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基础知识
三角形的内切圆概念
困惑疑问：
课堂同步
基础知识
三角形的内切圆概念
与三角形各边都相切的圆
叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的内心
，这个三角形叫作圆的外切三角形
。困惑疑问：
课堂同步
答案
与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形。
解析
【分析】
这是一道基础概念识记题，考察三角形内切圆相关的核心定义，解题时只需准确回忆教材中对应概念的表述即可。思考时可按逻辑梳理：首先明确内切圆的定义是和三角形三边都相切的圆；其次内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，对应名称为内心；最后从圆的视角判断二者位置关系，与圆各边都相切的三角形叫作圆的外切三角形，注意不要和外接圆的相关概念（外心、内接三角形）混淆。
【解析】
根据三角形内切圆的相关概念逐一填空：
1. 三角形内切圆的定义为：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆；
2. 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心；
3. 该三角形所有边都和圆相切，因此叫作圆的外切三角形。
【答案】
与三角形各边都相切的圆；内心；外切三角形
【知识点】
三角形内切圆定义；三角形内心概念；外切三角形定义
【点评】
本题属于基础送分类题目，核心考察对基础概念的记忆掌握，学习时要注意区分内切圆、外接圆的对应名称，避免概念混淆即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
这是一道基础概念识记题，考察三角形内切圆相关的核心定义，解题时只需准确回忆教材中对应概念的表述即可。思考时可按逻辑梳理：首先明确内切圆的定义是和三角形三边都相切的圆；其次内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，对应名称为内心；最后从圆的视角判断二者位置关系，与圆各边都相切的三角形叫作圆的外切三角形，注意不要和外接圆的相关概念（外心、内接三角形）混淆。
【解析】
根据三角形内切圆的相关概念逐一填空：
1. 三角形内切圆的定义为：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆；
2. 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心；
3. 该三角形所有边都和圆相切，因此叫作圆的外切三角形。
【答案】
与三角形各边都相切的圆；内心；外切三角形
【知识点】
三角形内切圆定义；三角形内心概念；外切三角形定义
【点评】
本题属于基础送分类题目，核心考察对基础概念的记忆掌握，学习时要注意区分内切圆、外接圆的对应名称，避免概念混淆即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
思考（1）三角形的内心都在三角形的内部吗？
（2）三角形的内心到三角形三边的距离相等吗？
（2）三角形的内心到三角形三边的距离相等吗？
答案
(1)都在三角形内部
(2)相等
(2)相等
解析
【分析】
要解决这两个问题，首先回忆三角形内心的相关概念：①先明确内心的定义：三角形的内心是三条内角角平分线的交点；②再结合角平分线的性质推导内心的特点。对于第(1)问，思考不同类型（锐角、直角、钝角）三角形的内角角平分线的位置，内角的角平分线都在三角形内部，因此三条内角平分线的交点必然也在三角形内部；对于第(2)问，结合角平分线“角平分线上的点到角两边距离相等”的性质，内心同时在三条内角平分线上，因此到三边距离都相等。
【解析】
（1）三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，任意三角形的内角角平分线都位于三角形内部，因此三条内角角平分线的交点也一定在三角形的内部，故所有三角形的内心都在三角形内部。
（2）根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。三角形的内心是三条内角角平分线的公共交点，该点在三个内角的角平分线上，因此到三角形三边的距离都相等。
【答案】
(1)都在三角形内部
(2)相等
【知识点】
三角形内心的定义；角平分线的性质
【点评】
本题考查三角形内心的基础概念与性质，属于基础类题目，只要牢记内心的定义和对应的特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要解决这两个问题，首先回忆三角形内心的相关概念：①先明确内心的定义：三角形的内心是三条内角角平分线的交点；②再结合角平分线的性质推导内心的特点。对于第(1)问，思考不同类型（锐角、直角、钝角）三角形的内角角平分线的位置，内角的角平分线都在三角形内部，因此三条内角平分线的交点必然也在三角形内部；对于第(2)问，结合角平分线“角平分线上的点到角两边距离相等”的性质，内心同时在三条内角平分线上，因此到三边距离都相等。
【解析】
（1）三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，任意三角形的内角角平分线都位于三角形内部，因此三条内角角平分线的交点也一定在三角形的内部，故所有三角形的内心都在三角形内部。
（2）根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。三角形的内心是三条内角角平分线的公共交点，该点在三个内角的角平分线上，因此到三角形三边的距离都相等。
【答案】
(1)都在三角形内部
(2)相等
【知识点】
三角形内心的定义；角平分线的性质
【点评】
本题考查三角形内心的基础概念与性质，属于基础类题目，只要牢记内心的定义和对应的特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
1.下列命题正确的是(
A.三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
B.三角形的内心不一定在三角形的内部
C.等边三角形的内心、外心重合
D.一个圆一定有唯一一个外切三角形
C
)。A.三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
B.三角形的内心不一定在三角形的内部
C.等边三角形的内心、外心重合
D.一个圆一定有唯一一个外切三角形
答案
C
解析
【分析】
本题考查三角形内心、外心及圆的外切三角形的相关概念，解题时需逐一对应各选项涉及的知识点，结合定义和性质判断对错即可：首先回忆三角形内心是三个内角角平分线的交点，外心是三边垂直平分线的交点，分别对应两者的性质，再结合圆的外切三角形的特点排查选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 三角形的内心是三个内角角平分线的交点，性质是到三角形三边的距离相等，到三个顶点距离相等的是三角形的外心，因此A错误；
B. 任意三角形的内角角平分线都在三角形内部，其交点也必然在三角形内部，因此三角形的内心一定在三角形内部，B错误；
C. 等边三角形具有三线合一的性质，它的内角角平分线和对应边的垂直平分线完全重合，因此角平分线的交点（内心）和垂直平分线的交点（外心）重合，C正确；
D. 在圆上任取三个不重合的点，分别作圆的切线，只要三条切线不平行、不共点，就可以构成一个该圆的外切三角形，因此一个圆有无数个外切三角形，D错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质；三角形外心的性质；圆的外切三角形的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形内心和外心的定义、性质，熟记相关知识点即可快速得出正确结论，学习时要注意易混概念的辨析，避免把内心和外心的性质记混。
【难度系数】
0.8
本题考查三角形内心、外心及圆的外切三角形的相关概念，解题时需逐一对应各选项涉及的知识点，结合定义和性质判断对错即可：首先回忆三角形内心是三个内角角平分线的交点，外心是三边垂直平分线的交点，分别对应两者的性质，再结合圆的外切三角形的特点排查选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 三角形的内心是三个内角角平分线的交点，性质是到三角形三边的距离相等，到三个顶点距离相等的是三角形的外心，因此A错误；
B. 任意三角形的内角角平分线都在三角形内部，其交点也必然在三角形内部，因此三角形的内心一定在三角形内部，B错误；
C. 等边三角形具有三线合一的性质，它的内角角平分线和对应边的垂直平分线完全重合，因此角平分线的交点（内心）和垂直平分线的交点（外心）重合，C正确；
D. 在圆上任取三个不重合的点，分别作圆的切线，只要三条切线不平行、不共点，就可以构成一个该圆的外切三角形，因此一个圆有无数个外切三角形，D错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质；三角形外心的性质；圆的外切三角形的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形内心和外心的定义、性质，熟记相关知识点即可快速得出正确结论，学习时要注意易混概念的辨析，避免把内心和外心的性质记混。
【难度系数】
0.8
2.要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形(
A.三边高线的交点
B.三个角的平分线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三边中线的交点
B
)。A.三边高线的交点
B.三个角的平分线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三边中线的交点
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确三角形内面积最大的圆的特征：该圆需要和三角形的三边都相切，否则还可以继续扩大圆的面积，因此这个圆就是三角形的内切圆。接下来需要回忆三角形内切圆圆心的性质：圆心到三边的距离相等，结合角平分线"线上的点到角两边距离相等"的性质，可推导出内切圆圆心是三个角平分线的交点，最后区分其余选项对应的特殊点的性质，排除错误选项即可。
【解析】
1. 三角形中能截出的面积最大的圆是三角形的内切圆，该圆与三角形的三边都相切，因此圆心到三角形三边的距离相等。
2. 根据角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，因此三角形三个内角的角平分线的交点到三边的距离相等，该点就是内切圆的圆心（内心）。
3. 对其余选项逐一判断：
选项A：三边高线的交点是三角形的垂心，不符合内切圆圆心的要求；
选项C：三边垂直平分线的交点是三角形的外心，是外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等，不符合要求；
选项D：三边中线的交点是三角形的重心，不符合要求。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的内切圆；角平分线的性质；三角形特殊点的性质
【点评】
本题是基础概念考察题，核心是明确三角形内最大圆为内切圆，同时需要准确区分三角形各特殊线段交点的定义和性质，掌握相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确三角形内面积最大的圆的特征：该圆需要和三角形的三边都相切，否则还可以继续扩大圆的面积，因此这个圆就是三角形的内切圆。接下来需要回忆三角形内切圆圆心的性质：圆心到三边的距离相等，结合角平分线"线上的点到角两边距离相等"的性质，可推导出内切圆圆心是三个角平分线的交点，最后区分其余选项对应的特殊点的性质，排除错误选项即可。
【解析】
1. 三角形中能截出的面积最大的圆是三角形的内切圆，该圆与三角形的三边都相切，因此圆心到三角形三边的距离相等。
2. 根据角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，因此三角形三个内角的角平分线的交点到三边的距离相等，该点就是内切圆的圆心（内心）。
3. 对其余选项逐一判断：
选项A：三边高线的交点是三角形的垂心，不符合内切圆圆心的要求；
选项C：三边垂直平分线的交点是三角形的外心，是外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等，不符合要求；
选项D：三边中线的交点是三角形的重心，不符合要求。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的内切圆；角平分线的性质；三角形特殊点的性质
【点评】
本题是基础概念考察题，核心是明确三角形内最大圆为内切圆，同时需要准确区分三角形各特殊线段交点的定义和性质，掌握相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.8
3.如图,满足三角形内心在MN上的是(
A
)。答案
A
解析
【分析】
要判断哪个选项中三角形的内心在MN上，首先需明确三角形内心的定义：三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，因此只要MN是三角形的一条内角平分线，就满足题意。接下来结合尺规作图的特征，逐一判断四个选项中MN的作图类型即可得出答案。
【解析】
三角形的内心是三角形内角平分线的交点，因此若内心在MN上，则MN必须是三角形的一条内角平分线。
选项A：作图符合角平分线的尺规作图步骤，MN是∠M的内角平分线，因此该三角形的内心在MN上，符合要求；
选项B、C：作图为三角形某条边的垂直平分线，垂直平分线是三角形外心（三边垂直平分线的交点）所在的直线，不符合要求；
选项D：作图不属于内角平分线的作图，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内心的定义，尺规作角平分线
【点评】
本题考查三角形内心的性质与尺规作图的识别，解题的核心是牢记三角形内心是内角平分线的交点，能准确区分角平分线和垂直平分线的作图痕迹，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
要判断哪个选项中三角形的内心在MN上，首先需明确三角形内心的定义：三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，因此只要MN是三角形的一条内角平分线，就满足题意。接下来结合尺规作图的特征，逐一判断四个选项中MN的作图类型即可得出答案。
【解析】
三角形的内心是三角形内角平分线的交点，因此若内心在MN上，则MN必须是三角形的一条内角平分线。
选项A：作图符合角平分线的尺规作图步骤，MN是∠M的内角平分线，因此该三角形的内心在MN上，符合要求；
选项B、C：作图为三角形某条边的垂直平分线，垂直平分线是三角形外心（三边垂直平分线的交点）所在的直线，不符合要求；
选项D：作图不属于内角平分线的作图，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内心的定义，尺规作角平分线
【点评】
本题考查三角形内心的性质与尺规作图的识别，解题的核心是牢记三角形内心是内角平分线的交点，能准确区分角平分线和垂直平分线的作图痕迹，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
1. 如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别是$D,E,F$，已知$∠ A=100°$，$∠ C=30°$，则$∠ DFE$的度数是（
A.$55°$
B.$60°$
C.$65°$
D.$70°$
C
）。A.$55°$
B.$60°$
C.$65°$
D.$70°$
答案
C
解析
【分析】
解题思路可分为三步：①首先利用三角形内角和定理，结合已知的∠A和∠C的度数，求出△ABC中∠B的度数；②根据三角形内切圆的性质，可知圆心与切点的连线垂直于三角形的边，得到∠ODB和∠OEB均为直角，再结合四边形内角和为360°，求出圆心角∠DOE的度数；③根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠DFE的度数。
【解析】
1. 求∠B的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得
$∠ B=180°-∠ A-∠ C=180°-100°-30°=50°$
2. 求圆心角∠DOE的度数：
∵⊙O是△ABC的内切圆，D、E为AB、BC边上的切点
∴$OD⊥ AB$，$OE⊥ BC$，即$∠ ODB=∠ OEB=90°$
在四边形ODBE中，内角和为360°，因此
$∠ DOE=360°-∠ ODB-∠ OEB-∠ B=360°-90°-90°-50°=130°$
3. 求∠DFE的度数：
∵∠DFE是⊙O中弧DE所对的圆周角，∠DOE是弧DE所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得
$∠ DFE=\frac{1}{2}∠ DOE=\frac{1}{2}×130°=65°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，三角形内切圆的性质，圆周角定理
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础常考题，解题的核心是通过内切圆的性质得到圆心与切点连线垂直于边，进而求出对应圆心角的度数，再结合圆周角定理得到结果，整体解题逻辑清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：①首先利用三角形内角和定理，结合已知的∠A和∠C的度数，求出△ABC中∠B的度数；②根据三角形内切圆的性质，可知圆心与切点的连线垂直于三角形的边，得到∠ODB和∠OEB均为直角，再结合四边形内角和为360°，求出圆心角∠DOE的度数；③根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠DFE的度数。
【解析】
1. 求∠B的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得
$∠ B=180°-∠ A-∠ C=180°-100°-30°=50°$
2. 求圆心角∠DOE的度数：
∵⊙O是△ABC的内切圆，D、E为AB、BC边上的切点
∴$OD⊥ AB$，$OE⊥ BC$，即$∠ ODB=∠ OEB=90°$
在四边形ODBE中，内角和为360°，因此
$∠ DOE=360°-∠ ODB-∠ OEB-∠ B=360°-90°-90°-50°=130°$
3. 求∠DFE的度数：
∵∠DFE是⊙O中弧DE所对的圆周角，∠DOE是弧DE所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得
$∠ DFE=\frac{1}{2}∠ DOE=\frac{1}{2}×130°=65°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，三角形内切圆的性质，圆周角定理
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础常考题，解题的核心是通过内切圆的性质得到圆心与切点连线垂直于边，进而求出对应圆心角的度数，再结合圆周角定理得到结果，整体解题逻辑清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
