1. 关于$x$的一元二次方程$x^2 + 3x + a - 1 = 0$有一个根为0，则$a$的值是（）

A.$\pm1$
B.$1$
C.$-1$
D.$0$

1.B

2. 新考法整体代入法 m 是方程$2x^2 + 3x -1=0$的一个根，
则式子$-4m^2 -6m +2026$的值为 （）

A.2024
B.2025
C.2026
D.2027

2.A

3. 若方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中$a,b,c$满足$4a+2b+c=0$和$4a-2b+c=0$，则该方程的根是（）

A.$1,0$
B.$1,-1$
C.$-1,0$
D.$2,-2$

3.D

4. 新考法 表格信息法 观察下表，一元二次方程$x^2 - x -1.1=0$的正数解的范围是（）


A.$1.4＜x＜1.5$
B.$1.5＜x＜1.6$
C.$1.6＜x＜1.7$
D.$1.7＜x＜1.8$

4.C

5. 根据关于$x$的一元二次方程$x^2 + px + q = 1$，可列表如下，则方程$x^2 + px + q = 1$的正数根满足 （）


A.解的整数部分是0，十分位是5
B.解的整数部分是0，十分位是8
C.解的整数部分是1，十分位是1
D.解的整数部分是1，十分位是2

5.D

6. 新考法 作差法 若$x_0$是方程$ax^2 + 2x + c = 0(a≠0)$的一个根，设$M=1-ac$，$N=(ax_0 + 1)^2$，则$M$与$N$的大小关系为（）

A.$M＞N$
B.$M=N$
C.$M＜N$
D.不确定

6.B 【点拨】$\because x_0$ 是方程 $ax^2 + 2x + c = 0(a≠0)$ 的一个根，$\therefore ax_0^2 + 2x_0 + c = 0$，即 $ax_0^2 + 2x_0 = -c$。$\therefore N-M=(ax_0+1)^2-(1-ac)=a^2x_0^2+2ax_0+1-1+ac=a(ax_0^2+2x_0)+ac=-ac+ac=0$。$\therefore M=N$。故选 B.

7. 一题多解 已知a是方程$x^2 -2026x +1=0$的一个根，则$a^2 -2025a +\frac{2026}{a^2+1}$的值为（）

A.2023
B.2024
C.2025
D.2026

7.C 【点拨】$\because a$ 是方程 $x^2 - 2 026x + 1 = 0$ 的一个根，$\therefore a^2 - 2 026a + 1 = 0$，即 $a^2 + 1 = 2 026a$，$a^2 = 2 026a - 1$.
解法一:$a^2 - 2 025a + \frac{2 026}{a^2 + 1} = 2 026a - 1 - 2 025a + \frac{2 026}{2 026a} = a - 1 + \frac{1}{a} = \frac{a^2 + 1}{a} - 1 = \frac{2 026a}{a} - 1 = 2 025$. 解法二: 由 $a^2 + 1 = 2 026a$ 可得 $a + \frac{1}{a} = 2 026$，$\therefore a^2 - 2 025a + \frac{2 026}{a^2 + 1} = 2 026a - 1 - 2 025a + \frac{2 026}{2 026a} = a - 1 + \frac{1}{a} = 2 026 - 1 = 2 025$.

8. ★★ 关于 $ x $ 的方程 $ a(x+k)^2 + 2025 = 0 $ 的解是 $ x_1=-3, x_2=2 $（$ a,k $ 均为常数，$ a≠0 $）。
(1)关于 $ x $ 的方程 $ a(x+1+k)^2 + 2025 = 0 $ 的根是；
(2)关于 $ x $ 的方程 $ a(x -k +4)^2 + 2025 = 0 $ 的根是；
(3)关于 $ x $ 的方程 $ a(2x +k -2)^2 + 2025 = 0 $ 的根为。

8.(1)$x_1=-4,x_2=1$ (2)$x_1=-1,x_2=-6$ (3)$x_1=-\frac{1}{2},x_2=2$ 【点拨】(1)$\because$ 方程 $a(x+k)^2 + 2 025 = 0$ 的解是 $x_1=-3,x_2=2$，$\therefore$ 在方程 $a(x+1+k)^2 + 2 025 = 0$ 中，$x+1=-3$ 或 $x+1=2$，解得 $x_1=-4,x_2=1$.
(2)$\because$ 方程 $a(x+k)^2 + 2 025 = 0$ 的解是 $x_1=-3,x_2=2$，$\therefore$ 在方程 $a(x-k+4)^2 + 2 025 = 0$ 中，$x+4=3$ 或 $x+4=-2$，解得 $x_1=-1,x_2=-6$.
(3)$\because$ 方程 $a(x+k)^2 + 2 025 = 0$ 的解是 $x_1=-3,x_2=2$，$\therefore$ 在方程 $a(2x+k-2)^2 + 2 025 = 0$ 中，$2x-2=-3$ 或 $2x-2=2$，解得 $x_1=-\frac{1}{2},x_2=2$.
点规律 解决该类题目，应利用整体法换根，对比两个方程找对应相等即可求解. 如方程 $a(x+k)^2 + 2 025 = 0$ 中的 $x$ 与方程 $a(x+1+k)^2 + 2 025 = 0$ 中的 $(x+1)$ 值应相等，从而建立相等关系求解.

9. 已知下面三个关于$x$的一元二次方程$ax^2 + 2bx + c = 1$，$bx^2 + 2cx + a = -3$，$cx^2 + 2ax + b = 2$恰好有一个相同的正实数根，则$a + b + c$的值为。

9.0 【点拨】设这个相同的正实数根为 $x=t$，把 $x=t$ 分别代入 $ax^2 + 2bx + c = 1$，$bx^2 + 2cx + a = -3$，$cx^2 + 2ax + b = 2$，得 $at^2 + 2bt + c = 1$①，$bt^2 + 2ct + a = -3$②，$ct^2 + 2at + b = 2$③，①+②+③，得 $at^2 + bt^2 + ct^2 + 2bt + 2ct + 2at + a + b + c = 0$，$t^2(a+b+c) + 2t(a+b+c) + (a+b+c) = 0$，$(a+b+c)(t^2 + 2t + 1) = 0$，即 $(a+b+c)(t+1)^2 = 0$. $\because t＞0$，$\therefore (t+1)^2＞0$. $\therefore a+b+c=0$.

10. 某大学为改善校园环境，计划在一块长80 m，宽60 m的矩形场地中央建一个矩形网球场，网球场占地面积为3 500 m².四周为宽度相等的人行道，如图，若设人行道的宽度为x m.
(1)请列出相应的方程.
(2)x的值可能小于0吗？说说你的理由.
(3)x的值可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由.
(4)你知道人行道的宽度是多少吗？说说你的求解过程.

10.【解】(1)由题意可知网球场的长和宽分别为$(80-2x)\mathrm{m}$，$(60-2x)\mathrm{m}$，则$(80-2x)(60-2x)=3\ 500$，整理得 $x^2 -70x + 325 = 0$.
(2)$x$ 的值不可能小于 0，理由：因为人行道的宽度不可能为负数.
(3)$x$ 的值不可能大于 40，也不可能大于 30. 理由：当 $x＞30$ 时，$60-2x＜0$，这是不符合实际的. 当然 $x$ 更不可能大于 40.
(4)人行道的宽度为 5 m.
求解过程如下：
| $x$ | ... | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ... |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $x^2-70x+325$ | ... | 256 | 189 | 124 | 61 | 0 | -59 | -116 | ... |
显然，当 $x=5$ 时，$x^2 -70x + 325 = 0$，故人行道的宽度为 5 m.