10. 2026·天津南开区期末 新趋势·学科内综合 一元二次方程$a(x-1)^2 + b(x-1)+c=0$化为一般形式后为$3x^2 -2x +8=0$，则一次函数$y=\frac{a}{b}x + c$的图象不经过（）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

10.D 【点拨】
∵一元二次方程$a(x-1)^2 + b(x-1)+c=0$化为一般形式后为$ax^2+(b-2a)x+(c+a-b)=0$，
∴由题意得$\begin{cases}a=3, \\ b-2a=-2, \\ c+a-b=8,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3, \\ b=4, \\ c=9.\end{cases}$
∴$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}＞0$，
$c=9＞0.$
∴一次函数$y=\frac{a}{b}x + c$的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限.故选D.

11. 如图,将一块长方形铁皮的4个角各剪去一个边长为1 m的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为15 m³的无盖长方体箱子,且此箱子底面的长比宽多2 m.设该长方体箱子底面的宽为x m.
(1)用含x的代数式分别表示出该长方体箱子底面的长和容积；
(2)请根据题意列出关于x的方程.

11.【解】(1)因为长方体箱子底面的宽为$x$ m，所以底面的长为$(x+2)\mathrm{m}$，容积为$[x(x+2)]\mathrm{m}^3$.
(2)由题意，得$x(x+2)=15$.

12. 新视角新定义题 将4个数$a,b,c,d$排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$，定义$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，上述记号叫作二阶行列式. 那么
$\begin{vmatrix}x+1&x+2\\x-2&2x\end{vmatrix}=1$表示的方程是一元二次方程吗？若是，请写出它的一般形式.

12.【解】
∵$\begin{vmatrix}x+1&x+2\\x-2&2x\end{vmatrix}=1$，
∴$2x(x+1)-(x-2)(x+2)=1$，即$x^2+2x+3=0$.
∴$\begin{vmatrix}x+1&x+2\\x-2&2x\end{vmatrix}=1$表示的方程是一元二次方程，它的一般形式为$x^2+2x+3=0$.

13. 新考法 过程辨析法 若$x^{2a+b} - 3x^{a-b} + 1 = 0$是关于$x$的一元二次方程，求$a,b$的值. 下面是两名学生的解法：
甲:根据题意，得$\begin{cases}2a+b=2, \\ a-b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1, \\ b=0.\end{cases}$
乙:根据题意，得$\begin{cases}2a+b=2, \\ a-b=1\end{cases}$或$\begin{cases}2a+b=1, \\ a-b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1, \\ b=0\end{cases}$或$\begin{cases}a=1, \\ b=-1.\end{cases}$
你认为上述两名同学的解法是否正确？为什么？如果不正确，请给出正确答案.

13.【解】题中两名同学的解法都不正确，均考虑不全面.正确的解法如下:要使$x^{2a+b} - 3x^{a-b} + 1 = 0$是关于$x$的一元二次方程，则
$\begin{cases}2a+b=2, \\ a-b=2\end{cases}$ 或 $\begin{cases}2a+b=2, \\ a-b=1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}2a+b=2, \\ a-b=0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}2a+b=1, \\ a-b=2\end{cases}$ 或 $\begin{cases}2a+b=0, \\ a-b=2,\end{cases}$ 解得
$\begin{cases}a=\frac{4}{3}, \\ b=-\frac{2}{3}\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=1, \\ b=0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=\frac{2}{3}, \\ b=\frac{2}{3}\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=1, \\ b=-1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=\frac{2}{3}, \\ b=-\frac{4}{3}.\end{cases}$