5. 四边形$ABCD$内接于$\odot O$，$AB=AD$，$AC$是$\odot O$的直径，过点$A$作$MN// BD$.
(1)如图①，求证：$MN$是$\odot O$的切线；
(2)如图②，当$AB=2\sqrt{3}$，$∠ BAD=60^{\circ}$时，连接$DO$并延长，分别交$AM$，$AB$于点$E$，$F$，交$\odot O$于点$G$，求图中阴影部分的面积.

(1) 略 (2) $2\sqrt{3}-\frac{2}{3}π$

(1) 证明：连接 $ BD $，$ AC $ 与 $ BD $ 交于点 $ H $。
∵ $ AB = AD $，
∴ $ \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AD} $，
∵ $ AC $ 是直径，
∴ $ AC ⊥ BD $（垂径定理），即 $ ∠ AHB = 90° $。
∵ $ MN // BD $，
∴ $ ∠ NAC = ∠ AHB = 90° $，
∵ $ OA $ 是半径，
∴ $ MN $ 是 $ \odot O $ 的切线。
(2) 解：连接 $ OB $。
∵ $ AB = AD = 2\sqrt{3} $，$ ∠ BAD = 60° $，
∴ $ △ ABD $ 是等边三角形，$ BD = AB = 2\sqrt{3} $，$ ∠ ABD = 60° $。
∵ $ AC $ 是直径，$ AB = AD $，
∴ $ AC ⊥ BD $，$ BH = \frac{1}{2}BD = \sqrt{3} $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ABH $ 中，$ AH = AB · \cos 60° = 2\sqrt{3} × \frac{1}{2} = \sqrt{3} $，$ BH = AB · \sin 60° = 3 $。
设 $ \odot O $ 半径为 $ r $，则 $ OH = r - AH = r - \sqrt{3} $。
在 $ \mathrm{Rt}△ OBH $ 中，$ OB^2 = OH^2 + BH^2 $，即 $ r^2 = (r - \sqrt{3})^2 + 3 $，解得 $ r = 2 $。
∵ $ AB = AD $，$ OB = OD $，
∴ $ AO $ 垂直平分 $ BD $，$ ∠ BAO = \frac{1}{2}∠ BAD = 30° $。
∵ $ OA = OB $，
∴ $ ∠ AOB = 120° $，$ ∠ AOD = 120° $，$ ∠ AOG = 60° $。
∵ $ MN $ 是切线，
∴ $ OA ⊥ MN $，$ ∠ EAO = 90° $。
在 $ \mathrm{Rt}△ AOE $ 中，$ ∠ AOE = 60° $，$ AE = OA · \tan 60° = 2\sqrt{3} $。
$ S_{△ AOE} = \frac{1}{2} × OA × AE = \frac{1}{2} × 2 × 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} $。
$ S_{\mathrm{扇形} AOG} = \frac{60°}{360°} × π × 2^2 = \frac{2}{3}π $。
阴影部分面积 $ = S_{△ AOE} - S_{\mathrm{扇形} AOG} = 2\sqrt{3} - \frac{2}{3}π $。
答案：(2) $ 2\sqrt{3} - \frac{2}{3}π $

6. 如图，$C$是以$AB$为直径的$\odot O$上的一点，过$O$作$OE⊥ AC$于点$E$，过点$A$作$\odot O$的切线交$OE$的延长线于点$F$，连接$CF$并延长交$BA$的延长线于点$P$.
(1)求证：$PC$是$\odot O$的切线；
(2)若$AF=1$，$OA=2\sqrt{2}$，求$PC$的长.

1. （1）证明：
连接$OC$。
因为$OE⊥ AC$，$OA = OC$（圆的半径），根据等腰三角形三线合一性质，$OE$是$∠ AOC$的平分线，所以$∠ AOF=∠ COF$。
在$△ AOF$和$△ COF$中，$\{\begin{array}{l}OA = OC\\∠ AOF=∠ COF\\OF = OF\end{array} $，根据$SAS$（边角边）定理，$△ AOF≌△ COF$。
所以$∠ OCF=∠ OAF$。
因为$PA$是$\odot O$的切线，$OA$是半径，所以$∠ OAF = 90^{\circ}$，则$∠ OCF=∠ OAF = 90^{\circ}$，即$OC⊥ PC$。
又因为$OC$是$\odot O$的半径，所以$PC$是$\odot O$的切线。
2. （2）
在$Rt△ AOF$中，$OA = 2\sqrt{2}$，$AF = 1$，根据勾股定理$OF=\sqrt{OA^{2}+AF^{2}}$，则$OF=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+1^{2}}=\sqrt{8 + 1}=3$。
因为$△ AOF≌△ COF$，所以$CF = AF = 1$。
设$PC=x$，则$PO=x + 1$。
在$Rt△ POC$中，根据勾股定理$PC^{2}+OC^{2}=PO^{2}$，已知$OC = OA=2\sqrt{2}$。
即$x^{2}+(2\sqrt{2})^{2}=(x + 1)^{2}$。
展开$(x + 1)^{2}=x^{2}+2x + 1$，则$x^{2}+8=x^{2}+2x + 1$。
移项可得$2x=8 - 1$，即$2x=7$，解得$x=\frac{7}{2}$。
所以（1）得证；（2）$PC$的长为$\frac{7}{2}$。