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10.(2024春·韶关期末)在平面直角坐标系中,点A(-3,4),点B是x轴上任意一点,则线段AB的最小值是
4
.答案
10.4
解析
【分析】
解题思路如下：首先确定点B的运动轨迹是x轴，根据几何中“直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短”的性质，可知当AB垂直于x轴时，AB的长度最小；接下来只需要计算点A到x轴的距离即可，平面直角坐标系中点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，代入A点坐标就能算出结果。
【解析】
解：根据垂线段最短的性质可知：当AB⊥x轴时，线段AB的长度取得最小值，此时AB的长度等于点A到x轴的距离。
∵平面直角坐标系中，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点A的坐标为(-3,4)，
∴点A到x轴的距离为|4|=4，即线段AB的最小值为4。
【答案】
4
【知识点】
垂线段最短；点到坐标轴的距离；坐标与图形性质
【点评】
本题侧重考查基础几何性质与平面直角坐标系基本概念的结合应用，解题的核心是快速判断出AB取最小值时的位置，熟悉相关概念和性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
解题思路如下：首先确定点B的运动轨迹是x轴，根据几何中“直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短”的性质，可知当AB垂直于x轴时，AB的长度最小；接下来只需要计算点A到x轴的距离即可，平面直角坐标系中点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，代入A点坐标就能算出结果。
【解析】
解：根据垂线段最短的性质可知：当AB⊥x轴时，线段AB的长度取得最小值，此时AB的长度等于点A到x轴的距离。
∵平面直角坐标系中，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点A的坐标为(-3,4)，
∴点A到x轴的距离为|4|=4，即线段AB的最小值为4。
【答案】
4
【知识点】
垂线段最短；点到坐标轴的距离；坐标与图形性质
【点评】
本题侧重考查基础几何性质与平面直角坐标系基本概念的结合应用，解题的核心是快速判断出AB取最小值时的位置，熟悉相关概念和性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
11.如图，等边三角形ABC的边AB垂直于x轴，点C在x轴上。已知点A(2,2)，求点C的坐标。
答案
11.解:$∵△ABC$是等边三角形,$AB⊥x$轴于点$D$,
$∴∠ACD=30°$.
$∵$点$A(2,2)$,$∴AD=OD=2$,$∴CD=2\sqrt{3}$,
$∴OC=2\sqrt{3}-2$,$∴$点 $C$ 的坐标为$(2-2\sqrt{3},0)$.
$∴∠ACD=30°$.
$∵$点$A(2,2)$,$∴AD=OD=2$,$∴CD=2\sqrt{3}$,
$∴OC=2\sqrt{3}-2$,$∴$点 $C$ 的坐标为$(2-2\sqrt{3},0)$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①由点A的坐标及AB⊥x轴，可先确定垂足D的坐标，进而求出AD、OD的长度；②结合△ABC是等边三角形，根据“等边三角形三线合一”的性质，可知CD是AB边上的高，且∠ACD=30°，得到Rt△ACD；③在Rt△ACD中利用勾股定理或30°直角三角形的性质求出CD的长度；④最后根据点C在点D左侧，计算C点的横坐标，结合C在x轴上确定纵坐标即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB⊥x轴于点D，
∴CD平分∠ACB，∠ACB=60°，即∠ACD=30°，且AD=BD。
∵点A(2,2)，
∴D点坐标为(2,0)，可得AD=2，OD=2。
在Rt△ACD中，∠ACD=30°，AD=2，
∴AC=2AD=4，
由勾股定理得：$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴OC=CD - OD = $2\sqrt{3}-2$，
∵点C在x轴上、位于原点左侧，
∴点C的横坐标为$2 - 2\sqrt{3}$，纵坐标为0。
【答案】
$(2-2\sqrt{3},0)$
【知识点】
等边三角形的性质，坐标与图形性质，勾股定理
【点评】
本题将几何图形性质与平面直角坐标系结合考查，解题的核心是利用等边三角形三线合一的性质构造直角三角形，将点的坐标转化为线段长度计算，需注意根据点所在的位置确定坐标的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：①由点A的坐标及AB⊥x轴，可先确定垂足D的坐标，进而求出AD、OD的长度；②结合△ABC是等边三角形，根据“等边三角形三线合一”的性质，可知CD是AB边上的高，且∠ACD=30°，得到Rt△ACD；③在Rt△ACD中利用勾股定理或30°直角三角形的性质求出CD的长度；④最后根据点C在点D左侧，计算C点的横坐标，结合C在x轴上确定纵坐标即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB⊥x轴于点D，
∴CD平分∠ACB，∠ACB=60°，即∠ACD=30°，且AD=BD。
∵点A(2,2)，
∴D点坐标为(2,0)，可得AD=2，OD=2。
在Rt△ACD中，∠ACD=30°，AD=2，
∴AC=2AD=4，
由勾股定理得：$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴OC=CD - OD = $2\sqrt{3}-2$，
∵点C在x轴上、位于原点左侧，
∴点C的横坐标为$2 - 2\sqrt{3}$，纵坐标为0。
【答案】
$(2-2\sqrt{3},0)$
【知识点】
等边三角形的性质，坐标与图形性质，勾股定理
【点评】
本题将几何图形性质与平面直角坐标系结合考查，解题的核心是利用等边三角形三线合一的性质构造直角三角形，将点的坐标转化为线段长度计算，需注意根据点所在的位置确定坐标的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
12. 如图,已知$P(4m+7,2m+5)$在第一象限的角平分线上,点A,B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上,$∠BPA=90°$.
(1)求点P的坐标;
(2)若点B为$(0,1)$,求点A的坐标.
(1)求点P的坐标;
(2)若点B为$(0,1)$,求点A的坐标.
答案
12.解:(1)$∵P(4m+7,2m+5)$在第一象限的角平分线上,
$∴4m+7=2m+5$,解得 $m=-1$,$∴P(3,3)$.
(2)如答图,过点 $P$ 分别作 $PD⊥x$ 轴于点 $D$,作 $PC⊥y$轴于点 $C$,$∴∠PCO=∠PDO=∠COD=90°$,
$∴∠CPD=90°$,$∴∠CPB+∠BPD=90°$.
$∵∠BPA=90°$,$∴∠BPD+∠APD=90°$,
$∴∠APD=∠CPB$,又 $CP=PD$,
$∴△CPB≌△DPA(ASA)$,$∴BC=DA$.
$∵B(0,1),P(3,3)$,$∴OB=1,OC=3$,
$∴BC=2=DA$,$∴OA=2+3=5$,$∴A(5,0)$.
解析
【分析】
(1) 第一问可利用第一象限角平分线上的点的坐标特征求解：第一象限角平分线上的点横、纵坐标相等，据此列出关于m的一元一次方程，解出m后代入点P的坐标表达式，即可得到点P的坐标。
(2) 第二问求点A的坐标，只需求出OA的长度。可过点P分别作x轴、y轴的垂线构造直角三角形，结合∠BPA=90°推导角相等，结合点P的坐标可得两条垂线段长度相等，证明两个直角三角形全等，得到对应边相等，进而计算出OA的长度，即可得到点A的坐标。
【解析】
(1)
∵$P(4m+7,2m+5)$在第一象限的角平分线上，第一象限角平分线上的点横、纵坐标相等，
∴$4m+7=2m+5$，
解得 $m=-1$，
将$m=-1$代入坐标得：横坐标为$4×(-1)+7=3$，纵坐标为$2×(-1)+5=3$，
∴$P(3,3)$。
(2) 如答图，过点 $P$ 分别作 $PD⊥x$ 轴于点 $D$，作 $PC⊥y$轴于点 $C$，
∴$∠PCO=∠PDO=∠COD=90°$，
∴四边形OCPD是矩形，$∠CPD=90°$，
∴$∠CPB+∠BPD=90°$。
∵$∠BPA=90°$，
∴$∠BPD+∠APD=90°$，
∴$∠CPB=∠APD$，
又
∵$P(3,3)$，
∴$CP=PD=3$，且$∠PCB=∠PDA=90°$，
在$△ CPB$和$△ DPA$中：
$\{\begin{array}{l}∠PCB=∠PDA \\PC=PD \\∠CPB=∠APD\end{array} $
∴$△ CPB≌△ DPA(ASA)$，
∴$BC=DA$。
∵$B(0,1)$，$P(3,3)$，
∴$OB=1$，$OC=OD=3$，
∴$BC=OC-OB=3-1=2$，
∴$DA=2$，
∴$OA=OD+DA=3+2=5$，
∵点A在x轴正半轴，
∴$A(5,0)$。
【答案】
(1) 点$P$的坐标为$(3,3)$；
(2) 点$A$的坐标为$(5,0)$。
【知识点】
象限角平分线的坐标特征；全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系基础性质与全等三角形的应用，第一问侧重基础概念的掌握，难度较低；第二问需要通过构造辅助线将坐标关系转化为几何线段关系求解，对辅助线构造能力和知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问可利用第一象限角平分线上的点的坐标特征求解：第一象限角平分线上的点横、纵坐标相等，据此列出关于m的一元一次方程，解出m后代入点P的坐标表达式，即可得到点P的坐标。
(2) 第二问求点A的坐标，只需求出OA的长度。可过点P分别作x轴、y轴的垂线构造直角三角形，结合∠BPA=90°推导角相等，结合点P的坐标可得两条垂线段长度相等，证明两个直角三角形全等，得到对应边相等，进而计算出OA的长度，即可得到点A的坐标。
【解析】
(1)
∵$P(4m+7,2m+5)$在第一象限的角平分线上，第一象限角平分线上的点横、纵坐标相等，
∴$4m+7=2m+5$，
解得 $m=-1$，
将$m=-1$代入坐标得：横坐标为$4×(-1)+7=3$，纵坐标为$2×(-1)+5=3$，
∴$P(3,3)$。
(2) 如答图，过点 $P$ 分别作 $PD⊥x$ 轴于点 $D$，作 $PC⊥y$轴于点 $C$，
∴$∠PCO=∠PDO=∠COD=90°$，
∴四边形OCPD是矩形，$∠CPD=90°$，
∴$∠CPB+∠BPD=90°$。
∵$∠BPA=90°$，
∴$∠BPD+∠APD=90°$，
∴$∠CPB=∠APD$，
又
∵$P(3,3)$，
∴$CP=PD=3$，且$∠PCB=∠PDA=90°$，
在$△ CPB$和$△ DPA$中：
$\{\begin{array}{l}∠PCB=∠PDA \\PC=PD \\∠CPB=∠APD\end{array} $
∴$△ CPB≌△ DPA(ASA)$，
∴$BC=DA$。
∵$B(0,1)$，$P(3,3)$，
∴$OB=1$，$OC=OD=3$，
∴$BC=OC-OB=3-1=2$，
∴$DA=2$，
∴$OA=OD+DA=3+2=5$，
∵点A在x轴正半轴，
∴$A(5,0)$。
【答案】
(1) 点$P$的坐标为$(3,3)$；
(2) 点$A$的坐标为$(5,0)$。
【知识点】
象限角平分线的坐标特征；全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系基础性质与全等三角形的应用，第一问侧重基础概念的掌握，难度较低；第二问需要通过构造辅助线将坐标关系转化为几何线段关系求解，对辅助线构造能力和知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
13.在平面直角坐标系中,从点$(x,y)$分别向$x$轴、$y$轴作垂线,两条垂线分别与坐标轴交于点$X_1,Y_1$,与第一、三象限的角平分线交于点$X_2,Y_2$,则记点$(x,y)$的长度差为$d_{(x,y)}=|X_1X_2-Y_1Y_2|$.例如,$d_{(1,2)}=|1-2|=1$.
(1)求$d_{(2,3)},d_{(-2,1)}$的值;
(2)若点$(3,m)$的长度差$d_{(3,m)}=4$,求$m$的值.
易错知识点:轴对称与坐标变化
易错考法:点关于坐标轴(直线)对称的点的坐标;点到坐标轴的距离
(1)求$d_{(2,3)},d_{(-2,1)}$的值;
(2)若点$(3,m)$的长度差$d_{(3,m)}=4$,求$m$的值.
易错知识点:轴对称与坐标变化
易错考法:点关于坐标轴(直线)对称的点的坐标;点到坐标轴的距离
答案
13.解:(1)如答图.
$∵$直线 $OX_2$ 是第一、三象限的角平分线,
$∴∠X_2OX_1=45°$.
$∵$过点$(x,y)$向 $x$ 轴作垂线,$∴∠X_2X_1O=90°$,
$∴∠OX_2X_1=90°-45°=45°$,
$∴∠X_2OX_1=∠OX_2X_1$,$∴X_1O=X_2X_1$,
同理 $Y_1Y_2=OY_1$.
$∴d_{(2,3)}=|2-3|=1$,$d_{(-2,1)}=|2-1|=1$.
(2)根据题意及(1),得$|3-|m||=4$,
$∴3-|m|=-4$ 或 $3-|m|=4$,
解得$|m|=7$或$|m|=-1$(舍去),
$∴m$ 的值为$\pm7$.
解析
【分析】
解题时首先理解题目给出的“长度差”新定义，结合第一、三象限角平分线的解析式为y=x（线上点横、纵坐标相等）推导长度的计算方式：过点(x,y)向x轴作垂线，垂足X₁坐标为(x,0)，垂线与y=x交于X₂，X₂横坐标为x，因此纵坐标也为x，可得X₁X₂的长度为|x|；同理过点(x,y)向y轴作垂线，垂足Y₁坐标为(0,y)，垂线与y=x交于Y₂，Y₂纵坐标为y，因此横坐标也为y，可得Y₁Y₂的长度为|y|，即d(x,y)=||x|-|y||。(1)问直接代入坐标计算即可；(2)问代入坐标得到含绝对值的方程，分情况求解后结合绝对值非负性舍去无效解即可得到m的值。
【解析】
(1)
∵直线OX₂是第一、三象限的角平分线，
∴∠X₂OX₁=45°。
∵过点(x,y)向x轴作垂线，
∴∠X₂X₁O=90°，
∴∠OX₂X₁=90°-45°=45°，
∴∠X₂OX₁=∠OX₂X₁，
∴X₁O=X₂X₁，
同理可得Y₁Y₂=OY₁，
因此d(2,3)=|2-3|=1，d(-2,1)=|2-1|=1。
(2) 根据题意及(1)的结论，将点(3,m)代入长度差公式得|3-|m||=4，
由绝对值的性质可得：3-|m|=-4或3-|m|=4，
解得|m|=7或|m|=-1（绝对值不可能为负，舍去），
因此m=±7。
【答案】
13.解:(1)如答图.
$∵$直线 $OX_2$ 是第一、三象限的角平分线,
$∴∠X_2OX_1=45°$.
$∵$过点$(x,y)$向 $x$ 轴作垂线,$∴∠X_2X_1O=90°$,
$∴∠OX_2X_1=90°-45°=45°$,
$∴∠X_2OX_1=∠OX_2X_1$,$∴X_1O=X_2X_1$,
同理 $Y_1Y_2=OY_1$.
$∴d_{(2,3)}=|2-3|=1$,$d_{(-2,1)}=|2-1|=1$.
(2)根据题意及(1),得$|3-|m||=4$,
$∴3-|m|=-4$ 或 $3-|m|=4$,
解得$|m|=7$或$|m|=-1$(舍去),
$∴m$ 的值为$\pm7$.
【知识点】
新定义运算，角平分线性质，绝对值方程求解
【点评】
本题结合新定义考查了平面直角坐标系的几何性质与绝对值方程的解法，解题核心是将陌生的新定义转化为已学的绝对值计算，需要注意绝对值的非负性，避免出现无效解，同时考查了知识迁移和灵活应用的能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先理解题目给出的“长度差”新定义，结合第一、三象限角平分线的解析式为y=x（线上点横、纵坐标相等）推导长度的计算方式：过点(x,y)向x轴作垂线，垂足X₁坐标为(x,0)，垂线与y=x交于X₂，X₂横坐标为x，因此纵坐标也为x，可得X₁X₂的长度为|x|；同理过点(x,y)向y轴作垂线，垂足Y₁坐标为(0,y)，垂线与y=x交于Y₂，Y₂纵坐标为y，因此横坐标也为y，可得Y₁Y₂的长度为|y|，即d(x,y)=||x|-|y||。(1)问直接代入坐标计算即可；(2)问代入坐标得到含绝对值的方程，分情况求解后结合绝对值非负性舍去无效解即可得到m的值。
【解析】
(1)
∵直线OX₂是第一、三象限的角平分线，
∴∠X₂OX₁=45°。
∵过点(x,y)向x轴作垂线，
∴∠X₂X₁O=90°，
∴∠OX₂X₁=90°-45°=45°，
∴∠X₂OX₁=∠OX₂X₁，
∴X₁O=X₂X₁，
同理可得Y₁Y₂=OY₁，
因此d(2,3)=|2-3|=1，d(-2,1)=|2-1|=1。
(2) 根据题意及(1)的结论，将点(3,m)代入长度差公式得|3-|m||=4，
由绝对值的性质可得：3-|m|=-4或3-|m|=4，
解得|m|=7或|m|=-1（绝对值不可能为负，舍去），
因此m=±7。
【答案】
13.解:(1)如答图.
$∵$直线 $OX_2$ 是第一、三象限的角平分线,
$∴∠X_2OX_1=45°$.
$∵$过点$(x,y)$向 $x$ 轴作垂线,$∴∠X_2X_1O=90°$,
$∴∠OX_2X_1=90°-45°=45°$,
$∴∠X_2OX_1=∠OX_2X_1$,$∴X_1O=X_2X_1$,
同理 $Y_1Y_2=OY_1$.
$∴d_{(2,3)}=|2-3|=1$,$d_{(-2,1)}=|2-1|=1$.
(2)根据题意及(1),得$|3-|m||=4$,
$∴3-|m|=-4$ 或 $3-|m|=4$,
解得$|m|=7$或$|m|=-1$(舍去),
$∴m$ 的值为$\pm7$.
【知识点】
新定义运算，角平分线性质，绝对值方程求解
【点评】
本题结合新定义考查了平面直角坐标系的几何性质与绝对值方程的解法，解题核心是将陌生的新定义转化为已学的绝对值计算，需要注意绝对值的非负性，避免出现无效解，同时考查了知识迁移和灵活应用的能力。
【难度系数】
0.6
