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1.(★)一组数据:80,86,90,96,110,120,126,134,其25%分位数为 ()
A.88
B.90
C.103
D.123
A.88
B.90
C.103
D.123
答案
A
解析
首先确认数据已经从小到大排序，数据总个数n=8。计算分位数位置：i = n×25% = 8×0.25 = 2，i为整数，因此25%分位数是排序后第2项和第3项数据的算术平均值，即$\frac{86+90}{2}=88$。
2. (★)观察如图所示的箱线图，下列说法不正确的是 （）
A.这组数据的 $Q_1$ 是 4
B.这组数据的 $Q_2$ 的范围为 $10＜Q_2＜11$
C.这组数据的 $Q_3$ 是 15
D.这组数据的最大值是 19
A.这组数据的 $Q_1$ 是 4
B.这组数据的 $Q_2$ 的范围为 $10＜Q_2＜11$
C.这组数据的 $Q_3$ 是 15
D.这组数据的最大值是 19
答案
D
解析
根据箱线图的定义，箱线图从左到右的关键特征点依次为最小值、第一四分位数$Q_1$、中位数$Q_2$、第三四分位数$Q_3$、最大值：
1. 箱子左边缘对应刻度4，因此$Q_1=4$，A说法正确；
2. 箱子内部的分割线位于刻度10和11之间，因此$10＜Q_2＜11$，B说法正确；
3. 箱子右边缘对应刻度15，因此$Q_3=15$，C说法正确；
4. 最右侧的最大值端点位于刻度17和18之间，最大值小于18，不可能为19，D说法错误。
因此不正确的是D。
1. 箱子左边缘对应刻度4，因此$Q_1=4$，A说法正确；
2. 箱子内部的分割线位于刻度10和11之间，因此$10＜Q_2＜11$，B说法正确；
3. 箱子右边缘对应刻度15，因此$Q_3=15$，C说法正确；
4. 最右侧的最大值端点位于刻度17和18之间，最大值小于18，不可能为19，D说法错误。
因此不正确的是D。
3. (★)在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（）
A.使每组数据量相等
B.使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大
C.减少计算复杂度
D.保证组间均值相等
A.使每组数据量相等
B.使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大
C.减少计算复杂度
D.保证组间均值相等
答案
B
解析
组内离差平方和是组内各数据与本组均值的差的平方之和，它的大小反映组内数据的离散程度：该值越小，说明组内数据的差异程度越小。分组时要求组内离差平方和最小，最终实现的效果就是每组组内数据差异尽可能小，不同组之间的数据差异尽可能大，符合分组“同质聚合、异质分离”的要求。逐一排除错误选项：A选项，组内离差平方和最小和每组数据量相等没有关联；C选项，该要求不会减少计算复杂度；D选项，该要求无法保证组间均值相等，也不符合分组的逻辑。因此正确选项为B。
4. (★★)某班40名学生参与学期读书打卡活动，全班同学的累计积分绘成箱线图如图所示.若小明的累计积分为92分，则小明的积分名次可能是 ()
A.第32名
B.第15名
C.第10名
D.第7名
A.第32名
B.第15名
C.第10名
D.第7名
答案
B
解析
根据箱线图的意义，总共有40名学生：
1. 由图可知五个特征值：最小值80，下四分位数85，中位数90，上四分位数95，最大值100。
2. 四分位数对应人数：积分≤85的学生占25%，共10人；积分≤90的学生占50%，共20人；积分≤95的学生占75%，共30人。因此积分＞95的学生有40-30=10人，积分＞90的学生有40-20=20人。
3. 小明积分92分，满足90＜92＜95，说明小明的名次在11~20名区间内，只有第15名符合该范围。
1. 由图可知五个特征值：最小值80，下四分位数85，中位数90，上四分位数95，最大值100。
2. 四分位数对应人数：积分≤85的学生占25%，共10人；积分≤90的学生占50%，共20人；积分≤95的学生占75%，共30人。因此积分＞95的学生有40-30=10人，积分＞90的学生有40-20=20人。
3. 小明积分92分，满足90＜92＜95，说明小明的名次在11~20名区间内，只有第15名符合该范围。
5.(★★)已知一组数据7,9,11,13,若将其分为两组,使得每组数据的离差平方和之和最小,则分组方式为,此时最小的离差平方和之和为.
答案
解：
枚举所有可能的分组情况，分别计算每组的离差平方和之和：
1. 分组为1个数据、3个数据：
单元素组的离差平方和恒为0，计算剩余3个数据的离差平方和：
单元素为7，剩余数据9,11,13：平均数为11，离差平方和为$(9-11)^2+(11-11)^2+(13-11)^2=8$，总和为8
单元素为9，剩余数据7,11,13：平均数为$\frac{31}{3}$，离差平方和为$\frac{168}{9}\approx18.67$，总和约为18.67
单元素为11，剩余数据7,9,13：平均数为$\frac{29}{3}$，离差平方和为$\frac{168}{9}\approx18.67$，总和约为18.67
单元素为13，剩余数据7,9,11：平均数为9，离差平方和为$(7-9)^2+(9-9)^2+(11-9)^2=8$，总和为8
2. 分组为2个数据、2个数据：
分组为$\{7,9\}$和$\{11,13\}$：第一组平均数为8，离差平方和为$(7-8)^2+(9-8)^2=2$；第二组平均数为12，离差平方和为$(11-12)^2+(13-12)^2=2$，总和为$2+2=4$
分组为$\{7,11\}$和$\{9,13\}$：第一组平均数为9，离差平方和为$(7-9)^2+(11-9)^2=8$；第二组平均数为11，离差平方和为$(9-11)^2+(13-11)^2=8$，总和为16
分组为$\{7,13\}$和$\{9,11\}$：第一组平均数为10，离差平方和为$(7-10)^2+(13-10)^2=18$；第二组平均数为10，离差平方和为$(9-10)^2+(11-10)^2=2$，总和为20
对比所有结果，最小的离差平方和之和为4，对应分组方式为一组是7,9，另一组是11,13。
答：分组方式为$\{7,9\}$和$\{11,13\}$，此时最小的离差平方和之和为4。
枚举所有可能的分组情况，分别计算每组的离差平方和之和：
1. 分组为1个数据、3个数据：
单元素组的离差平方和恒为0，计算剩余3个数据的离差平方和：
单元素为7，剩余数据9,11,13：平均数为11，离差平方和为$(9-11)^2+(11-11)^2+(13-11)^2=8$，总和为8
单元素为9，剩余数据7,11,13：平均数为$\frac{31}{3}$，离差平方和为$\frac{168}{9}\approx18.67$，总和约为18.67
单元素为11，剩余数据7,9,13：平均数为$\frac{29}{3}$，离差平方和为$\frac{168}{9}\approx18.67$，总和约为18.67
单元素为13，剩余数据7,9,11：平均数为9，离差平方和为$(7-9)^2+(9-9)^2+(11-9)^2=8$，总和为8
2. 分组为2个数据、2个数据：
分组为$\{7,9\}$和$\{11,13\}$：第一组平均数为8，离差平方和为$(7-8)^2+(9-8)^2=2$；第二组平均数为12，离差平方和为$(11-12)^2+(13-12)^2=2$，总和为$2+2=4$
分组为$\{7,11\}$和$\{9,13\}$：第一组平均数为9，离差平方和为$(7-9)^2+(11-9)^2=8$；第二组平均数为11，离差平方和为$(9-11)^2+(13-11)^2=8$，总和为16
分组为$\{7,13\}$和$\{9,11\}$：第一组平均数为10，离差平方和为$(7-10)^2+(13-10)^2=18$；第二组平均数为10，离差平方和为$(9-10)^2+(11-10)^2=2$，总和为20
对比所有结果，最小的离差平方和之和为4，对应分组方式为一组是7,9，另一组是11,13。
答：分组方式为$\{7,9\}$和$\{11,13\}$，此时最小的离差平方和之和为4。
6. (★★)下列情况中,适用组内离差平方和最小原则的分组的是 （）
A.比较两种药物的疗效
B.将学生按成绩分组
C.分析股票价格波动
D.预测天气变化
A.比较两种药物的疗效
B.将学生按成绩分组
C.分析股票价格波动
D.预测天气变化
答案
B
解析
组内离差平方和最小原则的核心是分组后同组内数据的差异尽可能小，将数值相近的数据归为同一组。逐一分析选项：A选项比较两种药物疗效属于两组数据对比场景，不符合该分组要求；B选项将学生按成绩分组，需要把成绩相近的学生归为同一组，使组内成绩差异尽可能小，符合组内离差平方和最小原则；C选项分析股票价格波动是研究价格变化特征，不适用该分组原则；D选项预测天气变化属于趋势预测类场景，不涉及该分组原则。综上符合要求的是B选项。
