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1.如图,正方形ABCD的边长为4,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH,若$BE:EC=3:1$,则线段CH的长是 （
A.3
B.$\frac{15}{8}$
C.1
D.2
B
）A.3
B.$\frac{15}{8}$
C.1
D.2
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先利用折叠的性质得到相等的线段：折叠后点D与E重合，故EH=DH。再结合正方形的性质得到Rt△ECH，先根据边长比例求出EC的长度，设CH为未知数，用含未知数的式子表示EH的长度，最后利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的边长为4，
∴BC=CD=4，∠C=90°，
∵BE:EC=3:1，且BE+EC=BC=4，
∴EC=$4×\frac{1}{3+1}=1$，
设CH的长为x，则DH=CD-CH=4-x，
由折叠的性质可得：EH=DH=4-x，
在Rt△ECH中，根据勾股定理得：$EH^2=EC^2+CH^2$，
代入得：$(4-x)^2=1^2+x^2$，
展开得：$16-8x+x^2=1+x^2$，
整理得：$8x=15$，
解得：$x=\frac{15}{8}$，
即CH的长为$\frac{15}{8}$。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题是典型的折叠类几何计算题，核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，把所求线段和已知线段转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时先利用折叠的性质得到相等的线段：折叠后点D与E重合，故EH=DH。再结合正方形的性质得到Rt△ECH，先根据边长比例求出EC的长度，设CH为未知数，用含未知数的式子表示EH的长度，最后利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的边长为4，
∴BC=CD=4，∠C=90°，
∵BE:EC=3:1，且BE+EC=BC=4，
∴EC=$4×\frac{1}{3+1}=1$，
设CH的长为x，则DH=CD-CH=4-x，
由折叠的性质可得：EH=DH=4-x，
在Rt△ECH中，根据勾股定理得：$EH^2=EC^2+CH^2$，
代入得：$(4-x)^2=1^2+x^2$，
展开得：$16-8x+x^2=1+x^2$，
整理得：$8x=15$，
解得：$x=\frac{15}{8}$，
即CH的长为$\frac{15}{8}$。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题是典型的折叠类几何计算题，核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，把所求线段和已知线段转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
2.如图,在矩形ABCD中,$AB=3$,$BC=3\sqrt{3}$,$P$是$BC$边上的动点,现将$△ PCD$沿直线$PD$折叠,使点$C$落在点$C_1$处,则点$B$到点$C_1$的最短距离为 （
A.5
B.4
C.3
D.2
C
）A.5
B.4
C.3
D.2
答案
2.C
解析
【分析】
解题时先从折叠的性质入手，折叠前后对应边长度不变，可得DC₁=DC=3，由此可知点C₁的运动轨迹是以D为圆心、DC长为半径的圆弧。根据“平面内一点到圆上各点的最短距离为该点到圆心的距离减去圆的半径”，我们只需要先求出点B到圆心D的距离BD，再减去半径DC的长度，就能得到B到C₁的最短距离。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A=90°，AB=CD=3，AD=BC=3√3，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6$，
由折叠的性质可得：$DC_1 = DC = 3$，即点C₁在以D为圆心，3为半径的圆上运动，
当B、C₁、D三点共线时，BC₁的长度最短，此时$BC_1 = BD - DC_1 = 6 - 3 = 3$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形与图形折叠的综合题，解题核心是确定折叠后对应点的运动轨迹，结合两点之间线段最短的原理找到最短距离的位置，能很好地考查几何图形性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从折叠的性质入手，折叠前后对应边长度不变，可得DC₁=DC=3，由此可知点C₁的运动轨迹是以D为圆心、DC长为半径的圆弧。根据“平面内一点到圆上各点的最短距离为该点到圆心的距离减去圆的半径”，我们只需要先求出点B到圆心D的距离BD，再减去半径DC的长度，就能得到B到C₁的最短距离。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A=90°，AB=CD=3，AD=BC=3√3，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6$，
由折叠的性质可得：$DC_1 = DC = 3$，即点C₁在以D为圆心，3为半径的圆上运动，
当B、C₁、D三点共线时，BC₁的长度最短，此时$BC_1 = BD - DC_1 = 6 - 3 = 3$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形与图形折叠的综合题，解题核心是确定折叠后对应点的运动轨迹，结合两点之间线段最短的原理找到最短距离的位置，能很好地考查几何图形性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
3.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,将菱形折叠,使点A恰好落在对角线BD上的点G(不与B,D重合),折痕为EF,若DG=2,BG=6,求BE的长.
答案
3.作$EH⊥BD$于点H,由折叠的性质可知,$EG=EA$,由题意,得$BD=DG+BG=8$.
∵四边形ABCD是菱形,$\therefore AD=AB$,$∠ ABD=∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=60°$,$\therefore △ ABD$为等边三角形,$\therefore AB=BD=8$,设$BE=x$,则$EG=AE=8-x$,在$\mathrm{Rt}△ EHB$中,$\because ∠ ABD=60°$,$∠ BHE=90°$,$\therefore BH=\frac{1}{2}x$,$EH=\sqrt{BE^2-BH^2}=\sqrt{x^2-(\frac{1}{2}x)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}x$,在$\mathrm{Rt}△ EHG$中,$EG^2=EH^2+GH^2$,即$(8-x)^2=(\frac{\sqrt{3}}{2}x)^2+(6-\frac{1}{2}x)^2$,解得$x=2.8$,即$BE=2.8$
∵四边形ABCD是菱形,$\therefore AD=AB$,$∠ ABD=∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=60°$,$\therefore △ ABD$为等边三角形,$\therefore AB=BD=8$,设$BE=x$,则$EG=AE=8-x$,在$\mathrm{Rt}△ EHB$中,$\because ∠ ABD=60°$,$∠ BHE=90°$,$\therefore BH=\frac{1}{2}x$,$EH=\sqrt{BE^2-BH^2}=\sqrt{x^2-(\frac{1}{2}x)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}x$,在$\mathrm{Rt}△ EHG$中,$EG^2=EH^2+GH^2$,即$(8-x)^2=(\frac{\sqrt{3}}{2}x)^2+(6-\frac{1}{2}x)^2$,解得$x=2.8$,即$BE=2.8$
解析
【分析】
解决本题首先结合菱形的性质、已知角的度数推导△ABD为等边三角形，得到菱形的边长；再利用折叠的性质得到相等线段，通过作垂线构造直角三角形，将所求线段和已知线段转化到直角三角形中，最后设未知数，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
作$EH⊥BD$于点H，由折叠的性质可知，$EG=EA$。
由题意得：$BD=DG+BG=2+6=8$。
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AD=AB$，$∠ABD=∠CBD=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}×120°=60°$，
∴△ABD为等边三角形，
∴$AB=BD=8$。
设$BE=x$，则$EG=AE=AB-BE=8-x$。
在$\mathrm{Rt}△EHB$中，$∠ABD=60°$，$∠BHE=90°$，
∴$BH=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}x$，$EH=\sqrt{BE^2-BH^2}=\sqrt{x^2-(\frac{1}{2}x)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}x$，
∴$GH=BG-BH=6-\frac{1}{2}x$。
在$\mathrm{Rt}△EHG$中，由勾股定理得$EG^2=EH^2+GH^2$，
代入数据得：$(8-x)^2=(\frac{\sqrt{3}}{2}x)^2+(6-\frac{1}{2}x)^2$，
展开化简得：$64-16x+x^2=x^2-6x+36$，
解得$x=2.8$。
【答案】
$BE=2.8$
【知识点】
菱形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合计算题，解题关键是灵活运用菱形和折叠的性质找到边的等量关系，通过构造直角三角形结合勾股定理建立方程求解，很好地考查了几何性质的应用和方程思想。
【难度系数】
0.6
解决本题首先结合菱形的性质、已知角的度数推导△ABD为等边三角形，得到菱形的边长；再利用折叠的性质得到相等线段，通过作垂线构造直角三角形，将所求线段和已知线段转化到直角三角形中，最后设未知数，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
作$EH⊥BD$于点H，由折叠的性质可知，$EG=EA$。
由题意得：$BD=DG+BG=2+6=8$。
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AD=AB$，$∠ABD=∠CBD=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}×120°=60°$，
∴△ABD为等边三角形，
∴$AB=BD=8$。
设$BE=x$，则$EG=AE=AB-BE=8-x$。
在$\mathrm{Rt}△EHB$中，$∠ABD=60°$，$∠BHE=90°$，
∴$BH=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}x$，$EH=\sqrt{BE^2-BH^2}=\sqrt{x^2-(\frac{1}{2}x)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}x$，
∴$GH=BG-BH=6-\frac{1}{2}x$。
在$\mathrm{Rt}△EHG$中，由勾股定理得$EG^2=EH^2+GH^2$，
代入数据得：$(8-x)^2=(\frac{\sqrt{3}}{2}x)^2+(6-\frac{1}{2}x)^2$，
展开化简得：$64-16x+x^2=x^2-6x+36$，
解得$x=2.8$。
【答案】
$BE=2.8$
【知识点】
菱形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合计算题，解题关键是灵活运用菱形和折叠的性质找到边的等量关系，通过构造直角三角形结合勾股定理建立方程求解，很好地考查了几何性质的应用和方程思想。
【难度系数】
0.6
4.如图,将矩形纸片 ABCD 沿直线 EF 折叠,使点 C 与点 A 重合,连接 CF.
(1)判断四边形 AECF 的形状,并说明理由;
(2)若$AB=4$,$AD=8$,求折痕 EF 的长.
(1)判断四边形 AECF 的形状,并说明理由;
(2)若$AB=4$,$AD=8$,求折痕 EF 的长.
答案
4.(1)四边形AECF为菱形,理由如下:由折叠的性质可知$EA=EC$,$FA=FC$,$∠ CEF=∠ AEF$,又
∵四边形ABCD是矩形,$\therefore AD// BC$,$\therefore ∠ AFE=∠ CEF=∠ AEF$,$\therefore AE=AF$,$\therefore AF\equalparallel EC$,$\therefore$ 四边形AECF为平行四边形,又$\because AE=EC=FC=AF$,$\therefore$ 平行四边形AECF为菱形
(2)设$FG=DF=x$,则$CE=AF=8-x$.在$\mathrm{Rt}△ AFG$中,$\because AG^2+FG^2=AF^2$,$\therefore 4^2+x^2=(8-x)^2$,$\therefore x=3$,$\therefore DF=3$,$CE=5$.过点F作$FH⊥ CE$于点H,则易得四边形CDFH为矩形,$\therefore CH=DF=3$,$FH=CD=4$,$\therefore EH=EC-CH=5-3=2$,$\therefore EF=\sqrt{EH^2+FH^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$
解析
【分析】
(1) 判断四边形形状可从边、角的特征入手：首先根据折叠的性质可得对应边相等、对应角相等，即$EA=EC$，$FA=FC$，$∠CEF=∠AEF$；再结合矩形$AD// BC$的性质，可推出内错角$∠AFE=∠CEF$，等量代换得$∠AFE=∠AEF$，根据等角对等边得$AE=AF$，此时可得$AF// EC$且$AF=EC$，先判定四边形AECF是平行四边形，再结合邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论。
(2) 求折痕EF的长度时，先求菱形AECF的边长：设$DF=x$，利用折叠性质将$AF$、$FG$、$AG$的长度用含$x$的式子表示，在$\mathrm{Rt}△AFG$中利用勾股定理列方程求出$x$，即可得到$CE$、$DF$的长度；再作$FH⊥CE$构造直角三角形，利用矩形的性质得到$FH$和$EH$的长度，最后在$\mathrm{Rt}△EFH$中用勾股定理即可求出EF的长度。
【解析】
(1) 四边形AECF为菱形，理由如下：
由折叠的性质可知$EA=EC$，$FA=FC$，$∠ CEF=∠ AEF$，
又
∵四边形ABCD是矩形，$\therefore AD// BC$，
$\therefore ∠ AFE=∠ CEF=∠ AEF$，$\therefore AE=AF$，
$\therefore AF\overset{//}{=} EC$，$\therefore$ 四边形AECF为平行四边形，
又$\because AE=EC=FC=AF$，$\therefore$ 平行四边形AECF为菱形。
(2) 设$FG=DF=x$，则$CE=AF=8-x$。
在$\mathrm{Rt}△ AFG$中，$\because AG^2+FG^2=AF^2$，
$\therefore 4^2+x^2=(8-x)^2$，解得$x=3$，
$\therefore DF=3$，$CE=5$。
过点F作$FH⊥ CE$于点H，易得四边形CDFH为矩形，
$\therefore CH=DF=3$，$FH=CD=4$，
$\therefore EH=EC-CH=5-3=2$，
$\therefore EF=\sqrt{EH^2+FH^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 四边形AECF为菱形，理由见解析；
(2) $EF=2\sqrt{5}$
【知识点】
折叠的性质，菱形的判定，勾股定理
【点评】
本题是图形变换与特殊平行四边形的综合题，既考查了对矩形、菱形基础性质和判定的掌握，也需要熟练运用方程思想解决几何计算问题，是几何部分的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 判断四边形形状可从边、角的特征入手：首先根据折叠的性质可得对应边相等、对应角相等，即$EA=EC$，$FA=FC$，$∠CEF=∠AEF$；再结合矩形$AD// BC$的性质，可推出内错角$∠AFE=∠CEF$，等量代换得$∠AFE=∠AEF$，根据等角对等边得$AE=AF$，此时可得$AF// EC$且$AF=EC$，先判定四边形AECF是平行四边形，再结合邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论。
(2) 求折痕EF的长度时，先求菱形AECF的边长：设$DF=x$，利用折叠性质将$AF$、$FG$、$AG$的长度用含$x$的式子表示，在$\mathrm{Rt}△AFG$中利用勾股定理列方程求出$x$，即可得到$CE$、$DF$的长度；再作$FH⊥CE$构造直角三角形，利用矩形的性质得到$FH$和$EH$的长度，最后在$\mathrm{Rt}△EFH$中用勾股定理即可求出EF的长度。
【解析】
(1) 四边形AECF为菱形，理由如下：
由折叠的性质可知$EA=EC$，$FA=FC$，$∠ CEF=∠ AEF$，
又
∵四边形ABCD是矩形，$\therefore AD// BC$，
$\therefore ∠ AFE=∠ CEF=∠ AEF$，$\therefore AE=AF$，
$\therefore AF\overset{//}{=} EC$，$\therefore$ 四边形AECF为平行四边形，
又$\because AE=EC=FC=AF$，$\therefore$ 平行四边形AECF为菱形。
(2) 设$FG=DF=x$，则$CE=AF=8-x$。
在$\mathrm{Rt}△ AFG$中，$\because AG^2+FG^2=AF^2$，
$\therefore 4^2+x^2=(8-x)^2$，解得$x=3$，
$\therefore DF=3$，$CE=5$。
过点F作$FH⊥ CE$于点H，易得四边形CDFH为矩形，
$\therefore CH=DF=3$，$FH=CD=4$，
$\therefore EH=EC-CH=5-3=2$，
$\therefore EF=\sqrt{EH^2+FH^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 四边形AECF为菱形，理由见解析；
(2) $EF=2\sqrt{5}$
【知识点】
折叠的性质，菱形的判定，勾股定理
【点评】
本题是图形变换与特殊平行四边形的综合题，既考查了对矩形、菱形基础性质和判定的掌握，也需要熟练运用方程思想解决几何计算问题，是几何部分的典型题型。
【难度系数】
0.7
