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1. 下列计算正确的是________（填序号）。
①$(-1)×(-2)×(-3)=6$；
②$(-36)÷(-9)=-4$；
③$\frac{2}{3}×(-\frac{9}{4})÷(-1)=\frac{3}{2}$；
④$(-4)÷\frac{1}{2}×(-2)=16$。
①$(-1)×(-2)×(-3)=6$；
②$(-36)÷(-9)=-4$；
③$\frac{2}{3}×(-\frac{9}{4})÷(-1)=\frac{3}{2}$；
④$(-4)÷\frac{1}{2}×(-2)=16$。
答案
解：
计算①：$(-1)×(-2)×(-3) = 2×(-3) = -6 ≠ 6$，①计算错误；
计算②：$(-36)÷(-9) = 4 ≠ -4$，②计算错误；
计算③：$\frac{2}{3}×(-\frac{9}{4})÷(-1) = -\frac{3}{2} ÷ (-1) = \frac{3}{2}$，③计算正确；
计算④：$(-4)÷\frac{1}{2}×(-2) = (-4)×2×(-2) = 16$，④计算正确。
$\boldsymbol{③④}$
计算①：$(-1)×(-2)×(-3) = 2×(-3) = -6 ≠ 6$，①计算错误；
计算②：$(-36)÷(-9) = 4 ≠ -4$，②计算错误；
计算③：$\frac{2}{3}×(-\frac{9}{4})÷(-1) = -\frac{3}{2} ÷ (-1) = \frac{3}{2}$，③计算正确；
计算④：$(-4)÷\frac{1}{2}×(-2) = (-4)×2×(-2) = 16$，④计算正确。
$\boldsymbol{③④}$
解析
【分析】
要判断四个计算是否正确，需结合有理数乘除运算规则逐个验证：首先明确符号法则：几个非0有理数相乘除时，负因数个数为奇数，结果为负；负因数个数为偶数，结果为正。其次乘除属于同级运算，需按从左到右的顺序计算，先确定结果符号，再计算绝对值的乘除即可。
【解析】
①计算$(-1)×(-2)×(-3)$：负因数共3个（奇数个），结果为负，绝对值计算得$1×2×3=6$，因此结果为$-6≠6$，①计算错误；
②计算$(-36)÷(-9)$：两个负数相除，结果为正，绝对值计算得$36÷9=4≠-4$，②计算错误；
③计算$\frac{2}{3}×(-\frac{9}{4})÷(-1)$：负因数共2个（偶数个），结果为正，绝对值计算得$\frac{2}{3}×\frac{9}{4}÷1=\frac{3}{2}$，结果为$\frac{3}{2}$，③计算正确；
④计算$(-4)÷\frac{1}{2}×(-2)$：负因数共2个（偶数个），结果为正，将除法转化为乘法得$(-4)×2×(-2)$，绝对值计算得$4×2×2=16$，结果为16，④计算正确。
【答案】
$\boldsymbol{③④}$
【知识点】
有理数乘法运算，有理数除法运算，乘除混合运算顺序
【点评】
本题是有理数乘除运算的基础考查题，解题核心是优先判断运算结果的符号，再计算绝对值，同时要严格遵循同级运算从左到右的顺序，避免因符号判断失误或运算顺序混乱出错。
【难度系数】
0.8
要判断四个计算是否正确，需结合有理数乘除运算规则逐个验证：首先明确符号法则：几个非0有理数相乘除时，负因数个数为奇数，结果为负；负因数个数为偶数，结果为正。其次乘除属于同级运算，需按从左到右的顺序计算，先确定结果符号，再计算绝对值的乘除即可。
【解析】
①计算$(-1)×(-2)×(-3)$：负因数共3个（奇数个），结果为负，绝对值计算得$1×2×3=6$，因此结果为$-6≠6$，①计算错误；
②计算$(-36)÷(-9)$：两个负数相除，结果为正，绝对值计算得$36÷9=4≠-4$，②计算错误；
③计算$\frac{2}{3}×(-\frac{9}{4})÷(-1)$：负因数共2个（偶数个），结果为正，绝对值计算得$\frac{2}{3}×\frac{9}{4}÷1=\frac{3}{2}$，结果为$\frac{3}{2}$，③计算正确；
④计算$(-4)÷\frac{1}{2}×(-2)$：负因数共2个（偶数个），结果为正，将除法转化为乘法得$(-4)×2×(-2)$，绝对值计算得$4×2×2=16$，结果为16，④计算正确。
【答案】
$\boldsymbol{③④}$
【知识点】
有理数乘法运算，有理数除法运算，乘除混合运算顺序
【点评】
本题是有理数乘除运算的基础考查题，解题核心是优先判断运算结果的符号，再计算绝对值，同时要严格遵循同级运算从左到右的顺序，避免因符号判断失误或运算顺序混乱出错。
【难度系数】
0.8
2.已知$a,b$互为相反数，$c,d$互为倒数，
则$(a+b-4)^3 - |cd - 3| =$。
则$(a+b-4)^3 - |cd - 3| =$。
答案
$\boldsymbol{-66}$
解析
【分析】
解题时首先回忆相反数和倒数的基本性质，先求出a+b和cd的取值，再将两个值代入待求式，按照有理数混合运算的顺序（先算乘方、绝对值，再算加减）逐步计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵a、b互为相反数，根据相反数的性质，互为相反数的两个数之和为0，
∴$a+b=0$，
∵c、d互为倒数，根据倒数的性质，互为倒数的两个数乘积为1，
∴$cd=1$，
将$a+b=0$、$cd=1$代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(0-4)^3 - |1-3|\\&=(-4)^3 - |-2|\\&=-64 - 2\\&=-66\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-66}$
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；有理数混合运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对相反数、倒数基本概念的应用，只要熟练掌握相关性质，按照有理数运算顺序规范计算即可得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆相反数和倒数的基本性质，先求出a+b和cd的取值，再将两个值代入待求式，按照有理数混合运算的顺序（先算乘方、绝对值，再算加减）逐步计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵a、b互为相反数，根据相反数的性质，互为相反数的两个数之和为0，
∴$a+b=0$，
∵c、d互为倒数，根据倒数的性质，互为倒数的两个数乘积为1，
∴$cd=1$，
将$a+b=0$、$cd=1$代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(0-4)^3 - |1-3|\\&=(-4)^3 - |-2|\\&=-64 - 2\\&=-66\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-66}$
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；有理数混合运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对相反数、倒数基本概念的应用，只要熟练掌握相关性质，按照有理数运算顺序规范计算即可得分。
【难度系数】
0.8
3.乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”。按图示程序运算，若输入x的值为－2，则输出的结果为。
答案
解：
第一次输入$x=-2$：
$(-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$
因为$3 ≤ 5$，将3作为新的输入值返回运算。
第二次输入$x=3$：
$3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$
因为$8 ＞ 5$，满足输出条件。
输出的结果为$\boldsymbol{8}$。
第一次输入$x=-2$：
$(-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$
因为$3 ≤ 5$，将3作为新的输入值返回运算。
第二次输入$x=3$：
$3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$
因为$8 ＞ 5$，满足输出条件。
输出的结果为$\boldsymbol{8}$。
解析
【分析】
首先明确数值转换机的运算规则：输入x后，先计算$x^2-1$，再将所得结果与5比较，若结果大于5则直接输出；若结果小于或等于5，需将该结果作为新的x重新代入运算，直到结果大于5为止。本题输入x=-2，按照规则逐步运算即可得到最终输出结果。
【解析】
第一次输入$x=-2$：
$(-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$
因为$3≤5$，不满足输出条件，将3作为新的输入值返回运算。
第二次输入$x=3$：
$3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$
因为$8＞5$，满足输出条件。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
有理数的混合运算，程序类数值计算
【点评】
本题是基础的程序运算题，解题核心是读懂程序的运算规则和判断条件，注意需要循环运算直到满足输出要求，计算时要注意负数的平方为正，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.8
首先明确数值转换机的运算规则：输入x后，先计算$x^2-1$，再将所得结果与5比较，若结果大于5则直接输出；若结果小于或等于5，需将该结果作为新的x重新代入运算，直到结果大于5为止。本题输入x=-2，按照规则逐步运算即可得到最终输出结果。
【解析】
第一次输入$x=-2$：
$(-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$
因为$3≤5$，不满足输出条件，将3作为新的输入值返回运算。
第二次输入$x=3$：
$3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$
因为$8＞5$，满足输出条件。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
有理数的混合运算，程序类数值计算
【点评】
本题是基础的程序运算题，解题核心是读懂程序的运算规则和判断条件，注意需要循环运算直到满足输出要求，计算时要注意负数的平方为正，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.8
4.计算。
(1)$-1^2 - (1 - \frac{1}{2}) ÷ 3 × (-7)$；
(2)$-(-2)^2 - (-3)^3 × \frac{1}{6}$。
(1)$-1^2 - (1 - \frac{1}{2}) ÷ 3 × (-7)$；
(2)$-(-2)^2 - (-3)^3 × \frac{1}{6}$。
答案
解：
(1) 原式$=-1 - (1-\frac{1}{2}) ÷ 3 × (-7)$
$=-1 - \frac{1}{2} × \frac{1}{3} × (-7)$
$=-1 + \frac{7}{6}$
$=\frac{1}{6}$
(2) 原式$=-(-2)^2 - (-3)^3 × \frac{1}{6}$
$=-4 - (-27) × \frac{1}{6}$
$=-4 + \frac{9}{2}$
$=\frac{1}{2}$
(1) 原式$=-1 - (1-\frac{1}{2}) ÷ 3 × (-7)$
$=-1 - \frac{1}{2} × \frac{1}{3} × (-7)$
$=-1 + \frac{7}{6}$
$=\frac{1}{6}$
(2) 原式$=-(-2)^2 - (-3)^3 × \frac{1}{6}$
$=-4 - (-27) × \frac{1}{6}$
$=-4 + \frac{9}{2}$
$=\frac{1}{2}$
解析
【分析】
有理数混合运算遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内，同级运算从左到右”的运算规则，解题时重点注意符号的处理：
(1) 先算乘方项$-1^2$（注意区别于$(-1)^2$，结果为-1），再计算括号内的减法，接着将除法转化为乘法，按从左到右顺序计算乘除部分，最后计算加减即可得到结果；
(2) 先分别计算两个乘方项$(-2)^2$和$(-3)^3$，再计算乘法部分，注意负负得正的符号规则，最后计算加减得到结果。
【解析】
(1) 先计算乘方与括号内的运算：
原式$=-1 - \frac{1}{2} ÷ 3 × (-7)$
将除法转化为乘法，按从左到右的顺序计算乘除：
$=-1 - \frac{1}{2} × \frac{1}{3} × (-7)$
$=-1 - (-\frac{7}{6})$
计算加减，去括号后负负得正：
$=-1 + \frac{7}{6}$
$=\frac{1}{6}$
(2) 先计算乘方项：
原式$=-4 - (-27) × \frac{1}{6}$
计算乘法部分，负负得正后约分：
$=-4 + \frac{27}{6}$
$=-4 + \frac{9}{2}$
通分后计算加减：
$=-\frac{8}{2} + \frac{9}{2}$
$=\frac{1}{2}$
【答案】
(1) $\frac{1}{6}$；(2) $\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 有理数混合运算顺序
2. 有理数乘方运算
3. 有理数符号法则
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，核心易错点为乘方的符号判断（如$-1^2$和$(-1)^2$的区别）、乘除运算中的符号变化，熟练掌握运算顺序和符号规则即可快速准确解答。
【难度系数】
0.7
有理数混合运算遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内，同级运算从左到右”的运算规则，解题时重点注意符号的处理：
(1) 先算乘方项$-1^2$（注意区别于$(-1)^2$，结果为-1），再计算括号内的减法，接着将除法转化为乘法，按从左到右顺序计算乘除部分，最后计算加减即可得到结果；
(2) 先分别计算两个乘方项$(-2)^2$和$(-3)^3$，再计算乘法部分，注意负负得正的符号规则，最后计算加减得到结果。
【解析】
(1) 先计算乘方与括号内的运算：
原式$=-1 - \frac{1}{2} ÷ 3 × (-7)$
将除法转化为乘法，按从左到右的顺序计算乘除：
$=-1 - \frac{1}{2} × \frac{1}{3} × (-7)$
$=-1 - (-\frac{7}{6})$
计算加减，去括号后负负得正：
$=-1 + \frac{7}{6}$
$=\frac{1}{6}$
(2) 先计算乘方项：
原式$=-4 - (-27) × \frac{1}{6}$
计算乘法部分，负负得正后约分：
$=-4 + \frac{27}{6}$
$=-4 + \frac{9}{2}$
通分后计算加减：
$=-\frac{8}{2} + \frac{9}{2}$
$=\frac{1}{2}$
【答案】
(1) $\frac{1}{6}$；(2) $\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 有理数混合运算顺序
2. 有理数乘方运算
3. 有理数符号法则
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，核心易错点为乘方的符号判断（如$-1^2$和$(-1)^2$的区别）、乘除运算中的符号变化，熟练掌握运算顺序和符号规则即可快速准确解答。
【难度系数】
0.7
5. 对于非零有理数$a,b$,规定$a\otimes b=\frac{a}{b}-1$。求$(-2)\otimes [(-3)\otimes (-4)]$的值。
答案
解：
先计算括号内的运算：
$(-3)\otimes (-4)=\frac{-3}{-4}-1=\frac{3}{4}-1=-\frac{1}{4}$
再计算外层运算：
$(-2)\otimes (-\frac{1}{4})=\frac{-2}{-\frac{1}{4}}-1=8-1=7$
最终结果为7。
先计算括号内的运算：
$(-3)\otimes (-4)=\frac{-3}{-4}-1=\frac{3}{4}-1=-\frac{1}{4}$
再计算外层运算：
$(-2)\otimes (-\frac{1}{4})=\frac{-2}{-\frac{1}{4}}-1=8-1=7$
最终结果为7。
解析
【分析】
这是新定义运算类题目，解题首先要明确给定的运算规则：$a\otimes b=\frac{a}{b}-1$，其次遵循有理数混合运算的运算顺序，有括号先算括号内的，先计算内层的$(-3)\otimes (-4)$，得到结果后再代入计算外层的新运算，计算过程中注意遵守有理数运算的符号法则，避免符号出错。
【解析】
解：根据新运算规则，先计算括号内的运算：
$(-3)\otimes (-4)=\frac{-3}{-4}-1=\frac{3}{4}-1=-\frac{1}{4}$
再计算外层的新运算：
$(-2)\otimes (-\frac{1}{4})=\frac{-2}{-\frac{1}{4}}-1=8-1=7$
【答案】
7
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解与运用，解题时需严格遵循先括号内后括号外的运算顺序，代入数值计算时要格外注意有理数运算的符号，熟练掌握有理数的除法、减法法则是正确解题的基础。
【难度系数】
0.7
这是新定义运算类题目，解题首先要明确给定的运算规则：$a\otimes b=\frac{a}{b}-1$，其次遵循有理数混合运算的运算顺序，有括号先算括号内的，先计算内层的$(-3)\otimes (-4)$，得到结果后再代入计算外层的新运算，计算过程中注意遵守有理数运算的符号法则，避免符号出错。
【解析】
解：根据新运算规则，先计算括号内的运算：
$(-3)\otimes (-4)=\frac{-3}{-4}-1=\frac{3}{4}-1=-\frac{1}{4}$
再计算外层的新运算：
$(-2)\otimes (-\frac{1}{4})=\frac{-2}{-\frac{1}{4}}-1=8-1=7$
【答案】
7
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解与运用，解题时需严格遵循先括号内后括号外的运算顺序，代入数值计算时要格外注意有理数运算的符号，熟练掌握有理数的除法、减法法则是正确解题的基础。
【难度系数】
0.7
6. 提升题 小明有5张写着不同数字的卡片，如图所示。请你按要求抽出卡片，回答下列问题。
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字乘积最大，并求出这个最大值。
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，并求出这个最小值。
(3)算24点游戏:从中取出4张卡片，用学过的“+”“−”“×”“÷”运算，使计算结果为24。请写出2个算式并进行计算。
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字乘积最大，并求出这个最大值。
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，并求出这个最小值。
(3)算24点游戏:从中取出4张卡片，用学过的“+”“−”“×”“÷”运算，使计算结果为24。请写出2个算式并进行计算。
答案
解：
(1) 抽取写有-3和-5的2张卡片，
$(-3)×(-5)=15$
所以乘积的最大值是15。
(2) 抽取写有-5和+1的2张卡片，
$(-5)÷1=-5$
所以商的最小值是-5。
(3) 示例算式：
① 抽取卡片$-3、-5、+3、+4$：
$3×4×[(-3)-(-5)]=12×2=24$
② 抽取卡片$-5、+1、+3、+4$：
$[4 - (-5) - 1]×3=8×3=24$
(1) 抽取写有-3和-5的2张卡片，
$(-3)×(-5)=15$
所以乘积的最大值是15。
(2) 抽取写有-5和+1的2张卡片，
$(-5)÷1=-5$
所以商的最小值是-5。
(3) 示例算式：
① 抽取卡片$-3、-5、+3、+4$：
$3×4×[(-3)-(-5)]=12×2=24$
② 抽取卡片$-5、+1、+3、+4$：
$[4 - (-5) - 1]×3=8×3=24$
解析
【分析】
(1) 要使2张卡片的数字乘积最大，根据有理数乘法“同号得正，异号得负”的规则，乘积为正数时才可能取最大值，只需分别计算两组同号数的乘积，比较后选择更大的即可：两个负数的乘积为$(-3)×(-5)=15$，最大的两个正数乘积为$3×4=12$，15更大，所以选-3和-5。
(2) 要使2张卡片的数字相除商最小，商应为最小的负数，根据有理数除法“同号得正，异号得负”的规则，需选异号两数，且被除数绝对值尽可能大、除数是绝对值最小的正数，这样商的绝对值最大、数值最小，因此选-5和+1。
(3) 24点是开放性问题，先任选4张卡片，结合有理数加减乘除的运算规则，尝试调整运算顺序和符号，凑出结果24即可，答案不唯一。
【解析】
(1) 抽取写有-3和-5的2张卡片，计算乘积：
$(-3)×(-5)=15$
(2) 抽取写有-5和+1的2张卡片，计算商：
$(-5)÷1=-5$
(3) 示例算式：
① 抽取卡片$-3、-5、+3、+4$：
$3×4×[(-3)-(-5)]=12×2=24$
② 抽取卡片$-5、+1、+3、+4$：
$[4 - (-5) - 1]×3=8×3=24$
【答案】
(1) 乘积最大值是15；
(2) 商的最小值是-5；
(3) 示例：①$3×4×[(-3)-(-5)]=24$；②$[4 - (-5) - 1]×3=24$（答案合理即可）
【知识点】
有理数乘法运算；有理数除法运算；有理数混合运算
【点评】
本题考查有理数运算法则的灵活应用，前两问需要结合运算的符号规律判断最优选择，第三问为开放性问题，需要熟练掌握四则运算规则，通过尝试不同组合得到结果，能有效提升运算能力和逻辑思维。
【难度系数】
0.7
(1) 要使2张卡片的数字乘积最大，根据有理数乘法“同号得正，异号得负”的规则，乘积为正数时才可能取最大值，只需分别计算两组同号数的乘积，比较后选择更大的即可：两个负数的乘积为$(-3)×(-5)=15$，最大的两个正数乘积为$3×4=12$，15更大，所以选-3和-5。
(2) 要使2张卡片的数字相除商最小，商应为最小的负数，根据有理数除法“同号得正，异号得负”的规则，需选异号两数，且被除数绝对值尽可能大、除数是绝对值最小的正数，这样商的绝对值最大、数值最小，因此选-5和+1。
(3) 24点是开放性问题，先任选4张卡片，结合有理数加减乘除的运算规则，尝试调整运算顺序和符号，凑出结果24即可，答案不唯一。
【解析】
(1) 抽取写有-3和-5的2张卡片，计算乘积：
$(-3)×(-5)=15$
(2) 抽取写有-5和+1的2张卡片，计算商：
$(-5)÷1=-5$
(3) 示例算式：
① 抽取卡片$-3、-5、+3、+4$：
$3×4×[(-3)-(-5)]=12×2=24$
② 抽取卡片$-5、+1、+3、+4$：
$[4 - (-5) - 1]×3=8×3=24$
【答案】
(1) 乘积最大值是15；
(2) 商的最小值是-5；
(3) 示例：①$3×4×[(-3)-(-5)]=24$；②$[4 - (-5) - 1]×3=24$（答案合理即可）
【知识点】
有理数乘法运算；有理数除法运算；有理数混合运算
【点评】
本题考查有理数运算法则的灵活应用，前两问需要结合运算的符号规律判断最优选择，第三问为开放性问题，需要熟练掌握四则运算规则，通过尝试不同组合得到结果，能有效提升运算能力和逻辑思维。
【难度系数】
0.7
