1. 如图，在梯形 $ABCD$ 中，$AB // DC$，对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，过 $O$ 作 $EF // AB$ 分别交 $AD$，$BC$ 于点 $E$，$F$。求证：$\frac{1}{AB} + \frac{1}{CD} = \frac{1}{EO}$。

1. $\because EF// AB,AB// DC,\therefore EF// DC,\therefore △ AOE∽ △ ACD,△ DOE∽ △ DBA,\therefore \frac{EO}{CD}=\frac{AE}{AD},\frac{EO}{AB}=\frac{DE}{AD},\therefore \frac{EO}{CD}+\frac{EO}{AB}=\frac{AE}{AD}+\frac{DE}{AD}=1,\therefore \frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{EO}$

证明：
$\because EF // AB$，$AB // DC$，
$\therefore EF // DC$。
$\because △ AOE ∽ △ ACD$，
$\therefore \frac{EO}{CD} = \frac{AE}{AD}$。
$\because △ DOE ∽ △ DBA$，
$\therefore \frac{EO}{AB} = \frac{DE}{AD}$。
$\therefore \frac{EO}{CD} + \frac{EO}{AB} = \frac{AE}{AD} + \frac{DE}{AD} = \frac{AE + DE}{AD} = \frac{AD}{AD} = 1$。
$\therefore EO(\frac{1}{AB} + \frac{1}{CD}) = 1$，
$\therefore \frac{1}{AB} + \frac{1}{CD} = \frac{1}{EO}$。

2. 如图，在 $△ ABC$ 中，已知 $CD$ 为边 $AB$ 上的高，正方形 $EFGH$ 的四个顶点分别在 $△ ABC$ 上。求证：$\frac{1}{AB} + \frac{1}{CD} = \frac{1}{EF}$。

2. $\because EF// CD,EH// AB,\therefore ∠ AFE=∠ ADC,∠ CEH=∠ A.\because ∠ A=∠ A,∠ ECH=∠ BCA,\therefore △ AFE∽ △ ADC,△ CEH∽ △ CAB.\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{EF}{CD},\frac{CE}{AC}=\frac{EH}{AB}.\because EF=EH,\therefore \frac{EF}{AB}+\frac{EF}{CD}=\frac{EH}{AB}+\frac{EF}{CD}=\frac{CE}{AC}+\frac{AE}{AC}=1\therefore \frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{EF}$

证明：
$\because$ 四边形 $EFGH$ 是正方形，
$\therefore EF // CD$，$EH // AB$，$EF = EH$。
$\because EF // CD$，
$\therefore ∠ AFE = ∠ ADC = 90°$，$∠ A = ∠ A$，
$\therefore △ AFE ∽ △ ADC$，
$\therefore \frac{AE}{AC} = \frac{EF}{CD}$。
$\because EH // AB$，
$\therefore ∠ CEH = ∠ A$，$∠ ECH = ∠ ACB$，
$\therefore △ CEH ∽ △ CAB$，
$\therefore \frac{CE}{AC} = \frac{EH}{AB}$。
$\because EF = EH$，
$\therefore \frac{EF}{AB} + \frac{EF}{CD} = \frac{CE}{AC} + \frac{AE}{AC} = \frac{CE + AE}{AC} = \frac{AC}{AC} = 1$。
两边同除以 $EF$，得 $\frac{1}{AB} + \frac{1}{CD} = \frac{1}{EF}$。

3. 如图，在等边 $△ ABC$ 中，$M$，$N$ 分别是边 $AB$，$AC$ 的中点，$D$ 为 $MN$ 上任意一点，$BD$，$CD$ 的延长线分别交 $AC$，$AB$ 于点 $E$，$F$。求证：$\frac{1}{CE} + \frac{1}{BF} = \frac{3}{AB}$。

3. 作$DP// AB,DQ// AC$,则四边形$MDPB$和四边形$NDQC$均为平行四边形且$△ DPQ$是等边三角形.$\therefore BP+CQ=MN,DP=DQ=PQ.\because M,N$分别是边$AB,AC$的中点,$\therefore MN=\frac{1}{2}BC=PQ.\because DP// AB,DQ// AC,\therefore △ CDP∽ △ CFB,△ BDQ∽ △ BEC,\therefore \frac{DP}{BF}=\frac{CP}{BC},\frac{DQ}{CE}=\frac{BQ}{BC},\therefore \frac{DP}{BF}+\frac{DQ}{CE}=\frac{CP}{BC}+\frac{BQ}{BC}=\frac{BC+PQ}{BC}=\frac{3}{2}.\because DP=DQ=PQ=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB,\therefore \frac{1}{2}AB(\frac{1}{CE}+\frac{1}{BF})=\frac{3}{2},\therefore \frac{1}{CE}+\frac{1}{BF}=\frac{3}{AB}$

证明：作$DP // AB$，$DQ // AC$。
因为$△ ABC$是等边三角形，$M$，$N$分别是$AB$，$AC$的中点，所以$MN // BC$，$MN = \frac{1}{2}BC$。
由于$DP // AB$，$DQ // AC$，则四边形$MDPB$和四边形$NDQC$均为平行四边形，$△ DPQ$是等边三角形，因此$BP = MD$，$CQ = ND$，$DP = DQ = PQ$。
因为$M$，$N$是中点，所以$MN = \frac{1}{2}BC$，故$PQ = MN = \frac{1}{2}BC$，$BP + CQ = MN = \frac{1}{2}BC$。
因为$DP // AB$，所以$△ CDP ∼ △ CFB$，则$\frac{DP}{BF} = \frac{CP}{BC}$。
因为$DQ // AC$，所以$△ BDQ ∼ △ BEC$，则$\frac{DQ}{CE} = \frac{BQ}{BC}$。
所以$\frac{DP}{BF} + \frac{DQ}{CE} = \frac{CP + BQ}{BC}$。
又因为$CP + BQ = BC + PQ = BC + \frac{1}{2}BC = \frac{3}{2}BC$，所以$\frac{DP}{BF} + \frac{DQ}{CE} = \frac{\frac{3}{2}BC}{BC} = \frac{3}{2}$。
因为$DP = DQ = PQ = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}AB$，所以$\frac{1}{2}AB(\frac{1}{CE} + \frac{1}{BF}) = \frac{3}{2}$，即$\frac{1}{CE} + \frac{1}{BF} = \frac{3}{AB}$。