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例1 下列关于角的叙述正确的是()
A.角是由两条射线组成的图形
B.平角是一条直线
C.周角是一个圆
D.把一条射线绕端点旋转所形成的图形叫角
【思路导析】角有两种定义.
【请你解答】
A.角是由两条射线组成的图形
B.平角是一条直线
C.周角是一个圆
D.把一条射线绕端点旋转所形成的图形叫角
【思路导析】角有两种定义.
【请你解答】
答案
D
解析
【分析】
本题属于角的概念辨析题，解题核心是紧扣角的两种定义（静态定义、动态定义），逐一比对各选项的描述是否符合概念要求，同时注意区分平角、周角与易混图形的差异。解题步骤为：首先回忆角的两种定义内容，再逐个分析每个选项是否满足定义的限定条件，排除错误选项后得到正确答案。
【解析】
首先明确角的两个核心定义：
①静态定义：由有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；
②动态定义：把一条射线绕端点旋转所形成的图形叫做角。
对各选项逐一分析：
A. 缺少角的静态定义中“两条射线有公共端点”的必备条件，任意两条射线不一定能组成角，因此A错误；
B. 平角有顶点和两条共线且方向相反的边，而直线没有顶点，二者是完全不同的图形，因此B错误；
C. 周角是射线绕端点旋转一周、终边与始边重合形成的角，有顶点和两条重合的边；而圆是曲线图形，和周角概念不同，因此C错误；
D. 描述完全符合角的动态定义，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
角的定义；平角的概念；周角的概念
【点评】
本题是基础概念类题型，重点考查对角的定义的理解与辨析，解题的关键是牢记概念中的限定条件，区分清楚角与直线、圆等易混图形的本质差异。
【难度系数】
0.8
本题属于角的概念辨析题，解题核心是紧扣角的两种定义（静态定义、动态定义），逐一比对各选项的描述是否符合概念要求，同时注意区分平角、周角与易混图形的差异。解题步骤为：首先回忆角的两种定义内容，再逐个分析每个选项是否满足定义的限定条件，排除错误选项后得到正确答案。
【解析】
首先明确角的两个核心定义：
①静态定义：由有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；
②动态定义：把一条射线绕端点旋转所形成的图形叫做角。
对各选项逐一分析：
A. 缺少角的静态定义中“两条射线有公共端点”的必备条件，任意两条射线不一定能组成角，因此A错误；
B. 平角有顶点和两条共线且方向相反的边，而直线没有顶点，二者是完全不同的图形，因此B错误；
C. 周角是射线绕端点旋转一周、终边与始边重合形成的角，有顶点和两条重合的边；而圆是曲线图形，和周角概念不同，因此C错误；
D. 描述完全符合角的动态定义，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
角的定义；平角的概念；周角的概念
【点评】
本题是基础概念类题型，重点考查对角的定义的理解与辨析，解题的关键是牢记概念中的限定条件，区分清楚角与直线、圆等易混图形的本质差异。
【难度系数】
0.8
例2 如图所示，共有多少个小于平角的角？请用适当的方法把它们表示出来.
【思路导析】分别找出以点A,B,C,D为顶点的角，然后按照角的表示方法表示出来即可.
【请你解答】
【思路导析】分别找出以点A,B,C,D为顶点的角，然后按照角的表示方法表示出来即可.
【请你解答】
答案
解：
按顶点分类统计小于平角的角：
1. 以点A为顶点的角：∠A，共1个；
2. 以点B为顶点的角：∠1，∠2，∠ABC，共3个；
3. 以点C为顶点的角：∠α，∠β，∠ACB，共3个；
4. 以点D为顶点的角：∠BDC，共1个。
1+3+3+1=8，因此共有8个小于平角的角，它们分别是∠A，∠1，∠2，∠ABC，∠α，∠β，∠ACB，∠BDC。
按顶点分类统计小于平角的角：
1. 以点A为顶点的角：∠A，共1个；
2. 以点B为顶点的角：∠1，∠2，∠ABC，共3个；
3. 以点C为顶点的角：∠α，∠β，∠ACB，共3个；
4. 以点D为顶点的角：∠BDC，共1个。
1+3+3+1=8，因此共有8个小于平角的角，它们分别是∠A，∠1，∠2，∠ABC，∠α，∠β，∠ACB，∠BDC。
解析
【分析】
要统计小于平角的角，首先明确平角是180°，小于平角的角就是度数在0°到180°之间的角。为了避免计数时出现重复或者遗漏的问题，我们采用按顶点分类计数的方法：依次找出以A、B、C、D四个点为顶点的所有符合要求的角，最后汇总总数量即可。
【解析】
按顶点分类统计小于平角的角：
1. 以点A为顶点的角：只有1个，记作∠A；
2. 以点B为顶点的角：单个的小角∠1、∠2，以及两个小角组合成的大角∠ABC，共3个；
3. 以点C为顶点的角：单个的小角∠α、∠β，以及两个小角组合成的大角∠ACB，共3个；
4. 以点D为顶点的角：只有1个，记作∠BDC。
总数量为$1+3+3+1=8$个。
【答案】
共有8个小于平角的角，它们分别是$∠ A$，$∠ 1$，$∠ 2$，$∠ ABC$，$∠ α$，$∠ β$，$∠ ACB$，$∠ BDC$。
【知识点】
角的概念；角的表示；分类计数
【点评】
本题属于角的计数基础题，采用按顶点分类的方法计数，能有效避免重复、漏数的问题，解题时需注意不要遗漏由多个小角组合而成的大角，同时要排除等于或大于平角的角。
【难度系数】
0.8
要统计小于平角的角，首先明确平角是180°，小于平角的角就是度数在0°到180°之间的角。为了避免计数时出现重复或者遗漏的问题，我们采用按顶点分类计数的方法：依次找出以A、B、C、D四个点为顶点的所有符合要求的角，最后汇总总数量即可。
【解析】
按顶点分类统计小于平角的角：
1. 以点A为顶点的角：只有1个，记作∠A；
2. 以点B为顶点的角：单个的小角∠1、∠2，以及两个小角组合成的大角∠ABC，共3个；
3. 以点C为顶点的角：单个的小角∠α、∠β，以及两个小角组合成的大角∠ACB，共3个；
4. 以点D为顶点的角：只有1个，记作∠BDC。
总数量为$1+3+3+1=8$个。
【答案】
共有8个小于平角的角，它们分别是$∠ A$，$∠ 1$，$∠ 2$，$∠ ABC$，$∠ α$，$∠ β$，$∠ ACB$，$∠ BDC$。
【知识点】
角的概念；角的表示；分类计数
【点评】
本题属于角的计数基础题，采用按顶点分类的方法计数，能有效避免重复、漏数的问题，解题时需注意不要遗漏由多个小角组合而成的大角，同时要排除等于或大于平角的角。
【难度系数】
0.8
例3 (1)$0.35°$等于多少分？等于多少秒？
(2)$1500''$等于多少分？等于多少度？
【思路导析】根据$1°=60'$，$1'=60''$，$1'=(\frac{1}{60})°$，$1''=(\frac{1}{60})'$进行换算。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
(2)$1500''$等于多少分？等于多少度？
【思路导析】根据$1°=60'$，$1'=60''$，$1'=(\frac{1}{60})°$，$1''=(\frac{1}{60})'$进行换算。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
(1) 因为 $1° = 60'$，
所以 $0.35° = 0.35 × 60' = 21'$。
又因为 $1' = 60''$，
所以 $21' = 21 × 60'' = 1260''$。
(2) 因为 $1'' = (\frac{1}{60})'$，
所以 $1500'' = 1500 × (\frac{1}{60})' = 25'$。
又因为 $1' = (\frac{1}{60})°$，
所以 $25' = 25 × (\frac{1}{60})° = (\frac{5}{12})°$。
答：(1) $0.35°$等于21分，等于1260秒；(2) $1500''$等于25分，等于$\frac{5}{12}$度。
(1) 因为 $1° = 60'$，
所以 $0.35° = 0.35 × 60' = 21'$。
又因为 $1' = 60''$，
所以 $21' = 21 × 60'' = 1260''$。
(2) 因为 $1'' = (\frac{1}{60})'$，
所以 $1500'' = 1500 × (\frac{1}{60})' = 25'$。
又因为 $1' = (\frac{1}{60})°$，
所以 $25' = 25 × (\frac{1}{60})° = (\frac{5}{12})°$。
答：(1) $0.35°$等于21分，等于1260秒；(2) $1500''$等于25分，等于$\frac{5}{12}$度。
解析
【分析】
这是度分秒的单位换算题，首先明确度、分、秒是60进制的相邻单位，换算原则为：大单位转化为小单位时乘进率60，小单位转化为大单位时乘$\frac{1}{60}$（或除以进率60）。第(1)问是把高级单位“度”依次换算为更低级的“分”“秒”，两次都用乘法计算；第(2)问是把低级单位“秒”依次换算为更高级的“分”“度”，两次都用乘$\frac{1}{60}$的方式计算即可。
【解析】
(1) 因为 $1° = 60'$，
所以 $0.35° = 0.35 × 60' = 21'$。
又因为 $1' = 60''$，
所以 $21' = 21 × 60'' = 1260''$。
(2) 因为 $1'' = (\frac{1}{60})'$，
所以 $1500'' = 1500 × (\frac{1}{60})' = 25'$。
又因为 $1' = (\frac{1}{60})°$，
所以 $25' = 25 × (\frac{1}{60})° = (\frac{5}{12})°$。
【答案】
(1) $0.35°$等于21分，等于1260秒；
(2) $1500''$等于25分，等于$\frac{5}{12}$度。
【知识点】
度分秒的换算、角的单位转换
【点评】
本题是角的度量部分的基础题型，主要考查度分秒之间的换算规则，解题关键是牢记度、分、秒相邻单位间的60进制关系，区分清楚大单位化小单位、小单位化大单位的不同计算方法，掌握该知识点可为后续角的和差倍分运算奠定基础。
【难度系数】
0.85
这是度分秒的单位换算题，首先明确度、分、秒是60进制的相邻单位，换算原则为：大单位转化为小单位时乘进率60，小单位转化为大单位时乘$\frac{1}{60}$（或除以进率60）。第(1)问是把高级单位“度”依次换算为更低级的“分”“秒”，两次都用乘法计算；第(2)问是把低级单位“秒”依次换算为更高级的“分”“度”，两次都用乘$\frac{1}{60}$的方式计算即可。
【解析】
(1) 因为 $1° = 60'$，
所以 $0.35° = 0.35 × 60' = 21'$。
又因为 $1' = 60''$，
所以 $21' = 21 × 60'' = 1260''$。
(2) 因为 $1'' = (\frac{1}{60})'$，
所以 $1500'' = 1500 × (\frac{1}{60})' = 25'$。
又因为 $1' = (\frac{1}{60})°$，
所以 $25' = 25 × (\frac{1}{60})° = (\frac{5}{12})°$。
【答案】
(1) $0.35°$等于21分，等于1260秒；
(2) $1500''$等于25分，等于$\frac{5}{12}$度。
【知识点】
度分秒的换算、角的单位转换
【点评】
本题是角的度量部分的基础题型，主要考查度分秒之间的换算规则，解题关键是牢记度、分、秒相邻单位间的60进制关系，区分清楚大单位化小单位、小单位化大单位的不同计算方法，掌握该知识点可为后续角的和差倍分运算奠定基础。
【难度系数】
0.85
例4 如图所示是教室讲台及四位学生座位示意图.给每位学生的座位填上一个字母,画出在讲台O处观察每两个学生所形成的视角,并表示出来.
【思路导析】讲台是这些角公共的顶点.
【规范解答】分别用A,B,C,D表示小明、小军、小华、小颖的位置.连OA,OB,OC,OD,得到在O处观察每两个同学的视角,如图.表示出来为：
$∠ AOB,∠ AOC,$
$∠ AOD,∠ BOC,$
$∠ BOD,∠ COD.$
变式探究
观察图形,解答下列问题:
(1)写出能用一个字母表示的角；
(2)写出以点B为顶点的角；
(3)图中共有多少个角小于$180°$？
【思路导析】讲台是这些角公共的顶点.
【规范解答】分别用A,B,C,D表示小明、小军、小华、小颖的位置.连OA,OB,OC,OD,得到在O处观察每两个同学的视角,如图.表示出来为：
$∠ AOB,∠ AOC,$
$∠ AOD,∠ BOC,$
$∠ BOD,∠ COD.$
变式探究
观察图形,解答下列问题:
(1)写出能用一个字母表示的角；
(2)写出以点B为顶点的角；
(3)图中共有多少个角小于$180°$？
答案
解：
(1) 能用一个字母表示的角为$∠ A$，$∠ C$。
(2) 以点B为顶点的角为$∠ ABE$，$∠ EBC$，$∠ ABC$。
(3) 图中小于$180°$的角共有7个。
(1) 能用一个字母表示的角为$∠ A$，$∠ C$。
(2) 以点B为顶点的角为$∠ ABE$，$∠ EBC$，$∠ ABC$。
(3) 图中小于$180°$的角共有7个。
解析
【分析】
解决本题需结合角的相关概念分步思考：
1. 第(1)问：依据“只有顶点处仅有一个角时，才能用一个大写字母表示该角”的规则，逐一排查各顶点处的角的数量即可。
2. 第(2)问：先确定顶点为B，再找出所有以B为端点的射线，将射线两两组合就能得到所有以B为顶点的角。
3. 第(3)问：采用“按顶点分类计数”的方法，逐个统计每个顶点处小于180°的角的数量，再相加求和，可避免漏数、重复数。
【解析】
(1) 观察图形可知，顶点A和顶点C处都只有1个角，其余顶点处都有2个及以上角，因此能用一个字母表示的角为∠A、∠C。
(2) 以B为端点的射线有BA、BE、BC三条，两两组合形成的角分别是∠ABE、∠EBC、∠ABC，这三个都是以B为顶点的角。
(3) 按顶点分类统计小于180°的角：
① 以A为顶点：1个，即∠A；
② 以B为顶点：3个，即∠ABE、∠EBC、∠ABC；
③ 以E为顶点：2个，即∠AEB、∠BEC；
④ 以C为顶点：1个，即∠C；
总数量为$1+3+2+1=7$个。
【答案】
(1) $∠ A$，$∠ C$
(2) $∠ ABE$，$∠ EBC$，$∠ ABC$
(3) $7$个
【知识点】
角的表示方法；角的计数；平角的概念
【点评】
本题侧重对角的基础概念的考查，解题的核心是熟练掌握角的表示规则，计数时养成按顺序分类统计的习惯，能有效降低错误率。
【难度系数】
0.7
解决本题需结合角的相关概念分步思考：
1. 第(1)问：依据“只有顶点处仅有一个角时，才能用一个大写字母表示该角”的规则，逐一排查各顶点处的角的数量即可。
2. 第(2)问：先确定顶点为B，再找出所有以B为端点的射线，将射线两两组合就能得到所有以B为顶点的角。
3. 第(3)问：采用“按顶点分类计数”的方法，逐个统计每个顶点处小于180°的角的数量，再相加求和，可避免漏数、重复数。
【解析】
(1) 观察图形可知，顶点A和顶点C处都只有1个角，其余顶点处都有2个及以上角，因此能用一个字母表示的角为∠A、∠C。
(2) 以B为端点的射线有BA、BE、BC三条，两两组合形成的角分别是∠ABE、∠EBC、∠ABC，这三个都是以B为顶点的角。
(3) 按顶点分类统计小于180°的角：
① 以A为顶点：1个，即∠A；
② 以B为顶点：3个，即∠ABE、∠EBC、∠ABC；
③ 以E为顶点：2个，即∠AEB、∠BEC；
④ 以C为顶点：1个，即∠C；
总数量为$1+3+2+1=7$个。
【答案】
(1) $∠ A$，$∠ C$
(2) $∠ ABE$，$∠ EBC$，$∠ ABC$
(3) $7$个
【知识点】
角的表示方法；角的计数；平角的概念
【点评】
本题侧重对角的基础概念的考查，解题的核心是熟练掌握角的表示规则，计数时养成按顺序分类统计的习惯，能有效降低错误率。
【难度系数】
0.7
