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10.某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行了如下讨论。甲同学:这种多边形不一定是正多边形,如圆内接矩形;乙同学:我发现边数是6时,它也不一定是正多边形,如图①,△ABC是正三角形,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CF}$,可以证明六边形ADBECF的各内角相等,但它未必是正六边形;丙同学:我能证明,边数是5时,它是正多边形,我想,边数是7时,它可能也是正多边形。
(1)请你说明乙同学构造的六边形各内角相等;
(2)请你证明,各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图②)是正七边形(不必写已知、求证)。
课后反思
存在的问题:
改进的措施:
(1)请你说明乙同学构造的六边形各内角相等;
(2)请你证明,各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图②)是正七边形(不必写已知、求证)。
课后反思
存在的问题:
改进的措施:
答案
10.解:(1)由图知$∠ AFC$对$\overset{\frown}{ABC}$，
因为$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{DA}$，而$∠ DAF$对的$\overset{\frown}{DEF}=\overset{\frown}{DBC}+\overset{\frown}{FC}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{DBC}=\overset{\frown}{ABC}$，
所以$∠ AFC=∠ DAF$。同理可证，其余各角都等于$∠ AFC$。
故题图①中六边形各角相等。
(2)因为$∠ A$对$\overset{\frown}{BEG}$，$∠ B$对$\overset{\frown}{CEA}$，
又因为$∠ A=∠ B$，
所以$\overset{\frown}{CEA}=\overset{\frown}{BEG}$。
所以$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AG}$。
同理，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{AG}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{FG}$。
所以$AB=CD=EF=AG=BC=DE=FG$。
所以各内角都相等的圆接七边形$ABCDEFG$是正七边形。
因为$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{DA}$，而$∠ DAF$对的$\overset{\frown}{DEF}=\overset{\frown}{DBC}+\overset{\frown}{FC}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{DBC}=\overset{\frown}{ABC}$，
所以$∠ AFC=∠ DAF$。同理可证，其余各角都等于$∠ AFC$。
故题图①中六边形各角相等。
(2)因为$∠ A$对$\overset{\frown}{BEG}$，$∠ B$对$\overset{\frown}{CEA}$，
又因为$∠ A=∠ B$，
所以$\overset{\frown}{CEA}=\overset{\frown}{BEG}$。
所以$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AG}$。
同理，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{AG}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{FG}$。
所以$AB=CD=EF=AG=BC=DE=FG$。
所以各内角都相等的圆接七边形$ABCDEFG$是正七边形。
解析
【分析】
(1) 要证明圆内接六边形各内角相等，依据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，因此只需证明每个内角所对的弧的度数相等即可。已知△ABC是正三角形，且$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CF}$，可通过弧的和差关系推导各内角对应的弧相等，进而得到角相等。
(2) 要证明圆内接等角七边形是正七边形，需证明它的各边相等，根据同圆中弦相等等价于其所对的弧相等，因此只需推导七边形各边对应的弧相等即可。利用等角对应弧相等的性质，通过弧的和差关系推导各边所对的劣弧相等，即可得到各边相等，结合已知内角相等的条件，即可判定为正七边形。
【解析】
(1) 由图可知$∠AFC$对$\overset{\frown}{ABC}$，
因为$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{DA}$，而$∠DAF$对的$\overset{\frown}{DEF}=\overset{\frown}{DBC}+\overset{\frown}{FC}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{DBC}=\overset{\frown}{ABC}$，
所以$∠AFC=∠DAF$。同理可证，其余各角都等于$∠AFC$，
故图①中六边形各角相等。
(2) 因为$∠A$对$\overset{\frown}{BEG}$，$∠B$对$\overset{\frown}{CEA}$，
又因为$∠A=∠B$，
所以$\overset{\frown}{CEA}=\overset{\frown}{BEG}$，两边同时减去公共弧$\overset{\frown}{CEG}$，可得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AG}$。
同理，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{AG}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{FG}$。
同圆中相等的弧对应的弦相等，因此$AB=CD=EF=AG=BC=DE=FG$，
结合七边形各内角相等的条件，可知各内角都相等的圆内接七边形$ABCDEFG$是正七边形。
【答案】
(1) 六边形ADBECF各内角相等，证明见解析；
(2) 各内角相等的圆内接七边形ABCDEFG是正七边形，证明见解析。
【知识点】
圆周角定理、弧弦角的关系、正多边形判定
【点评】
本题探究了圆内接等角多边形和正多边形的关联，解题核心是将角相等的条件通过圆周角定理转化为弧相等的条件，进一步推导边的关系。通过本题可明确：边数为偶数的圆内接等角多边形不一定是正多边形，边数为奇数的圆内接等角多边形一定是正多边形。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明圆内接六边形各内角相等，依据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，因此只需证明每个内角所对的弧的度数相等即可。已知△ABC是正三角形，且$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CF}$，可通过弧的和差关系推导各内角对应的弧相等，进而得到角相等。
(2) 要证明圆内接等角七边形是正七边形，需证明它的各边相等，根据同圆中弦相等等价于其所对的弧相等，因此只需推导七边形各边对应的弧相等即可。利用等角对应弧相等的性质，通过弧的和差关系推导各边所对的劣弧相等，即可得到各边相等，结合已知内角相等的条件，即可判定为正七边形。
【解析】
(1) 由图可知$∠AFC$对$\overset{\frown}{ABC}$，
因为$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{DA}$，而$∠DAF$对的$\overset{\frown}{DEF}=\overset{\frown}{DBC}+\overset{\frown}{FC}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{DBC}=\overset{\frown}{ABC}$，
所以$∠AFC=∠DAF$。同理可证，其余各角都等于$∠AFC$，
故图①中六边形各角相等。
(2) 因为$∠A$对$\overset{\frown}{BEG}$，$∠B$对$\overset{\frown}{CEA}$，
又因为$∠A=∠B$，
所以$\overset{\frown}{CEA}=\overset{\frown}{BEG}$，两边同时减去公共弧$\overset{\frown}{CEG}$，可得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AG}$。
同理，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{AG}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{FG}$。
同圆中相等的弧对应的弦相等，因此$AB=CD=EF=AG=BC=DE=FG$，
结合七边形各内角相等的条件，可知各内角都相等的圆内接七边形$ABCDEFG$是正七边形。
【答案】
(1) 六边形ADBECF各内角相等，证明见解析；
(2) 各内角相等的圆内接七边形ABCDEFG是正七边形，证明见解析。
【知识点】
圆周角定理、弧弦角的关系、正多边形判定
【点评】
本题探究了圆内接等角多边形和正多边形的关联，解题核心是将角相等的条件通过圆周角定理转化为弧相等的条件，进一步推导边的关系。通过本题可明确：边数为偶数的圆内接等角多边形不一定是正多边形，边数为奇数的圆内接等角多边形一定是正多边形。
【难度系数】
0.6
