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例1 “五一”假期，某家庭开展自驾游活动，计划按A→B→C→D线路游览四个景点，如图，其中A，B，C三景点在同一直线上，D景点在A景点北偏东$30°$方向，在C景点北偏西$45°$方向，C景点在A景点北偏东$75°$方向。若A景点与D景点的直线距离$AD＝60\ \mathrm{km}$，问沿上述线路从A景点到D景点的路程是多少？
思路导引
根据已知角度准确分析出$△ DAC$中的两个特殊角$45°$和$60°$是本题的突破口。然后在不破坏特殊角的前提下，过点D作辅助线构造直角三角形，并进行计算解答，将实际问题转化为解直角三角形问题，问题就迎刃而解了。
归纳总结
在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到“两直线平行，内错角相等”或“同一个角的余角相等”等知识转化为所需要的角。掌握方向角的概念，理解锐角三角函数的定义是解题的关键。
思路导引
根据已知角度准确分析出$△ DAC$中的两个特殊角$45°$和$60°$是本题的突破口。然后在不破坏特殊角的前提下，过点D作辅助线构造直角三角形，并进行计算解答，将实际问题转化为解直角三角形问题，问题就迎刃而解了。
归纳总结
在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到“两直线平行，内错角相等”或“同一个角的余角相等”等知识转化为所需要的角。掌握方向角的概念，理解锐角三角函数的定义是解题的关键。
答案
从A景点到D景点的路程是$(30\sqrt{2}+30\sqrt{6})\mathrm{km}$。
解析
【分析】
首先根据方向角的定义和平行线的性质，先求出△ADC的内角度数：∠DAC=45°，∠ACD=60°。所求A→B→C→D的路程为AC+CD的长度之和，因此过D作DH⊥AC于H，将斜三角形拆分为两个含特殊角的直角三角形，再分别利用锐角三角函数求出各段边长，最后求和即可得到总路程。
【解析】
过点$D$作$DH⊥ AC$，垂足为$H$。
1. 求△ADC的内角：
由题意得$∠ DAC=75°-30°=45°$，
因为A、C两点的正北方向互相平行，根据两直线平行同旁内角互补，可得$∠ ACD=180°-75°-45°=60°$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ADH$中，$AD=60\ \mathrm{km}$，$∠ DAH=45°$：
$DH=AD·\sin45°=60×\frac{\sqrt{2}}{2}=30\sqrt{2}\ \mathrm{km}$，
$AH=AD·\cos45°=60×\frac{\sqrt{2}}{2}=30\sqrt{2}\ \mathrm{km}$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ CDH$中，$∠ DCH=60°$，$DH=30\sqrt{2}\ \mathrm{km}$：
$CD=\frac{DH}{\sin60°}=\frac{30\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=20\sqrt{6}\ \mathrm{km}$，
$CH=\frac{DH}{\tan60°}=\frac{30\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=10\sqrt{6}\ \mathrm{km}$。
4. 计算总路程：
$AC=AH+CH=30\sqrt{2}+10\sqrt{6}\ \mathrm{km}$，
总路程$=AC+CD=(30\sqrt{2}+10\sqrt{6})+20\sqrt{6}=30\sqrt{2}+30\sqrt{6}\ \mathrm{km}$。
【答案】
$(30\sqrt{2}+30\sqrt{6})\mathrm{km}$
【知识点】
方向角，解直角三角形，锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类问题，解题核心是通过方向角确定三角形内的特殊角，通过作高将斜三角形转化为熟悉的直角三角形求解，很好地考查了转化思想和知识应用能力。
【难度系数】
0.65
首先根据方向角的定义和平行线的性质，先求出△ADC的内角度数：∠DAC=45°，∠ACD=60°。所求A→B→C→D的路程为AC+CD的长度之和，因此过D作DH⊥AC于H，将斜三角形拆分为两个含特殊角的直角三角形，再分别利用锐角三角函数求出各段边长，最后求和即可得到总路程。
【解析】
过点$D$作$DH⊥ AC$，垂足为$H$。
1. 求△ADC的内角：
由题意得$∠ DAC=75°-30°=45°$，
因为A、C两点的正北方向互相平行，根据两直线平行同旁内角互补，可得$∠ ACD=180°-75°-45°=60°$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ADH$中，$AD=60\ \mathrm{km}$，$∠ DAH=45°$：
$DH=AD·\sin45°=60×\frac{\sqrt{2}}{2}=30\sqrt{2}\ \mathrm{km}$，
$AH=AD·\cos45°=60×\frac{\sqrt{2}}{2}=30\sqrt{2}\ \mathrm{km}$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ CDH$中，$∠ DCH=60°$，$DH=30\sqrt{2}\ \mathrm{km}$：
$CD=\frac{DH}{\sin60°}=\frac{30\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=20\sqrt{6}\ \mathrm{km}$，
$CH=\frac{DH}{\tan60°}=\frac{30\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=10\sqrt{6}\ \mathrm{km}$。
4. 计算总路程：
$AC=AH+CH=30\sqrt{2}+10\sqrt{6}\ \mathrm{km}$，
总路程$=AC+CD=(30\sqrt{2}+10\sqrt{6})+20\sqrt{6}=30\sqrt{2}+30\sqrt{6}\ \mathrm{km}$。
【答案】
$(30\sqrt{2}+30\sqrt{6})\mathrm{km}$
【知识点】
方向角，解直角三角形，锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类问题，解题核心是通过方向角确定三角形内的特殊角，通过作高将斜三角形转化为熟悉的直角三角形求解，很好地考查了转化思想和知识应用能力。
【难度系数】
0.65
1.【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务。为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动。
如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；
(2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A。（参考数据：$\sin 37° \approx 0.60$，$\cos 37° \approx 0.80$，$\tan 37° \approx 0.75$，$\sin 14° \approx 0.24$，$\cos 14° \approx 0.97$，$\tan 14° \approx 0.25$）
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务。为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动。
如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；
(2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A。（参考数据：$\sin 37° \approx 0.60$，$\cos 37° \approx 0.80$，$\tan 37° \approx 0.75$，$\sin 14° \approx 0.24$，$\cos 14° \approx 0.97$，$\tan 14° \approx 0.25$）
答案
解:(1)如图,过点 B 作 $BE ⊥ AC$ 于点 E，
设 $BE=x$，
依题意，$∠ EBC=53°,∠ EBD=45°,CD=10× \frac{1}{2}=5$ 海里，
所以 $∠ C=90°-∠ EBC=37°,ED=x$ 海里。
所以 $EC=ED+DC=(x+5)$ 海里。
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中，$EC=\frac{BE}{\tan C}=\frac{x}{\tan 37°}\approx \frac{x}{0.75}=\frac{4}{3}x$（海里），
所以 $\frac{4}{3}x=x+5$，
解得 $x=15$，
所以渔船在航行过程中到灯塔 B 的最短距离为15 海里。
(2)在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中，$∠ ABE=14°,BE=15$(海里)，
所以 $AE=BE· \tan 14°\approx 15× 0.25=3.75$(海里)。
所以 $AC=AE+DE+DC=3.75+15+5=23.75$(海里)，
$23.75÷ 10=2.375(\mathrm{h})=142.5\ \mathrm{min}$。
从 $14:30$，经过 $142.5\ \mathrm{min}$ 是 $16:52:30$，在 $17:30$ 之前到达。
所以不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头 A。
解析
【分析】
(1) 求渔船到灯塔B的最短距离，根据“点到直线的距离中垂线段最短”，首先过B作AC的垂线BE，BE即为所求最短距离。先根据渔船的航行速度和时间算出CD的长度，再结合方位角得到直角三角形内各锐角的度数，设BE为x，利用等腰直角三角形的性质得ED=x，再在Rt△BCE中用正切函数表示出EC，结合EC=ED+CD列方程即可求解。
(2) 判断渔船能否在浓雾前到达A，需先求出AC的总长度，再计算航行总时间与限定时间对比即可。在第一问求出BE的基础上，在Rt△ABE中用正切函数求出AE的长度，求和得到AC总长，代入“时间=路程÷速度”算出航行总时间，推算到达时间后与17:30比较即可得出结论。
【解析】
(1) 如图,过点 B 作 $BE ⊥ AC$ 于点 E，
设 $BE=x$，
依题意，渔船半小时航行的距离$CD=10× \frac{1}{2}=5$ 海里，由方位角可得$∠ EBC=53°,∠ EBD=45°$，
所以 $∠ C=90°-∠ EBC=37°$，$△ BED$为等腰直角三角形，因此$ED=BE=x$ 海里。
所以 $EC=ED+DC=(x+5)$ 海里。
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中，$\tan C=\frac{BE}{EC}$，即$EC=\frac{BE}{\tan C}=\frac{x}{\tan 37°}\approx \frac{x}{0.75}=\frac{4}{3}x$（海里），
因此列方程得 $\frac{4}{3}x=x+5$，
解得 $x=15$。
(2) 在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中，由方位角得$∠ ABE=14°,BE=15$海里，
所以 $AE=BE· \tan 14°\approx 15× 0.25=3.75$海里。
所以总路程$AC=AE+DE+DC=3.75+15+5=23.75$海里，
航行总时间为$23.75÷ 10=2.375(\mathrm{h})=142.5\ \mathrm{min}$。
从$14:30$出发，经过$142.5\ \mathrm{min}$后的时间是$16:52:30$，早于$17:30$。
【答案】
(1) 渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里；
(2) 不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A。
【知识点】
解直角三角形的应用；点到直线的距离；行程问题计算
【点评】
本题以实际航海导航场景为载体，考查了解直角三角形在方位角问题中的应用，需要学生具备将实际问题转化为几何问题的建模能力，同时结合方程思想、三角函数性质和行程公式求解，贴近生活实际，能有效考查学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求渔船到灯塔B的最短距离，根据“点到直线的距离中垂线段最短”，首先过B作AC的垂线BE，BE即为所求最短距离。先根据渔船的航行速度和时间算出CD的长度，再结合方位角得到直角三角形内各锐角的度数，设BE为x，利用等腰直角三角形的性质得ED=x，再在Rt△BCE中用正切函数表示出EC，结合EC=ED+CD列方程即可求解。
(2) 判断渔船能否在浓雾前到达A，需先求出AC的总长度，再计算航行总时间与限定时间对比即可。在第一问求出BE的基础上，在Rt△ABE中用正切函数求出AE的长度，求和得到AC总长，代入“时间=路程÷速度”算出航行总时间，推算到达时间后与17:30比较即可得出结论。
【解析】
(1) 如图,过点 B 作 $BE ⊥ AC$ 于点 E，
设 $BE=x$，
依题意，渔船半小时航行的距离$CD=10× \frac{1}{2}=5$ 海里，由方位角可得$∠ EBC=53°,∠ EBD=45°$，
所以 $∠ C=90°-∠ EBC=37°$，$△ BED$为等腰直角三角形，因此$ED=BE=x$ 海里。
所以 $EC=ED+DC=(x+5)$ 海里。
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中，$\tan C=\frac{BE}{EC}$，即$EC=\frac{BE}{\tan C}=\frac{x}{\tan 37°}\approx \frac{x}{0.75}=\frac{4}{3}x$（海里），
因此列方程得 $\frac{4}{3}x=x+5$，
解得 $x=15$。
(2) 在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中，由方位角得$∠ ABE=14°,BE=15$海里，
所以 $AE=BE· \tan 14°\approx 15× 0.25=3.75$海里。
所以总路程$AC=AE+DE+DC=3.75+15+5=23.75$海里，
航行总时间为$23.75÷ 10=2.375(\mathrm{h})=142.5\ \mathrm{min}$。
从$14:30$出发，经过$142.5\ \mathrm{min}$后的时间是$16:52:30$，早于$17:30$。
【答案】
(1) 渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里；
(2) 不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A。
【知识点】
解直角三角形的应用；点到直线的距离；行程问题计算
【点评】
本题以实际航海导航场景为载体，考查了解直角三角形在方位角问题中的应用，需要学生具备将实际问题转化为几何问题的建模能力，同时结合方程思想、三角函数性质和行程公式求解，贴近生活实际，能有效考查学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.7
