4. 如图,在矩形ABCD中,E是边AD上的一点,F是边DC上的一点,连接BE,AF交于点G.
(1)若$EG=\frac{1}{4}BE$,E是边AD的中点,求$\frac{DF}{DC}$的值;
(2)若$EG=\frac{1}{5}BE$,$AE:AD=1:3$,求$\frac{DF}{DC}$的值;
(3)若点E是边AD的中点,$EG=\frac{1}{n}BE$,求$\frac{DF}{DC}$的值.

(1)【解】如图，过点E作$EH// AB$交AF于点H，则易得$△HEG∽△ABG$，
∴$\frac{EH}{AB}=\frac{EG}{BG}$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$CD=AB$，$AB// CD$。
∴$EH// CD$。
∴易得$△AEH∽△ADF$。
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{EH}{DF}$。
∵$EG=\frac{1}{4}BE$，
∴$EG:BG=1:3$。
∴$\frac{EH}{AB}=\frac{EG}{BG}=\frac{1}{3}$。
∴$AB=3EH$。
∵E是边AD的中点，
∴$\frac{EH}{DF}=\frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}$。
∴$DF=2EH$。
∴$\frac{DF}{DC}=\frac{DF}{AB}=\frac{2EH}{3EH}=\frac{2}{3}$。
(2)
∵$EG=\frac{1}{5}BE$，
∴$EG:BG=1:4$。
由(1)可得$△HEG∽△ABG$，$△AEH∽ADF$，$AB=CD$，
∴$\frac{EH}{AB}=\frac{EG}{BG}=\frac{1}{4}$，$\frac{EH}{DF}=\frac{AE}{AD}=\frac{1}{3}$。
∴$AB=4EH$，$DF=3EH$。
∴$\frac{DF}{DC}=\frac{DF}{AB}=\frac{3EH}{4EH}=\frac{3}{4}$。
(3)
∵$EG=\frac{1}{n}BE$，
∴$EG:BG=1:(n-1)$。
∵E是边AD的中点，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}$。
由(1)可得$△HEG∽△ABG$，$△AEH∽△ADF$，$AB=CD$，
∴$\frac{EH}{AB}=\frac{EG}{BG}=\frac{1}{n-1}$，$\frac{EH}{DF}=\frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}$。
∴$AB=(n-1)EH$，$DF=2EH$。
∴$\frac{DF}{DC}=\frac{DF}{AB}=\frac{2EH}{(n-1)EH}=\frac{2}{n-1}$。

5. 新考向数学文化 如图①，由四个全等的直角三角形的直角边围成一个正方形ABCD，我们称这样的图形为“弦图”，“弦图”是中国古代数学的瑰宝。在如图②所示的“弦图”中，连接AC，EG交于点O，设AC与EH，FG的交点分别为M，N。吴老师和学生们对此“弦图”进行研究性学习时，有如下交流：
吴老师：利用弦图中的三角形全等关系可证明“四边形EFGH是正方形，O是AC和EG的中点”；
小聪：这两个结论都能证明，我还发现“$△ AOE ∽ △ EOM$”；
小颖：我发现“已知AE，BE的长度，就能确定MN的长度”，如：已知$AE=3$，$BE=1$，求MN的长。
结合上述师生的交流：
(1)请你证明小聪发现的结论；
(2)请你解答小颖提出的问题“已知$AE=3$，$BE=1$，求MN的长”。

(1)由吴老师与小聪的交流可知，四边形EFGH是正方形，
∴$∠OEM=45°$。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$∠OAE=45°=∠OEM$。
又
∵$∠AOE=∠EOM$，
∴$△AOE∽△EOM$。
(2)
∵$Rt△AHE≌Rt△BEF$，
∴$AH=BE=1$。
∴$HE=\sqrt{AE^2+AH^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
由正方形EFGH得$EG=\sqrt{2}HE=2\sqrt{5}$。
∵$AE=3$，$BE=1$，
∴$AB=4$。
由正方形ABCD得$AC=\sqrt{2}AB=4\sqrt{2}$。
由吴老师与小聪的交流可知，O是AC和EG的中点，
∴$OA=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{2}$，$OE=\frac{1}{2}EG=\sqrt{5}$。
由(1)得$△AOE∽△EOM$，
∴$\frac{OE}{OM}=\frac{AO}{EO}$，
即$\frac{\sqrt{5}}{OM}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，
∴$OM=\frac{5\sqrt{2}}{4}$。
∴由正方形的中心对称性，得$MN=2OM=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。