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1. 下列是二元一次方程的是 （
A.$x - 1 = 2x$
B.$x = \frac{1}{y}$
C.$x - 2y = 0$
D.$x - y$
C
）A.$x - 1 = 2x$
B.$x = \frac{1}{y}$
C.$x - 2y = 0$
D.$x - y$
答案
1.C
解析
【分析】
解这道题的核心是先明确二元一次方程的判定标准，需同时满足3个条件：①是含有未知数的等式（即属于方程）；②一共含有2个不同的未知数；③含未知数的项的次数都是1，且是整式方程（分母中不含未知数）。接下来我们就用这3个标准逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
逐一分析选项：
A. $x-1=2x$，仅含有1个未知数$x$，属于一元一次方程，不符合二元一次方程要求，排除；
B. $x=\frac{1}{y}$，分母中含有未知数$y$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
C. $x-2y=0$，含有$x$、$y$两个未知数，含未知数的项的次数均为1，且是整式方程，完全符合二元一次方程的定义；
D. $x-y$是代数式，不含等号，不属于方程，不符合要求，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二元一次方程的定义
2.整式方程的概念
3.方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是牢记二元一次方程的三个判定条件，注意区分分式方程和整式方程、代数式和方程的差异，熟练掌握基础概念即可快速做对。
【难度系数】
0.9
解这道题的核心是先明确二元一次方程的判定标准，需同时满足3个条件：①是含有未知数的等式（即属于方程）；②一共含有2个不同的未知数；③含未知数的项的次数都是1，且是整式方程（分母中不含未知数）。接下来我们就用这3个标准逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
逐一分析选项：
A. $x-1=2x$，仅含有1个未知数$x$，属于一元一次方程，不符合二元一次方程要求，排除；
B. $x=\frac{1}{y}$，分母中含有未知数$y$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
C. $x-2y=0$，含有$x$、$y$两个未知数，含未知数的项的次数均为1，且是整式方程，完全符合二元一次方程的定义；
D. $x-y$是代数式，不含等号，不属于方程，不符合要求，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二元一次方程的定义
2.整式方程的概念
3.方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是牢记二元一次方程的三个判定条件，注意区分分式方程和整式方程、代数式和方程的差异，熟练掌握基础概念即可快速做对。
【难度系数】
0.9
2.若$\begin{cases}x=1, \\ y=-1\end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程$x - ay = 4$的一组解，则$a$的值为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
2.C
解析
【分析】
首先回忆二元一次方程解的定义：能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解。已知给出的x、y的值是方程的解，因此我们可以直接把x=1、y=-1代入原方程，得到一个只含有未知数a的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出a的取值。
【解析】
将$\begin{cases}x=1 \\ y=-1\end{cases}$代入二元一次方程$x - ay = 4$，可得：
$1 - a×(-1) = 4$
化简得：$1 + a = 4$
移项计算得：$a = 4 - 1 = 3$
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解二元一次方程的解满足方程本身，通过代入转化为一元一次方程求解即可，计算量小，掌握基本概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
首先回忆二元一次方程解的定义：能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解。已知给出的x、y的值是方程的解，因此我们可以直接把x=1、y=-1代入原方程，得到一个只含有未知数a的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出a的取值。
【解析】
将$\begin{cases}x=1 \\ y=-1\end{cases}$代入二元一次方程$x - ay = 4$，可得：
$1 - a×(-1) = 4$
化简得：$1 + a = 4$
移项计算得：$a = 4 - 1 = 3$
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解二元一次方程的解满足方程本身，通过代入转化为一元一次方程求解即可，计算量小，掌握基本概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
3. 用加减消元法解二元一次方程组$\begin{cases}2x + 10y = 5, ① \\4x - y = -11 ②\end{cases}$时，下列方法无法消元的是（ ）
A.①×2－②
B.①＋②×10
C.①×(-2)＋②
D.①－②×10
A.①×2－②
B.①＋②×10
C.①×(-2)＋②
D.①－②×10
答案
3.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆加减消元法的核心原理：通过对两个方程乘合适的系数，使同一个未知数的系数相等或互为相反数，再将两个方程相加或相减，就能消去这个未知数。我们只需逐个分析每个选项的操作，判断操作后是否有未知数的系数变为0，若没有则无法实现消元。
【解析】
我们逐一验证每个选项：
A. ①×2得：$4x + 20y = 10$，再减去②：$(4x + 20y)-(4x - y)=10-(-11)$，计算后x的系数为0，成功消去x，可消元，不符合题意。
B. ②×10得：$40x - 10y = -110$，再加上①：$(2x + 10y)+(40x - 10y)=5+(-110)$，计算后y的系数为0，成功消去y，可消元，不符合题意。
C. ①×(-2)得：$-4x - 20y = -10$，再加上②：$(-4x - 20y)+(4x - y)=-10+(-11)$，计算后x的系数为0，成功消去x，可消元，不符合题意。
D. ②×10得：$40x - 10y = -110$，用①减去该式：$(2x + 10y)-(40x - 10y)=5-(-110)$，化简得$-38x + 20y = 115$，x、y的系数都不为0，没有消去任何未知数，无法消元，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组
【点评】
本题考查加减消元法的实际应用，解题关键是理解消元的本质是让某一未知数的系数相等或互为相反数，属于基础类题型，熟练掌握消元规则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆加减消元法的核心原理：通过对两个方程乘合适的系数，使同一个未知数的系数相等或互为相反数，再将两个方程相加或相减，就能消去这个未知数。我们只需逐个分析每个选项的操作，判断操作后是否有未知数的系数变为0，若没有则无法实现消元。
【解析】
我们逐一验证每个选项：
A. ①×2得：$4x + 20y = 10$，再减去②：$(4x + 20y)-(4x - y)=10-(-11)$，计算后x的系数为0，成功消去x，可消元，不符合题意。
B. ②×10得：$40x - 10y = -110$，再加上①：$(2x + 10y)+(40x - 10y)=5+(-110)$，计算后y的系数为0，成功消去y，可消元，不符合题意。
C. ①×(-2)得：$-4x - 20y = -10$，再加上②：$(-4x - 20y)+(4x - y)=-10+(-11)$，计算后x的系数为0，成功消去x，可消元，不符合题意。
D. ②×10得：$40x - 10y = -110$，用①减去该式：$(2x + 10y)-(40x - 10y)=5-(-110)$，化简得$-38x + 20y = 115$，x、y的系数都不为0，没有消去任何未知数，无法消元，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组
【点评】
本题考查加减消元法的实际应用，解题关键是理解消元的本质是让某一未知数的系数相等或互为相反数，属于基础类题型，熟练掌握消元规则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
4.老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解方程组$\begin{cases}2x+3y=8,①\\3x-5y=5,②\end{cases}$规则是每人只能看到前一人的计算结果，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，过程如图所示，且其中有一位同学的解题步骤出现错误，则解题中出现错误的同学是（ ）
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
4.C
解析
【分析】
这道题需要按照代入消元法解二元一次方程组的运算规则，依次检查每位同学的步骤是否正确：首先验证甲对第一个方程的变形是否正确，再验证乙代入方程的过程是否正确，接着验证丙去分母的运算是否符合等式性质，最后验证丁的求解计算是否正确，即可找到出错的同学。
【解析】
我们逐步骤核对运算的正确性：
1. 核对甲的步骤：对①式$2x+3y=8$移项得$2x=8-3y$，两边同时除以2，可得$x=\frac{8-3y}{2}$，甲的步骤正确。
2. 核对乙的步骤：将③式代入②式$3x-5y=5$，替换$x$后得到$3×\frac{8-3y}{2}-5y=5$，乙的步骤正确。
3. 核对丙的步骤：对$3×\frac{8-3y}{2}-5y=5$去分母，根据等式的性质，等式两边要同时乘2，右边$5×2=10$，但丙计算后右边仍为5，漏乘了常数项，步骤错误。
4. 核对丁的步骤：按照丙的错误式子$24-9y-10y=5$计算，合并同类项得$19y=19$，解得$y=1$，再代入①式得$x=\frac{5}{2}$，丁的运算过程本身没有错误。
综上，解题中出现错误的是丙。
【答案】
C
【知识点】
代入消元法解二元一次方程组，等式的性质
【点评】
本题重点考查解二元一次方程组时代入消元法的规范操作，需要注意去分母时不要漏乘不含分母的项，这是解方程组时的高频易错点。
【难度系数】
0.7
这道题需要按照代入消元法解二元一次方程组的运算规则，依次检查每位同学的步骤是否正确：首先验证甲对第一个方程的变形是否正确，再验证乙代入方程的过程是否正确，接着验证丙去分母的运算是否符合等式性质，最后验证丁的求解计算是否正确，即可找到出错的同学。
【解析】
我们逐步骤核对运算的正确性：
1. 核对甲的步骤：对①式$2x+3y=8$移项得$2x=8-3y$，两边同时除以2，可得$x=\frac{8-3y}{2}$，甲的步骤正确。
2. 核对乙的步骤：将③式代入②式$3x-5y=5$，替换$x$后得到$3×\frac{8-3y}{2}-5y=5$，乙的步骤正确。
3. 核对丙的步骤：对$3×\frac{8-3y}{2}-5y=5$去分母，根据等式的性质，等式两边要同时乘2，右边$5×2=10$，但丙计算后右边仍为5，漏乘了常数项，步骤错误。
4. 核对丁的步骤：按照丙的错误式子$24-9y-10y=5$计算，合并同类项得$19y=19$，解得$y=1$，再代入①式得$x=\frac{5}{2}$，丁的运算过程本身没有错误。
综上，解题中出现错误的是丙。
【答案】
C
【知识点】
代入消元法解二元一次方程组，等式的性质
【点评】
本题重点考查解二元一次方程组时代入消元法的规范操作，需要注意去分母时不要漏乘不含分母的项，这是解方程组时的高频易错点。
【难度系数】
0.7
5. 方程组$\begin{cases}2x=\frac{y}{2}+5, \\2x+3y=12\end{cases}$的解为（ ）
A.$\begin{cases}x=2, \\y=3\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=3, \\y=2\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=-2, \\y=3\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=-3, \\y=-2\end{cases}$
A.$\begin{cases}x=2, \\y=3\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=3, \\y=2\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=-2, \\y=3\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=-3, \\y=-2\end{cases}$
答案
5.B
解析
【分析】
这是二元一次方程组求解的题目，可采用代入消元法解答。观察两个方程发现，第一个方程直接给出了2x的表达式，第二个方程也含有2x项，因此可以将第一个方程的2x整体代入第二个方程，先消去未知数x求出y的值，再将y的值代回原方程求出x的值，最后对应选项选出答案即可，也可通过将选项逐一代入方程组验证是否成立来解题。
【解析】
先给方程组的两个方程编号：
$\begin{cases}2x=\frac{y}{2}+5&① \\2x+3y=12&②\end{cases}$
将①代入②得：$\frac{y}{2}+5 + 3y =12$
合并同类项、移项得：$\frac{7y}{2} = 7$
两边同时乘2得：$7y=14$，解得$y=2$
把$y=2$代入①得：$2x=\frac{2}{2}+5=6$，解得$x=3$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=3 \\y=2\end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解法；代入消元法
【点评】
本题属于基础题，考查二元一次方程组的求解，解题时可根据方程的特点选择简便的消元方法，整体代入能有效减少计算量，也可通过代入选项快速验证得出答案。
【难度系数】
0.8
这是二元一次方程组求解的题目，可采用代入消元法解答。观察两个方程发现，第一个方程直接给出了2x的表达式，第二个方程也含有2x项，因此可以将第一个方程的2x整体代入第二个方程，先消去未知数x求出y的值，再将y的值代回原方程求出x的值，最后对应选项选出答案即可，也可通过将选项逐一代入方程组验证是否成立来解题。
【解析】
先给方程组的两个方程编号：
$\begin{cases}2x=\frac{y}{2}+5&① \\2x+3y=12&②\end{cases}$
将①代入②得：$\frac{y}{2}+5 + 3y =12$
合并同类项、移项得：$\frac{7y}{2} = 7$
两边同时乘2得：$7y=14$，解得$y=2$
把$y=2$代入①得：$2x=\frac{2}{2}+5=6$，解得$x=3$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=3 \\y=2\end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解法；代入消元法
【点评】
本题属于基础题，考查二元一次方程组的求解，解题时可根据方程的特点选择简便的消元方法，整体代入能有效减少计算量，也可通过代入选项快速验证得出答案。
【难度系数】
0.8
6. 已知方程组$\begin{cases}a - 2b = 6, \\ 3a - b = m\end{cases}$中，$a,b$互为相反数，则$m$的值是（ ）
A.4
B.$-4$
C.0
D.8
A.4
B.$-4$
C.0
D.8
答案
6.D
解析
【分析】
解题时首先利用“互为相反数的两个数满足a=-b”的性质，将a用含b的式子表示，代入第一个方程先求解出b的值，再得到a的值，最后把a、b代入第二个含有m的方程，即可算出m的结果。
【解析】
∵a、b互为相反数，
∴a = -b。
将a = -b代入方程a - 2b = 6，得：
-b - 2b = 6
合并同类项得：-3b = 6
解得：b = -2
∴a = -b = 2
把a=2，b=-2代入方程3a - b = m，得：
m = 3×2 - (-2) = 6 + 2 = 8
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 相反数的性质
2. 代入消元法解二元一次方程组
【点评】
本题是基础题，结合相反数的性质考查二元一次方程组的求解，只要熟练掌握代入消元的方法和相反数的基本性质，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用“互为相反数的两个数满足a=-b”的性质，将a用含b的式子表示，代入第一个方程先求解出b的值，再得到a的值，最后把a、b代入第二个含有m的方程，即可算出m的结果。
【解析】
∵a、b互为相反数，
∴a = -b。
将a = -b代入方程a - 2b = 6，得：
-b - 2b = 6
合并同类项得：-3b = 6
解得：b = -2
∴a = -b = 2
把a=2，b=-2代入方程3a - b = m，得：
m = 3×2 - (-2) = 6 + 2 = 8
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 相反数的性质
2. 代入消元法解二元一次方程组
【点评】
本题是基础题，结合相反数的性质考查二元一次方程组的求解，只要熟练掌握代入消元的方法和相反数的基本性质，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
7.《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，两家之数相当。二边闲坐恼心肠，画地算了半晌。这
道题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，两人都在暗中合计，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍。”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多。”设甲有$ x $只羊，乙有$ y $只羊，根据题意列出二元一次方程组为 （
A.$\begin{cases} x - 9 = 2(y + 9), \\ y + 9 = x - 9 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + 9 = 2(y - 9), \\ y + 9 = x - 9 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + 9 = 2y, \\ y + 9 = x \end{cases}$
D.$\begin{cases} x - 9 = 2y, \\ y + 9 = x - 9 \end{cases}$
道题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，两人都在暗中合计，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍。”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多。”设甲有$ x $只羊，乙有$ y $只羊，根据题意列出二元一次方程组为 （
B
）A.$\begin{cases} x - 9 = 2(y + 9), \\ y + 9 = x - 9 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + 9 = 2(y - 9), \\ y + 9 = x - 9 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + 9 = 2y, \\ y + 9 = x \end{cases}$
D.$\begin{cases} x - 9 = 2y, \\ y + 9 = x - 9 \end{cases}$
答案
7.B
解析
【分析】
要列出符合题意的二元一次方程组，需分别从甲、乙的表述中提取等量关系，注意羊的转移会让两人的羊数同时变化：得到羊的一方数量加9，失去羊的一方数量减9。首先分析甲的话：甲得到乙的9只羊后，甲的羊数是此时乙的羊数的2倍，据此列第一个方程；再分析乙的话：乙得到甲的9只羊后，两人的羊数相等，据此列第二个方程，联立两个方程再匹配选项即可。
【解析】
1. 翻译甲的表述列方程：甲得到乙的9只羊后，甲的羊数为$x+9$，乙失去9只羊后数量为$y-9$，此时甲的羊数是乙的2倍，可得方程：$x + 9 = 2(y - 9)$。
2. 翻译乙的表述列方程：乙得到甲的9只羊后，乙的羊数为$y+9$，甲失去9只羊后数量为$x-9$，此时两人羊数相等，可得方程：$y + 9 = x - 9$。
联立两个方程得到方程组，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组应用，实际问题列方程
【点评】
本题以古代数学问题为背景，核心考查对数量变化关系的梳理能力，解题时注意避免混淆羊转移后两方的数量增减，就能准确列出方程组。
【难度系数】
0.75
要列出符合题意的二元一次方程组，需分别从甲、乙的表述中提取等量关系，注意羊的转移会让两人的羊数同时变化：得到羊的一方数量加9，失去羊的一方数量减9。首先分析甲的话：甲得到乙的9只羊后，甲的羊数是此时乙的羊数的2倍，据此列第一个方程；再分析乙的话：乙得到甲的9只羊后，两人的羊数相等，据此列第二个方程，联立两个方程再匹配选项即可。
【解析】
1. 翻译甲的表述列方程：甲得到乙的9只羊后，甲的羊数为$x+9$，乙失去9只羊后数量为$y-9$，此时甲的羊数是乙的2倍，可得方程：$x + 9 = 2(y - 9)$。
2. 翻译乙的表述列方程：乙得到甲的9只羊后，乙的羊数为$y+9$，甲失去9只羊后数量为$x-9$，此时两人羊数相等，可得方程：$y + 9 = x - 9$。
联立两个方程得到方程组，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组应用，实际问题列方程
【点评】
本题以古代数学问题为背景，核心考查对数量变化关系的梳理能力，解题时注意避免混淆羊转移后两方的数量增减，就能准确列出方程组。
【难度系数】
0.75
