵$AB// CD$，$AD// BC$，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵$S_{□ ABCD}=BC·AE=CD·AF$，
又
∵$AE=AF$，
∴$BC=CD$，
∴平行四边形ABCD是菱形。
当添加条件$∠ABC=90°$时，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，可得四边形ABCD是正方形。
【答案】
$∠ABC=90°$(答案不唯一)
【知识点】
平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的判定
【点评】
本题结合生活场景考查特殊平行四边形的判定，需要先根据纸条的特征推导得出四边形为菱形，再补充合适的条件使其成为正方形，解题的关键是熟练掌握各类特殊四边形的判定定理。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件判断四边形ABCD的初始形状：①两张纸条的对边分别平行，可得$AB// CD$、$AD// BC$，因此四边形ABCD首先是平行四边形；②纸条宽度相等，可通过作高用面积法证明平行四边形邻边相等，即四边形ABCD是菱形。接下来回忆正方形的判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形、对角线相等的菱形是正方形，因此添加的条件只需满足菱形成为正方形的要求即可，比如添加一个内角为90°，或对角线相等类的条件均正确。
【解析】
如图，过点A作$AE⊥BC$于点E，作$AF⊥CD$于点F。
∵两条纸条宽度相同，
∴$AE=AF$。
∵$AB// CD$，$AD// BC$，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵$S_{□ ABCD}=BC·AE=CD·AF$，
又
∵$AE=AF$，
∴$BC=CD$，
∴平行四边形ABCD是菱形。
当添加条件$∠ABC=90°$时，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，可得四边形ABCD是正方形。
【答案】
$∠ABC=90°$(答案不唯一)
【知识点】
平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的判定
【点评】
本题结合生活场景考查特殊平行四边形的判定，需要先根据纸条的特征推导得出四边形为菱形，再补充合适的条件使其成为正方形，解题的关键是熟练掌握各类特殊四边形的判定定理。
【难度系数】
0.7
8.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°,D,E,F$分别是$AB,AC,BC$的中点,连接$DE,DF,EF$,要使四边形$DECF$是正方形,只需增加一个条件为
AC=BC(答案不唯一)
。答案
8.$AC=BC$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据已知的中点条件，利用三角形中位线定理判断四边形DECF的初始形状：先证它是平行四边形，再结合∠C=90°证它是矩形；接下来要使矩形变为正方形，需要添加邻边相等的条件，再结合中位线的长度关系，即可推出需要添加的条件。
【解析】
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
同理可得：DF//AC，DF=$\frac{1}{2}$AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
又
∵∠ACB=90°，
∴平行四边形DECF是矩形，
要使矩形DECF是正方形，需满足邻边相等，即DE=DF，
代入DE=$\frac{1}{2}$BC，DF=$\frac{1}{2}$AC，可得$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AC，即AC=BC。
（也可添加∠A=45°、CE=CF等等价条件，答案不唯一）
【答案】
AC=BC（答案不唯一）
【知识点】
三角形中位线定理；矩形的判定；正方形的判定
【点评】
本题是特殊四边形判定的开放类题目，需要同学们熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定定理，结合中位线的性质推导已有图形的特征，再补充缺少的判定条件即可，解题时注意答案不唯一，符合要求即可。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据已知的中点条件，利用三角形中位线定理判断四边形DECF的初始形状：先证它是平行四边形，再结合∠C=90°证它是矩形；接下来要使矩形变为正方形，需要添加邻边相等的条件，再结合中位线的长度关系，即可推出需要添加的条件。
【解析】
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
同理可得：DF//AC，DF=$\frac{1}{2}$AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
又
∵∠ACB=90°，
∴平行四边形DECF是矩形，
要使矩形DECF是正方形，需满足邻边相等，即DE=DF，
代入DE=$\frac{1}{2}$BC，DF=$\frac{1}{2}$AC，可得$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AC，即AC=BC。
（也可添加∠A=45°、CE=CF等等价条件，答案不唯一）
【答案】
AC=BC（答案不唯一）
【知识点】
三角形中位线定理；矩形的判定；正方形的判定
【点评】
本题是特殊四边形判定的开放类题目，需要同学们熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定定理，结合中位线的性质推导已有图形的特征，再补充缺少的判定条件即可，解题时注意答案不唯一，符合要求即可。
【难度系数】
0.7
9.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点分别是A(-2,0),B(0,-2),C(2,0),D(0,2),求证:四边形ABCD是正方形。
答案
9.证明:
∵$A(-2,0),B(0,-2)$，
∴$OA=2,OB=2$。
∴$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=2\sqrt{2}$。
同理 $AD=2\sqrt{2},BC=2\sqrt{2},DC=2\sqrt{2}$。
∴$AB=BC=CD=DA$。
∴四边形 ABCD 为菱形。
易得 $BD=AC$，
∴四边形 ABCD 是正方形。
∵$A(-2,0),B(0,-2)$，
∴$OA=2,OB=2$。
∴$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=2\sqrt{2}$。
同理 $AD=2\sqrt{2},BC=2\sqrt{2},DC=2\sqrt{2}$。
∴$AB=BC=CD=DA$。
∴四边形 ABCD 为菱形。
易得 $BD=AC$，
∴四边形 ABCD 是正方形。
解析
【分析】
要证明四边形ABCD是正方形，可按照“先证菱形，再证对角线相等”的思路求解：第一步，根据四个顶点的坐标，结合勾股定理计算四边形四条边的长度，证明四边相等，得到四边形是菱形；第二步，计算两条对角线的长度，证明对角线相等，结合菱形的性质即可判定其为正方形。
【解析】
证明：
∵$A(-2,0),B(0,-2)$，
∴$OA=2,OB=2$，
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
同理可得 $AD=2\sqrt{2},BC=2\sqrt{2},DC=2\sqrt{2}$，
∴$AB=BC=CD=DA$，
∴四边形ABCD为菱形。
又
∵$AC=|2-(-2)|=4$，$BD=|2-(-2)|=4$，
∴$BD=AC$，
∴四边形ABCD是正方形。
【答案】
证明:
∵$A(-2,0),B(0,-2)$，
∴$OA=2,OB=2$。
∴$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=2\sqrt{2}$。
同理 $AD=2\sqrt{2},BC=2\sqrt{2},DC=2\sqrt{2}$。
∴$AB=BC=CD=DA$。
∴四边形 ABCD 为菱形。
易得 $BD=AC$，
∴四边形 ABCD 是正方形。
【知识点】
正方形的判定；菱形的判定；勾股定理的应用
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查特殊四边形的判定，解题的关键是掌握正方形的判定定理，先通过四边相等判定四边形为菱形，再结合对角线相等的条件即可判定为正方形，可根据已知条件灵活选择判定方法。
【难度系数】
0.8
要证明四边形ABCD是正方形，可按照“先证菱形，再证对角线相等”的思路求解：第一步，根据四个顶点的坐标，结合勾股定理计算四边形四条边的长度，证明四边相等，得到四边形是菱形；第二步，计算两条对角线的长度，证明对角线相等，结合菱形的性质即可判定其为正方形。
【解析】
证明：
∵$A(-2,0),B(0,-2)$，
∴$OA=2,OB=2$，
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
同理可得 $AD=2\sqrt{2},BC=2\sqrt{2},DC=2\sqrt{2}$，
∴$AB=BC=CD=DA$，
∴四边形ABCD为菱形。
又
∵$AC=|2-(-2)|=4$，$BD=|2-(-2)|=4$，
∴$BD=AC$，
∴四边形ABCD是正方形。
【答案】
证明:
∵$A(-2,0),B(0,-2)$，
∴$OA=2,OB=2$。
∴$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=2\sqrt{2}$。
同理 $AD=2\sqrt{2},BC=2\sqrt{2},DC=2\sqrt{2}$。
∴$AB=BC=CD=DA$。
∴四边形 ABCD 为菱形。
易得 $BD=AC$，
∴四边形 ABCD 是正方形。
【知识点】
正方形的判定；菱形的判定；勾股定理的应用
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查特殊四边形的判定，解题的关键是掌握正方形的判定定理，先通过四边相等判定四边形为菱形，再结合对角线相等的条件即可判定为正方形，可根据已知条件灵活选择判定方法。
【难度系数】
0.8
10.【数学应用】在综合实践活动中，同学们对学校的一个正方形花园ABCD进行测量并规划使用。如图，点E,F处是它的两个门，且DE=CF，要修建两条直路AF,BE，AF与BE相交于点O（两个门E,F的大小忽略不计）。
（1）请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系？请判断并说明理由。
（2）同学们测得AD=4 m，AE=3 m，根据实际需要，某小组同学想在四边形OBCF地上再修一条2.5 m长的直路，这条直路的一端在门F处，另一端P在已经修建好的路段OB或花园的边界BC上，并且另一端P与点B处的距离不少于1.5 m，请问能否修建成这样的直路？若能，求出能修建几条；若不能，请说明理由。
（1）请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系？请判断并说明理由。
（2）同学们测得AD=4 m，AE=3 m，根据实际需要，某小组同学想在四边形OBCF地上再修一条2.5 m长的直路，这条直路的一端在门F处，另一端P在已经修建好的路段OB或花园的边界BC上，并且另一端P与点B处的距离不少于1.5 m，请问能否修建成这样的直路？若能，求出能修建几条；若不能，请说明理由。
答案
10.解:(1)这两条路等长,它们的位置关系是互相垂直。
理由:
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴$BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90°$。
∵$DE=CF$，
∴$AD-DE=CD-CF$。
∴$AE=DF$。
在$△BAE$和$△ADF$中，
∵ $BA = AD, ∠BAE = ∠D = 90°, AE=DF$，
∴$△BAE≌△ADF(SAS)$。
∴$BE=AF,∠ABE=∠DAF$。
∵$∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°$，
∴$∠BAO+∠ABE=90°$。
∴$∠AOB=180°-(∠BAO+∠ABE)=90°$,即 $AF⊥BE$。
∴道路 AF 与 BE 等长,且它们互相垂直。
(2)能修建成一条这样的直路,且点 P 在边界 BC 上。
理由:
∵$AD=AB=CD=4 m,AE=3 m$，
∴$CF=DE=1 m$。
在$Rt△ABE$中,由勾股定理,得 $BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(m)$。
由(1)得 $AF=BE=5 m,AF⊥BE$。
∴$S_{△ABE}=\frac{1}{2}BE·OA=\frac{1}{2}AB·AE$。
∴$OA=\frac{AB·AE}{BE}=\frac{3×4}{5}=2.4(m)$。
∴$OF=AF-OA=5-2.4=2.6(m)$。
根据“垂线段最短”得点 F 到路段 OB 的最短距离为 2.6 m。
∴路段 OB 上不存在点 P 到点 F 的距离等于2.5 m。
∴点 P 不在路段 OB 上。
设点 P 在边界 BC 上，
在$Rt△PCF$中,由勾股定理,得 $PC=\sqrt{FP^2-FC^2}=\sqrt{2.5^2-1^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}(m)$。
∴$BP=BC-PC=(4-\frac{\sqrt{21}}{2})m$。
∵$4-\frac{\sqrt{21}}{2}＞4-\frac{\sqrt{25}}{2}$，
∴$4-\frac{\sqrt{21}}{2}＞1.5$。
∴点 P 符合题意，
即能修建成一条这样的直路。
理由:
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴$BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90°$。
∵$DE=CF$，
∴$AD-DE=CD-CF$。
∴$AE=DF$。
在$△BAE$和$△ADF$中，
∵ $BA = AD, ∠BAE = ∠D = 90°, AE=DF$，
∴$△BAE≌△ADF(SAS)$。
∴$BE=AF,∠ABE=∠DAF$。
∵$∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°$，
∴$∠BAO+∠ABE=90°$。
∴$∠AOB=180°-(∠BAO+∠ABE)=90°$,即 $AF⊥BE$。
∴道路 AF 与 BE 等长,且它们互相垂直。
(2)能修建成一条这样的直路,且点 P 在边界 BC 上。
理由:
∵$AD=AB=CD=4 m,AE=3 m$，
∴$CF=DE=1 m$。
在$Rt△ABE$中,由勾股定理,得 $BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(m)$。
由(1)得 $AF=BE=5 m,AF⊥BE$。
∴$S_{△ABE}=\frac{1}{2}BE·OA=\frac{1}{2}AB·AE$。
∴$OA=\frac{AB·AE}{BE}=\frac{3×4}{5}=2.4(m)$。
∴$OF=AF-OA=5-2.4=2.6(m)$。
根据“垂线段最短”得点 F 到路段 OB 的最短距离为 2.6 m。
∴路段 OB 上不存在点 P 到点 F 的距离等于2.5 m。
∴点 P 不在路段 OB 上。
设点 P 在边界 BC 上，
在$Rt△PCF$中,由勾股定理,得 $PC=\sqrt{FP^2-FC^2}=\sqrt{2.5^2-1^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}(m)$。
∴$BP=BC-PC=(4-\frac{\sqrt{21}}{2})m$。
∵$4-\frac{\sqrt{21}}{2}＞4-\frac{\sqrt{25}}{2}$，
∴$4-\frac{\sqrt{21}}{2}＞1.5$。
∴点 P 符合题意，
即能修建成一条这样的直路。
解析
【分析】
（1）判断两条路的长度和位置关系时，先结合正方形的性质得到相等的边和直角，由DE=CF推出AE=DF，再证明△BAE和△ADF全等，即可得到边相等的结论；再通过全等得到的等角进行角度推导，即可得出垂直关系。
（2）解决存在性问题时，先分两种情况讨论：①点P在OB上：先利用勾股定理、面积法算出OF的长度，根据垂线段最短，判断OB上是否存在满足PF=2.5m的点；②点P在BC上：设PF=2.5m，通过勾股定理计算PC的长度，进而得到BP的长度，判断BP是否符合不少于1.5m的要求，最终确定符合条件的直路条数。
【解析】
（1）这两条路等长，位置关系为互相垂直，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴$BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90°$，
∵$DE=CF$，
∴$AD-DE=CD-CF$，即$AE=DF$，
在$△ BAE$和$△ ADF$中，
$\begin{cases}BA = AD \\∠BAE = ∠D = 90° \\AE=DF\end{cases}$
∴$△ BAE≌△ ADF(SAS)$，
∴$BE=AF,∠ABE=∠DAF$，
∵$∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°$，
∴$∠BAO+∠ABE=90°$，
∴$∠AOB=180°-(∠BAO+∠ABE)=90°$，即 $AF⊥BE$，
故道路AF与BE等长，且互相垂直。
（2）能修建成这样的直路，共1条，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，$AD=4 m$，
∴$AB=CD=AD=4 m$，
∵$AE=3 m$，
∴$DE=AD-AE=4-3=1(m)$，则$CF=DE=1 m$，
在$Rt△ABE$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(m)$，
由（1）得$AF=BE=5 m,AF⊥BE$，
∵$S_{△ABE}=\frac{1}{2}BE·OA=\frac{1}{2}AB·AE$，
∴$OA=\frac{AB·AE}{BE}=\frac{3×4}{5}=2.4(m)$，
∴$OF=AF-OA=5-2.4=2.6(m)$，
根据垂线段最短可知，点F到路段OB的最短距离为2.6 m，大于2.5 m，因此路段OB上不存在满足PF=2.5 m的点P，即点P不在OB上；
设点P在边界BC上，且$PF=2.5 m$，
∵四边形ABCD是正方形，
∴$∠C=90°$，
在$Rt△PCF$中，由勾股定理得：
$PC=\sqrt{FP^2-FC^2}=\sqrt{2.5^2-1^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}(m)$，
∴$BP=BC-PC=4-\frac{\sqrt{21}}{2}(m)$，
∵$\frac{\sqrt{21}}{2}＜\frac{\sqrt{25}}{2}=2.5$，
∴$4-\frac{\sqrt{21}}{2}＞4-2.5=1.5$，符合BP不少于1.5 m的要求，
故存在1个符合条件的点P，能修建1条这样的直路。
【答案】
（1）两条路等长，且互相垂直；
（2）能修建成这样的直路，共可以修建1条。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何知识的综合应用，第一问侧重基础的全等证明和性质应用，第二问通过分类讨论判断存在性，既考查了垂线段最短、勾股定理等知识点，也能锻炼逻辑推理能力和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.6
（1）判断两条路的长度和位置关系时，先结合正方形的性质得到相等的边和直角，由DE=CF推出AE=DF，再证明△BAE和△ADF全等，即可得到边相等的结论；再通过全等得到的等角进行角度推导，即可得出垂直关系。
（2）解决存在性问题时，先分两种情况讨论：①点P在OB上：先利用勾股定理、面积法算出OF的长度，根据垂线段最短，判断OB上是否存在满足PF=2.5m的点；②点P在BC上：设PF=2.5m，通过勾股定理计算PC的长度，进而得到BP的长度，判断BP是否符合不少于1.5m的要求，最终确定符合条件的直路条数。
【解析】
（1）这两条路等长，位置关系为互相垂直，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴$BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90°$，
∵$DE=CF$，
∴$AD-DE=CD-CF$，即$AE=DF$，
在$△ BAE$和$△ ADF$中，
$\begin{cases}BA = AD \\∠BAE = ∠D = 90° \\AE=DF\end{cases}$
∴$△ BAE≌△ ADF(SAS)$，
∴$BE=AF,∠ABE=∠DAF$，
∵$∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°$，
∴$∠BAO+∠ABE=90°$，
∴$∠AOB=180°-(∠BAO+∠ABE)=90°$，即 $AF⊥BE$，
故道路AF与BE等长，且互相垂直。
（2）能修建成这样的直路，共1条，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，$AD=4 m$，
∴$AB=CD=AD=4 m$，
∵$AE=3 m$，
∴$DE=AD-AE=4-3=1(m)$，则$CF=DE=1 m$，
在$Rt△ABE$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(m)$，
由（1）得$AF=BE=5 m,AF⊥BE$，
∵$S_{△ABE}=\frac{1}{2}BE·OA=\frac{1}{2}AB·AE$，
∴$OA=\frac{AB·AE}{BE}=\frac{3×4}{5}=2.4(m)$，
∴$OF=AF-OA=5-2.4=2.6(m)$，
根据垂线段最短可知，点F到路段OB的最短距离为2.6 m，大于2.5 m，因此路段OB上不存在满足PF=2.5 m的点P，即点P不在OB上；
设点P在边界BC上，且$PF=2.5 m$，
∵四边形ABCD是正方形，
∴$∠C=90°$，
在$Rt△PCF$中，由勾股定理得：
$PC=\sqrt{FP^2-FC^2}=\sqrt{2.5^2-1^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}(m)$，
∴$BP=BC-PC=4-\frac{\sqrt{21}}{2}(m)$，
∵$\frac{\sqrt{21}}{2}＜\frac{\sqrt{25}}{2}=2.5$，
∴$4-\frac{\sqrt{21}}{2}＞4-2.5=1.5$，符合BP不少于1.5 m的要求，
故存在1个符合条件的点P，能修建1条这样的直路。
【答案】
（1）两条路等长，且互相垂直；
（2）能修建成这样的直路，共可以修建1条。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何知识的综合应用，第一问侧重基础的全等证明和性质应用，第二问通过分类讨论判断存在性，既考查了垂线段最短、勾股定理等知识点，也能锻炼逻辑推理能力和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.6
