3.【情景再现】在学习了平行四边形的概念后,进一步得到平行四边形的性质:平行四边形的对角线互相平分.
【性质应用】(1)如图1,在$□ ABCD$中,对角线$AC,BD$相交于点$O$,$OE ⊥ BD$交$DC$的延长线于点$E$,连结$BE$,若$□ ABCD$的周长为28,$△ BCE$的周长为18,求$CE$的长度.
【拓展提升】(2)如图2,有一个三角形景观花园$ABC$,现市政府为进一步提升城市绿化景观品质,决定对这个三角形花园进行创意性扩建.规划方案为:延长$AB$边到点$D$,使得$BD=AC$,同时延长$AC$边到点$E$,使得$CE=AB$,最后连结$DE$,打造出全新的三角形景观区域$ADE$.在原三角形花园$ABC$中,$P$是$BC$边的中点,从点$A$到点$P$有一条贯穿的小径$AP$,现需要把$BC$,$AP$,$BE$这三条路线打造为空中观景步道,方便市民从空中俯瞰花园美景.已知$∠ BAC=60°$,请探究线段$BE$与线段$AP$之间存在怎样的数量关系,并说明理由.

(1)$\because $ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AB=CD,AD=BC,OB=OD.$
$\because $ 平行四边形$ABCD$的周长为$2(BC+CD)=28,$
$\therefore BC+CD=14.$
$\because OE ⊥ BD,OB=OD,$
$\therefore OE$ 垂直平分线段$BD.$
$\therefore DE=BE.$
$\because △ BCE$ 的周长为$BC+CE+BE=BC+CE+DE=BC+CE+CD=BC+CD+CE=18,$
$\therefore CE=2.$
(2)$BE=2AP$. 理由如下:
如图所示,过点$B$作$BH// AE$交$DE$于点$H$,连结$PH,CH,AH.$
$\because ∠ BAC=60°,$
$\therefore ∠ DBH=∠ BAC=60°.$
$\because AB=CE,AC=BD,$
$\therefore AB+BD=AC+CE,$即$AD=AE.$
$\therefore △ ADE$ 是等边三角形.
$\therefore ∠ D=60°,DE=DA.$
$\therefore △ DBH$ 是等边三角形.
$\therefore BH=BD=DH.$
$\therefore BH=AC.$
又$\because BH// AC,$
$\therefore $ 四边形$ABHC$ 是平行四边形.
$\therefore AH,BC$ 互相平分.
$\because P$ 为$BC$ 的中点,
$\therefore A,P,H$ 三点共线.
$\therefore AH=2AP.$
在$△ ADH$ 和$△ EDB$ 中,$\begin{cases} AD=ED, \\ ∠ D=∠ D, \\ DH=DB, \end{cases}$
$\therefore △ ADH ≌ △ EDB(\mathrm{SAS}).$
$\therefore AH=BE.$
$\therefore BE=2AP.$