10.(2024春·韶关期末)在平面直角坐标系中,点A(-3,4),点B是x轴上任意一点,则线段AB的最小值是.

10.4

11.如图，等边三角形ABC的边AB垂直于x轴，点C在x轴上。已知点A(2,2)，求点C的坐标。

11.解:$∵△ABC$是等边三角形,$AB⊥x$轴于点$D$,
$∴∠ACD=30°$.
$∵$点$A(2,2)$,$∴AD=OD=2$,$∴CD=2\sqrt{3}$,
$∴OC=2\sqrt{3}-2$,$∴$点 $C$ 的坐标为$(2-2\sqrt{3},0)$.

12. 如图,已知$P(4m+7,2m+5)$在第一象限的角平分线上,点A,B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上,$∠BPA=90°$.
(1)求点P的坐标;
(2)若点B为$(0,1)$,求点A的坐标.

12.解:(1)$∵P(4m+7,2m+5)$在第一象限的角平分线上,
$∴4m+7=2m+5$,解得 $m=-1$,$∴P(3,3)$.
(2)如答图,过点 $P$ 分别作 $PD⊥x$ 轴于点 $D$,作 $PC⊥y$轴于点 $C$,$∴∠PCO=∠PDO=∠COD=90°$,
$∴∠CPD=90°$,$∴∠CPB+∠BPD=90°$.
$∵∠BPA=90°$,$∴∠BPD+∠APD=90°$,
$∴∠APD=∠CPB$,又 $CP=PD$,
$∴△CPB≌△DPA(ASA)$,$∴BC=DA$.
$∵B(0,1),P(3,3)$,$∴OB=1,OC=3$,
$∴BC=2=DA$,$∴OA=2+3=5$,$∴A(5,0)$.

13.在平面直角坐标系中,从点$(x,y)$分别向$x$轴、$y$轴作垂线,两条垂线分别与坐标轴交于点$X_1,Y_1$,与第一、三象限的角平分线交于点$X_2,Y_2$,则记点$(x,y)$的长度差为$d_{(x,y)}=|X_1X_2-Y_1Y_2|$.例如,$d_{(1,2)}=|1-2|=1$.
(1)求$d_{(2,3)},d_{(-2,1)}$的值;
(2)若点$(3,m)$的长度差$d_{(3,m)}=4$,求$m$的值.
易错知识点:轴对称与坐标变化
易错考法:点关于坐标轴(直线)对称的点的坐标;点到坐标轴的距离

13.解:(1)如答图.

$∵$直线 $OX_2$ 是第一、三象限的角平分线,
$∴∠X_2OX_1=45°$.
$∵$过点$(x,y)$向 $x$ 轴作垂线,$∴∠X_2X_1O=90°$,
$∴∠OX_2X_1=90°-45°=45°$,
$∴∠X_2OX_1=∠OX_2X_1$,$∴X_1O=X_2X_1$,
同理 $Y_1Y_2=OY_1$.
$∴d_{(2,3)}=|2-3|=1$,$d_{(-2,1)}=|2-1|=1$.
(2)根据题意及(1),得$|3-|m||=4$,
$∴3-|m|=-4$ 或 $3-|m|=4$,
解得$|m|=7$或$|m|=-1$(舍去),
$∴m$ 的值为$\pm7$.