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1.若两条平行线被第三条直线所截，则一对内错角的平分线互相（
A.垂直
B.平行
C.重合
D.相交
B
）A.垂直
B.平行
C.重合
D.相交
答案
1.B
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆平行线的性质，两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；再结合角平分线的定义，可得两个内错角的一半也相等；这两个相等的角恰好是两条角平分线被原截线所截形成的内错角，最后根据“内错角相等，两直线平行”即可判断两条角平分线的位置关系。
【解析】
我们可以通过推导角的关系证明：
设两条平行线为$AB // CD$，第三条截线为$EF$，$EF$分别交$AB$、$CD$于点$E$、$F$，此时内错角$∠ AEF = ∠ EFD$（两直线平行，内错角相等）。
设$EM$平分$∠ AEF$，$FN$平分$∠ EFD$，根据角平分线的定义可得：
$∠ MEF = \frac{1}{2}∠ AEF$，$∠ EFN = \frac{1}{2}∠ EFD$。
因为$∠ AEF = ∠ EFD$，所以$∠ MEF = ∠ EFN$。
$∠ MEF$和$∠ EFN$是直线$EM$、$FN$被$EF$所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$EM // FN$，即一对内错角的平分线互相平行。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；平行线的判定
【点评】
本题是平行线相关性质和判定的基础应用，解题关键是通过角平分线的性质推导得到新的内错角相等，进而判断直线的位置关系，需要熟练掌握平行线的相关定理。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先回忆平行线的性质，两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；再结合角平分线的定义，可得两个内错角的一半也相等；这两个相等的角恰好是两条角平分线被原截线所截形成的内错角，最后根据“内错角相等，两直线平行”即可判断两条角平分线的位置关系。
【解析】
我们可以通过推导角的关系证明：
设两条平行线为$AB // CD$，第三条截线为$EF$，$EF$分别交$AB$、$CD$于点$E$、$F$，此时内错角$∠ AEF = ∠ EFD$（两直线平行，内错角相等）。
设$EM$平分$∠ AEF$，$FN$平分$∠ EFD$，根据角平分线的定义可得：
$∠ MEF = \frac{1}{2}∠ AEF$，$∠ EFN = \frac{1}{2}∠ EFD$。
因为$∠ AEF = ∠ EFD$，所以$∠ MEF = ∠ EFN$。
$∠ MEF$和$∠ EFN$是直线$EM$、$FN$被$EF$所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$EM // FN$，即一对内错角的平分线互相平行。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；平行线的判定
【点评】
本题是平行线相关性质和判定的基础应用，解题关键是通过角平分线的性质推导得到新的内错角相等，进而判断直线的位置关系，需要熟练掌握平行线的相关定理。
【难度系数】
0.8
2.在下列选项中，若$∠ 1=∠ 2$，能判断$AB// CD$的是 （
D
）答案
2.D
解析
【分析】
本题考查平行线的判定，解题思路是：首先明确平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等，两直线平行。要通过∠1=∠2判断AB//CD，需验证∠1和∠2是否是直线AB、CD被同一条截线所截形成的同位角或内错角，我们逐个分析四个选项中两个角的位置关系即可得出结论。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：∠1和∠2不是直线AB、CD被同一条直线所截得到的同位角或内错角，因此即使∠1=∠2，也无法判定AB//CD；
B选项：∠1和∠2的截线不共线，不属于AB、CD被同一直线截得的同位角或内错角，不能判定AB//CD；
C选项：∠1和∠2是不同斜线与AC形成的角，不是AB、CD被同一直线截得的相关角，不能判定AB//CD；
D选项：∠1和∠2是直线AB、CD被直线AC所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，当∠1=∠2时，可直接判定AB//CD。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定；内错角的识别
【点评】
本题属于平行线判定的基础题，解题核心是准确区分角的截线与被截线，判断两个角是否为两条目标直线被同一直线截得的同位角或内错角，避免因角的位置识别错误丢分。
【难度系数】
0.7
本题考查平行线的判定，解题思路是：首先明确平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等，两直线平行。要通过∠1=∠2判断AB//CD，需验证∠1和∠2是否是直线AB、CD被同一条截线所截形成的同位角或内错角，我们逐个分析四个选项中两个角的位置关系即可得出结论。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：∠1和∠2不是直线AB、CD被同一条直线所截得到的同位角或内错角，因此即使∠1=∠2，也无法判定AB//CD；
B选项：∠1和∠2的截线不共线，不属于AB、CD被同一直线截得的同位角或内错角，不能判定AB//CD；
C选项：∠1和∠2是不同斜线与AC形成的角，不是AB、CD被同一直线截得的相关角，不能判定AB//CD；
D选项：∠1和∠2是直线AB、CD被直线AC所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，当∠1=∠2时，可直接判定AB//CD。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定；内错角的识别
【点评】
本题属于平行线判定的基础题，解题核心是准确区分角的截线与被截线，判断两个角是否为两条目标直线被同一直线截得的同位角或内错角，避免因角的位置识别错误丢分。
【难度系数】
0.7
3. 如图1，直线$a,b$被直线$c$所截，下列说法正确的是 （
A.当$∠1=∠2$时，一定有$a// b$
B.当$a// b$时，一定有$∠1=∠2$
C.当$a// b$时，一定有$∠1+∠2=180°$
D.当$a// b$时，一定有$∠1+∠2=90°$
C
）A.当$∠1=∠2$时，一定有$a// b$
B.当$a// b$时，一定有$∠1=∠2$
C.当$a// b$时，一定有$∠1+∠2=180°$
D.当$a// b$时，一定有$∠1+∠2=90°$
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查平行线的判定与性质，解题时先回忆相关知识点：平行线的判定是通过角的数量关系判断直线平行，平行线的性质是通过直线平行得到角的数量关系，再结合三线八角的位置关系逐个分析选项即可。首先分析选项A：只有同位角相等或内错角相等才能判定两直线平行，若∠1和∠2不属于这两类角，相等也无法推出平行，故A错误；再分析选项B：两直线平行时，只有同位角、内错角才相等，若∠1和∠2是同旁内角则是互补关系，故B错误；接着分析选项C：两直线平行时同旁内角互补，即和为180°，符合性质；最后分析选项D：平行线性质中没有两角和为90°的必然结论，故D错误。
【解析】
我们结合平行线的判定与性质逐个分析选项：
1. 分析选项A：只有当∠1和∠2是同位角或内错角时，∠1=∠2才能推出$a// b$，若二者不属于这两类角，无法得到平行结论，故A错误；
2. 分析选项B：当$a// b$时，若∠1和∠2是同旁内角，二者是互补关系，并不相等，故B错误；
3. 分析选项C：当$a// b$时，根据“两直线平行，同旁内角互补”的性质，可得$∠ 1+∠ 2=180°$，故C正确；
4. 分析选项D：$a// b$时，不存在∠1与∠2的和为$90°$的必然结论，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；三线八角
【点评】
本题易混淆平行线的判定和性质的逻辑顺序，解题时要注意：判定是“由角推线”，性质是“由线推角”，同时要准确识别角的位置类型，才能正确判断角的数量关系。
【难度系数】
0.8
本题考查平行线的判定与性质，解题时先回忆相关知识点：平行线的判定是通过角的数量关系判断直线平行，平行线的性质是通过直线平行得到角的数量关系，再结合三线八角的位置关系逐个分析选项即可。首先分析选项A：只有同位角相等或内错角相等才能判定两直线平行，若∠1和∠2不属于这两类角，相等也无法推出平行，故A错误；再分析选项B：两直线平行时，只有同位角、内错角才相等，若∠1和∠2是同旁内角则是互补关系，故B错误；接着分析选项C：两直线平行时同旁内角互补，即和为180°，符合性质；最后分析选项D：平行线性质中没有两角和为90°的必然结论，故D错误。
【解析】
我们结合平行线的判定与性质逐个分析选项：
1. 分析选项A：只有当∠1和∠2是同位角或内错角时，∠1=∠2才能推出$a// b$，若二者不属于这两类角，无法得到平行结论，故A错误；
2. 分析选项B：当$a// b$时，若∠1和∠2是同旁内角，二者是互补关系，并不相等，故B错误；
3. 分析选项C：当$a// b$时，根据“两直线平行，同旁内角互补”的性质，可得$∠ 1+∠ 2=180°$，故C正确；
4. 分析选项D：$a// b$时，不存在∠1与∠2的和为$90°$的必然结论，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；三线八角
【点评】
本题易混淆平行线的判定和性质的逻辑顺序，解题时要注意：判定是“由角推线”，性质是“由线推角”，同时要准确识别角的位置类型，才能正确判断角的数量关系。
【难度系数】
0.8
4.如图2，把长方形ABCD沿EF折叠，若$∠ 1=50°$，则$∠ AEF$等于（
A.$110°$
B.$115°$
C.$120°$
D.$130°$
B
）A.$110°$
B.$115°$
C.$120°$
D.$130°$
答案
4.B
解析
【分析】
解题时先结合已知条件提取关键性质：一是长方形对边平行，可得AD与BC平行，进而能用到平行线的角的关系；二是折叠前后对应角相等，可得到折叠后重合的两个角相等。首先利用平角为180°的性质，结合∠1的度数算出∠BFE的度数，再利用平行线同旁内角互补的性质，即可求出∠AEF的度数。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC。
由折叠的性质可知，折叠后重合的角相等，因此2∠BFE + ∠1 = 180°。
已知∠1=50°，代入得：
∠BFE=(180° - 50°)÷2 = 65°。
又
∵ AD//BC，根据两直线平行，同旁内角互补，可得：
∠AEF + ∠BFE = 180°，
∴ ∠AEF=180° - 65° = 115°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；折叠的性质；平角的定义
【点评】
本题是折叠变换与平行线性质结合的基础题，解题的关键是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合平行线的角的关系推导计算，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件提取关键性质：一是长方形对边平行，可得AD与BC平行，进而能用到平行线的角的关系；二是折叠前后对应角相等，可得到折叠后重合的两个角相等。首先利用平角为180°的性质，结合∠1的度数算出∠BFE的度数，再利用平行线同旁内角互补的性质，即可求出∠AEF的度数。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC。
由折叠的性质可知，折叠后重合的角相等，因此2∠BFE + ∠1 = 180°。
已知∠1=50°，代入得：
∠BFE=(180° - 50°)÷2 = 65°。
又
∵ AD//BC，根据两直线平行，同旁内角互补，可得：
∠AEF + ∠BFE = 180°，
∴ ∠AEF=180° - 65° = 115°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；折叠的性质；平角的定义
【点评】
本题是折叠变换与平行线性质结合的基础题，解题的关键是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合平行线的角的关系推导计算，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
5.如图3，经过点P在河上修建一座大桥，路径最合理的是
PR
，理由是直线外一点与直线上各点连接的所有线段
中,垂线段最短
。答案
5.PR 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
解析
【分析】
我们可以将河流的两岸看作两条互相平行的直线，本题的本质是求直线外一点P到对岸直线的最短连接路径。解题时首先回忆点到直线的连线的相关性质：直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段是最短的，因此只需要找出从点P出发垂直于河岸的路径，即为最合理的最短路径。
【解析】
把河流两岸视为平行直线，点P是对岸直线外的一点，观察所有可选路径，PR是点P到对岸直线的垂线段。根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的性质，可知PR是所有路径中最短的，因此最合理的路径是PR。
【答案】
PR；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【知识点】
垂线段的性质；点到直线的距离
【点评】
本题结合生活中建桥的实际场景，考查垂线段最短性质的实际应用，需要学生将实际问题转化为数学中的点到直线的最短距离模型来求解，注重知识的应用能力。
【难度系数】
0.9
我们可以将河流的两岸看作两条互相平行的直线，本题的本质是求直线外一点P到对岸直线的最短连接路径。解题时首先回忆点到直线的连线的相关性质：直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段是最短的，因此只需要找出从点P出发垂直于河岸的路径，即为最合理的最短路径。
【解析】
把河流两岸视为平行直线，点P是对岸直线外的一点，观察所有可选路径，PR是点P到对岸直线的垂线段。根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的性质，可知PR是所有路径中最短的，因此最合理的路径是PR。
【答案】
PR；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【知识点】
垂线段的性质；点到直线的距离
【点评】
本题结合生活中建桥的实际场景，考查垂线段最短性质的实际应用，需要学生将实际问题转化为数学中的点到直线的最短距离模型来求解，注重知识的应用能力。
【难度系数】
0.9
6.如图4，已知$∠ 1=∠ 2$，则图中互相平行的线段是
AB 和 CD
。答案
6.AB 和 CD
解析
【分析】
解题时首先回忆平行线的判定定理，已知两个角相等，首先需要确定这两个角是哪两条直线被第三条直线所截形成的角。先观察∠1和∠2的位置：∠1是直线AB和AC的夹角，∠2是直线CD和AC的夹角，二者是AB、CD被AC截得的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”的判定规则，即可推出对应的平行线段。
【解析】
1. 识别角的位置：∠1和∠2是直线AB、直线CD被直线AC所截形成的内错角。
2. 应用平行线判定定理：根据“内错角相等，两直线平行”，已知∠1=∠2，因此可得出AB//CD。
【答案】
AB 和 CD
【知识点】
内错角的识别、平行线的判定
【点评】
本题属于平行线判定的基础题型，解题核心是准确区分截线和被截线，判断出相等角的位置属性，即可快速得到结论。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平行线的判定定理，已知两个角相等，首先需要确定这两个角是哪两条直线被第三条直线所截形成的角。先观察∠1和∠2的位置：∠1是直线AB和AC的夹角，∠2是直线CD和AC的夹角，二者是AB、CD被AC截得的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”的判定规则，即可推出对应的平行线段。
【解析】
1. 识别角的位置：∠1和∠2是直线AB、直线CD被直线AC所截形成的内错角。
2. 应用平行线判定定理：根据“内错角相等，两直线平行”，已知∠1=∠2，因此可得出AB//CD。
【答案】
AB 和 CD
【知识点】
内错角的识别、平行线的判定
【点评】
本题属于平行线判定的基础题型，解题核心是准确区分截线和被截线，判断出相等角的位置属性，即可快速得到结论。
【难度系数】
0.8
7.在汉字里，有很多字可由一个简单的汉字经平移后形成，如将汉字“木”向右平移一定距离后，就可组成新的汉字“林”.将汉字“土”向上平移一定距离后，可组成汉字“圭”.请你再举出两个类似的汉字：
朋、从(答案不唯一)
.答案
7.朋、从(答案不唯一)
解析
【分析】
这道题考查平移的性质应用，解题时首先要明确平移的核心特征：平移只改变图形的位置，不会改变图形的形状、大小和自身的方向。因此我们需要寻找由两个完全相同的简单汉字，通过上下或者左右平移后组合形成的新汉字即可，只要满足两个基础汉字完全相同、仅位置发生平移变化就符合要求。
【解析】
根据平移的性质可知，平移前后的图形完全相同，因此符合要求的汉字需由两个相同的基础汉字平移组合而成。例如将“月”向右平移一定距离可组成“朋”，将“人”向右平移一定距离可组成“从”，此外“吕、双、昌”等也符合要求，答案不唯一。
【答案】
朋、从（答案不唯一）
【知识点】
平移的性质、平移的实际应用
【点评】
本题结合汉字构造考查平移的相关知识，题型新颖有趣，将数学知识与汉字文化结合，需要灵活运用平移特征结合日常积累作答，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
这道题考查平移的性质应用，解题时首先要明确平移的核心特征：平移只改变图形的位置，不会改变图形的形状、大小和自身的方向。因此我们需要寻找由两个完全相同的简单汉字，通过上下或者左右平移后组合形成的新汉字即可，只要满足两个基础汉字完全相同、仅位置发生平移变化就符合要求。
【解析】
根据平移的性质可知，平移前后的图形完全相同，因此符合要求的汉字需由两个相同的基础汉字平移组合而成。例如将“月”向右平移一定距离可组成“朋”，将“人”向右平移一定距离可组成“从”，此外“吕、双、昌”等也符合要求，答案不唯一。
【答案】
朋、从（答案不唯一）
【知识点】
平移的性质、平移的实际应用
【点评】
本题结合汉字构造考查平移的相关知识，题型新颖有趣，将数学知识与汉字文化结合，需要灵活运用平移特征结合日常积累作答，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
8.如果$OA⊥OC$，点$O$是垂足，$OB$是一条射线，且$∠AOB:∠AOC=2:3$，求$∠BOC$的度数.
答案
8.$∠BOC=150°$或$30°$
解析
【分析】
首先根据垂直的定义确定∠AOC的度数，再结合∠AOB与∠AOC的比例关系求出∠AOB的度数；由于射线OB的位置不唯一，需分两种情况讨论：①OB在∠AOC内部，②OB在∠AOC外部，分别根据角的和差关系计算∠BOC的度数即可。
【解析】
解：
∵OA⊥OC，点O是垂足，
∴∠AOC=90°，
∵∠AOB:∠AOC=2:3，
∴∠AOB=$\frac{2}{3}$∠AOC=$\frac{2}{3}×90°=60°$，
分两种情况讨论：
①当OB在∠AOC内部时，
∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-60°=30°；
②当OB在∠AOC外部时，
∠BOC=∠AOC+∠AOB=90°+60°=150°。
综上，∠BOC的度数为30°或150°。
【答案】
∠BOC=150°或30°
【知识点】
垂直的定义；角的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略射线OB位置的不确定性，漏算其中一种情况，解题时要结合题意全面分析图形的可能位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先根据垂直的定义确定∠AOC的度数，再结合∠AOB与∠AOC的比例关系求出∠AOB的度数；由于射线OB的位置不唯一，需分两种情况讨论：①OB在∠AOC内部，②OB在∠AOC外部，分别根据角的和差关系计算∠BOC的度数即可。
【解析】
解：
∵OA⊥OC，点O是垂足，
∴∠AOC=90°，
∵∠AOB:∠AOC=2:3，
∴∠AOB=$\frac{2}{3}$∠AOC=$\frac{2}{3}×90°=60°$，
分两种情况讨论：
①当OB在∠AOC内部时，
∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-60°=30°；
②当OB在∠AOC外部时，
∠BOC=∠AOC+∠AOB=90°+60°=150°。
综上，∠BOC的度数为30°或150°。
【答案】
∠BOC=150°或30°
【知识点】
垂直的定义；角的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略射线OB位置的不确定性，漏算其中一种情况，解题时要结合题意全面分析图形的可能位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
