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13.某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3 600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元，求共有几种购买方案？设购买篮球x个，可列不等式组为（
A.$\begin{cases}150x + 100(30 - x) ＜ 3600, \\ x ＞ \dfrac{1}{2}(30 - x)\end{cases}$
B.$\begin{cases}150x + 100(30 - x) ＞ 3600, \\ x ＜ \dfrac{1}{2}(30 - x)\end{cases}$
C.$\begin{cases}150x + 100(30 - x) ≤ 3600, \\ x ≥ \dfrac{1}{2}(30 - x)\end{cases}$
D.$\begin{cases}150x + 100(30 - x) ≥ 3600, \\ x ≤ \dfrac{1}{2}(30 - x)\end{cases}$
C
）A.$\begin{cases}150x + 100(30 - x) ＜ 3600, \\ x ＞ \dfrac{1}{2}(30 - x)\end{cases}$
B.$\begin{cases}150x + 100(30 - x) ＞ 3600, \\ x ＜ \dfrac{1}{2}(30 - x)\end{cases}$
C.$\begin{cases}150x + 100(30 - x) ≤ 3600, \\ x ≥ \dfrac{1}{2}(30 - x)\end{cases}$
D.$\begin{cases}150x + 100(30 - x) ≥ 3600, \\ x ≤ \dfrac{1}{2}(30 - x)\end{cases}$
答案
13.C
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：设购买篮球x个，总数量为30个，因此排球数量可表示为(30-x)个。接下来找题干中的两个不等关系：①购买资金不超过3600元，“不超过”对应不等号“≤”，总资金为篮球总价加排球总价；②篮球数量不少于排球数量的一半，“不少于”对应不等号“≥”，据此即可列出对应的不等式组，再匹配选项即可。
【解析】
解：设购买篮球x个，则购买排球的数量为(30 - x)个。
1. 根据“购买资金不超过3600元”列不等式：
总费用=篮球总价+排球总价=150x + 100(30 - x)，“不超过”即小于等于，因此：
$150x + 100(30 - x) ≤ 3600$
2. 根据“购买篮球的数量不少于排球数量的一半”列不等式：
“不少于”即大于等于，因此：
$x ≥ \dfrac{1}{2}(30 - x)$
联立两个不等式可得所求不等式组，与选项C一致。
【答案】
C
【知识点】
列一元一次不等式组、不等号含义辨析
【点评】
本题是不等式组的基础应用类题目，解题核心是准确抓住题干中“不超过”“不少于”这类关键词对应的不等符号，正确表示两个未知量后即可顺利列出不等式组，属于常规基础题。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确已知条件：设购买篮球x个，总数量为30个，因此排球数量可表示为(30-x)个。接下来找题干中的两个不等关系：①购买资金不超过3600元，“不超过”对应不等号“≤”，总资金为篮球总价加排球总价；②篮球数量不少于排球数量的一半，“不少于”对应不等号“≥”，据此即可列出对应的不等式组，再匹配选项即可。
【解析】
解：设购买篮球x个，则购买排球的数量为(30 - x)个。
1. 根据“购买资金不超过3600元”列不等式：
总费用=篮球总价+排球总价=150x + 100(30 - x)，“不超过”即小于等于，因此：
$150x + 100(30 - x) ≤ 3600$
2. 根据“购买篮球的数量不少于排球数量的一半”列不等式：
“不少于”即大于等于，因此：
$x ≥ \dfrac{1}{2}(30 - x)$
联立两个不等式可得所求不等式组，与选项C一致。
【答案】
C
【知识点】
列一元一次不等式组、不等号含义辨析
【点评】
本题是不等式组的基础应用类题目，解题核心是准确抓住题干中“不超过”“不少于”这类关键词对应的不等符号，正确表示两个未知量后即可顺利列出不等式组，属于常规基础题。
【难度系数】
0.85
14.若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x+2y=3k-1, \\2x+y=7\end{cases}$的解满足$0＜x+y＜4$，则$k$的取值范围是________.
答案
14.$-2＜k＜2$
解析
【分析】
解题时可以先观察方程组的系数特征：两个方程中x的系数和为1+2=3，y的系数和为2+1=3，因此无需单独求解x、y的值，直接将两个方程左右两边相加，即可得到含x+y和k的关系式，再将该关系式代入0＜x+y＜4，转化为关于k的一元一次不等式组，解不等式组就能得到k的取值范围。如果没有想到整体相加的方法，也可以先解方程组用k表示出x、y，再求和代入不等式求解。
【解析】
解：令方程组$\begin{cases}x+2y=3k-1&① \\2x+y=7&②\end{cases}$
将①+②，得：
$x+2y+2x+y=3k-1+7$
合并同类项得$3x+3y=3k+6$
两边同时除以3，得$x+y=k+2$
∵$0＜x+y＜4$
∴代入得不等式组$\begin{cases}k+2＞0 \\k+2＜4\end{cases}$
解第一个不等式：$k＞0-2$，即$k＞-2$
解第二个不等式：$k＜4-2$，即$k＜2$
综上，k的取值范围是$-2＜k＜2$
【答案】
$-2＜k＜2$
【知识点】
二元一次方程组的变形、一元一次不等式组的求解、整体思想应用
【点评】
本题属于方程组与不等式的综合基础题，采用整体运算的方法可大幅简化计算过程，解题核心是先得到x+y与k的对应关系，再结合不等式范围求解参数。
【难度系数】
0.7
解题时可以先观察方程组的系数特征：两个方程中x的系数和为1+2=3，y的系数和为2+1=3，因此无需单独求解x、y的值，直接将两个方程左右两边相加，即可得到含x+y和k的关系式，再将该关系式代入0＜x+y＜4，转化为关于k的一元一次不等式组，解不等式组就能得到k的取值范围。如果没有想到整体相加的方法，也可以先解方程组用k表示出x、y，再求和代入不等式求解。
【解析】
解：令方程组$\begin{cases}x+2y=3k-1&① \\2x+y=7&②\end{cases}$
将①+②，得：
$x+2y+2x+y=3k-1+7$
合并同类项得$3x+3y=3k+6$
两边同时除以3，得$x+y=k+2$
∵$0＜x+y＜4$
∴代入得不等式组$\begin{cases}k+2＞0 \\k+2＜4\end{cases}$
解第一个不等式：$k＞0-2$，即$k＞-2$
解第二个不等式：$k＜4-2$，即$k＜2$
综上，k的取值范围是$-2＜k＜2$
【答案】
$-2＜k＜2$
【知识点】
二元一次方程组的变形、一元一次不等式组的求解、整体思想应用
【点评】
本题属于方程组与不等式的综合基础题，采用整体运算的方法可大幅简化计算过程，解题核心是先得到x+y与k的对应关系，再结合不等式范围求解参数。
【难度系数】
0.7
15.若关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x + y = 1 + a, \\x + 3y = 3\end{cases}$的解中$x$是非负数，$y$的值不大于$-1$，则$a$的取值范围为 ______ 。
答案
15.$a≥16$
解析
【分析】
要确定a的取值范围，首先需要把方程组中的x、y用含a的代数式表示出来，再根据题中给出的“x是非负数（即x≥0）”“y的值不大于-1（即y≤-1）”这两个不等关系，列出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围。
【解析】
设方程组为$\begin{cases}3x + y = 1 + a&① \\x + 3y = 3&②\end{cases}$
1. 用加减消元法解方程组：
①×3，得：$9x + 3y = 3 + 3a$ ③
③ - ②，消去y，得：$8x = 3a$，解得$x = \frac{3a}{8}$
②×3，得：$3x + 9y = 9$ ④
④ - ①，消去x，得：$8y = 8 - a$，解得$y = \frac{8 - a}{8}$
2. 根据题意列不等式组：
∵x是非负数，
∴$\frac{3a}{8} ≥ 0$ (1)
∵y的值不大于-1，
∴$\frac{8 - a}{8} ≤ -1$ (2)
3. 解不等式组：
解不等式(1)：两边同乘8得$3a ≥ 0$，解得$a ≥ 0$
解不等式(2)：两边同乘8得$8 - a ≤ -8$，移项得$-a ≤ -16$，两边同时乘-1（不等号方向改变），得$a ≥ 16$
取两个解集的公共部分，得$a ≥ 16$
【答案】
$a≥16$
【知识点】
二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的应用，不等关系转化
【点评】
本题属于方程与不等式的综合题，解题核心是先通过消元法用参数表示出方程组的解，再结合限制条件转化为不等式组求解，需注意解不等式时两边乘负数不等号方向要改变，避免出错。
【难度系数】
0.6
要确定a的取值范围，首先需要把方程组中的x、y用含a的代数式表示出来，再根据题中给出的“x是非负数（即x≥0）”“y的值不大于-1（即y≤-1）”这两个不等关系，列出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围。
【解析】
设方程组为$\begin{cases}3x + y = 1 + a&① \\x + 3y = 3&②\end{cases}$
1. 用加减消元法解方程组：
①×3，得：$9x + 3y = 3 + 3a$ ③
③ - ②，消去y，得：$8x = 3a$，解得$x = \frac{3a}{8}$
②×3，得：$3x + 9y = 9$ ④
④ - ①，消去x，得：$8y = 8 - a$，解得$y = \frac{8 - a}{8}$
2. 根据题意列不等式组：
∵x是非负数，
∴$\frac{3a}{8} ≥ 0$ (1)
∵y的值不大于-1，
∴$\frac{8 - a}{8} ≤ -1$ (2)
3. 解不等式组：
解不等式(1)：两边同乘8得$3a ≥ 0$，解得$a ≥ 0$
解不等式(2)：两边同乘8得$8 - a ≤ -8$，移项得$-a ≤ -16$，两边同时乘-1（不等号方向改变），得$a ≥ 16$
取两个解集的公共部分，得$a ≥ 16$
【答案】
$a≥16$
【知识点】
二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的应用，不等关系转化
【点评】
本题属于方程与不等式的综合题，解题核心是先通过消元法用参数表示出方程组的解，再结合限制条件转化为不等式组求解，需注意解不等式时两边乘负数不等号方向要改变，避免出错。
【难度系数】
0.6
16. 关于$x$的不等式组$\begin{cases}2x+a ＞ x+2, \\ x+3 ≥ 2x -1\end{cases}$无解，则$a$的取值范围是________。
答案
16.$a≤-2$
解析
【分析】
要解决这类含参数的不等式组无解问题，解题思路分三步：第一步先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，用含a的代数式表示；第二步回忆不等式组无解的判定规则：即两个不等式的解集没有公共部分，对应口诀“大大小小无处找”，也就是“x大于较大的数，x小于等于较小的数”时无解；第三步根据这个规则列关于a的不等式，求解即可，注意最后要验证等号是否符合题意，避免漏解。
【解析】
首先分别求解两个不等式：
1. 解不等式$2x+a ＞ x+2$：
移项，将含x的项移到左边，常数项移到右边，得$2x - x ＞ 2 - a$，
化简得：$x ＞ 2 - a$。
2. 解不等式$x+3 ≥ 2x -1$：
移项，得$x - 2x ≥ -1 - 3$，
合并同类项得：$-x ≥ -4$，
两边同时除以$-1$，不等号方向改变，得：$x ≤ 4$。
因为原不等式组无解，说明两个解集没有公共部分，即$x ＞ 2 - a$和$x ≤ 4$没有重叠，因此满足$2 - a ≥ 4$。
解这个关于a的不等式：
移项得$-a ≥ 4 - 2$，即$-a ≥ 2$，
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$a ≤ -2$。
验证：当$a=-2$时，第一个不等式的解集为$x＞4$，第二个为$x≤4$，确实无公共解，符合题意，等号可取。
【答案】
$a≤-2$
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 不等式组解集判定
3. 含参不等式组求解
【点评】
本题是不等式组的常规考法，核心考查对不等式组解集规则的理解，解题的关键是先正确求出每个不等式的解集，再结合无解的条件列参数不等式，要特别注意验证等号是否成立，避免因忽略等号导致取值范围错误。
【难度系数】
0.6
要解决这类含参数的不等式组无解问题，解题思路分三步：第一步先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，用含a的代数式表示；第二步回忆不等式组无解的判定规则：即两个不等式的解集没有公共部分，对应口诀“大大小小无处找”，也就是“x大于较大的数，x小于等于较小的数”时无解；第三步根据这个规则列关于a的不等式，求解即可，注意最后要验证等号是否符合题意，避免漏解。
【解析】
首先分别求解两个不等式：
1. 解不等式$2x+a ＞ x+2$：
移项，将含x的项移到左边，常数项移到右边，得$2x - x ＞ 2 - a$，
化简得：$x ＞ 2 - a$。
2. 解不等式$x+3 ≥ 2x -1$：
移项，得$x - 2x ≥ -1 - 3$，
合并同类项得：$-x ≥ -4$，
两边同时除以$-1$，不等号方向改变，得：$x ≤ 4$。
因为原不等式组无解，说明两个解集没有公共部分，即$x ＞ 2 - a$和$x ≤ 4$没有重叠，因此满足$2 - a ≥ 4$。
解这个关于a的不等式：
移项得$-a ≥ 4 - 2$，即$-a ≥ 2$，
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$a ≤ -2$。
验证：当$a=-2$时，第一个不等式的解集为$x＞4$，第二个为$x≤4$，确实无公共解，符合题意，等号可取。
【答案】
$a≤-2$
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 不等式组解集判定
3. 含参不等式组求解
【点评】
本题是不等式组的常规考法，核心考查对不等式组解集规则的理解，解题的关键是先正确求出每个不等式的解集，再结合无解的条件列参数不等式，要特别注意验证等号是否成立，避免因忽略等号导致取值范围错误。
【难度系数】
0.6
17. 解下列不等式组：
(1) $\begin{cases} x＞3, \\ x＞2; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x-5＜1, \\ 2x＞3; \end{cases}$
(3) $\begin{cases} 2x＞x+2, \\ x+8＞4x-1; \end{cases}$
(4) $\begin{cases} 2x+4＞0, \\ 3-2x≥0. \end{cases}$
(1) $\begin{cases} x＞3, \\ x＞2; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x-5＜1, \\ 2x＞3; \end{cases}$
(3) $\begin{cases} 2x＞x+2, \\ x+8＞4x-1; \end{cases}$
(4) $\begin{cases} 2x+4＞0, \\ 3-2x≥0. \end{cases}$
答案
17.(1)$x＞3$. (2)$1.5＜x＜6$.
(3)$2＜x＜3$. (4)$-2＜x≤1.5$.
(3)$2＜x＜3$. (4)$-2＜x≤1.5$.
解析
【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是“先分后合”：第一步先分别求出不等式组中每个不等式的解集；第二步根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的口诀，找出所有解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的最终解集。求解过程中要注意：不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号方向需要改变。
【解析】
(1) 两个不等式的解集分别为$x＞3$和$x＞2$，属于“同大取大”的情况，取数值更大的3作为解集边界，因此不等式组的解集为$x＞3$。
(2) 解第一个不等式$x-5＜1$，移项计算得$x＜6$；解第二个不等式$2x＞3$，两边同时除以2得$x＞1.5$。两个解集的公共部分为$1.5＜x＜6$，即为该不等式组的解集。
(3) 解第一个不等式$2x＞x+2$，移项合并同类项得$x＞2$；解第二个不等式$x+8＞4x-1$，移项合并同类项得$-3x＞-9$，两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得$x＜3$。两个解集的公共部分为$2＜x＜3$，即为该不等式组的解集。
(4) 解第一个不等式$2x+4＞0$，移项计算得$x＞-2$；解第二个不等式$3-2x≥0$，移项得$-2x≥-3$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x≤1.5$。两个解集的公共部分为$-2＜x≤1.5$，即为该不等式组的解集。
【答案】
(1)$x＞3$；(2)$1.5＜x＜6$；(3)$2＜x＜3$；(4)$-2＜x≤1.5$
【知识点】
一元一次不等式组解法，不等式的性质，解集取法
【点评】
本题是一元一次不等式组的常规基础题，重点考察解一元一次不等式的运算规范，以及确定多个解集公共部分的方法，熟练掌握解集取值口诀即可快速准确作答。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组的核心思路是“先分后合”：第一步先分别求出不等式组中每个不等式的解集；第二步根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的口诀，找出所有解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的最终解集。求解过程中要注意：不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号方向需要改变。
【解析】
(1) 两个不等式的解集分别为$x＞3$和$x＞2$，属于“同大取大”的情况，取数值更大的3作为解集边界，因此不等式组的解集为$x＞3$。
(2) 解第一个不等式$x-5＜1$，移项计算得$x＜6$；解第二个不等式$2x＞3$，两边同时除以2得$x＞1.5$。两个解集的公共部分为$1.5＜x＜6$，即为该不等式组的解集。
(3) 解第一个不等式$2x＞x+2$，移项合并同类项得$x＞2$；解第二个不等式$x+8＞4x-1$，移项合并同类项得$-3x＞-9$，两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得$x＜3$。两个解集的公共部分为$2＜x＜3$，即为该不等式组的解集。
(4) 解第一个不等式$2x+4＞0$，移项计算得$x＞-2$；解第二个不等式$3-2x≥0$，移项得$-2x≥-3$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x≤1.5$。两个解集的公共部分为$-2＜x≤1.5$，即为该不等式组的解集。
【答案】
(1)$x＞3$；(2)$1.5＜x＜6$；(3)$2＜x＜3$；(4)$-2＜x≤1.5$
【知识点】
一元一次不等式组解法，不等式的性质，解集取法
【点评】
本题是一元一次不等式组的常规基础题，重点考察解一元一次不等式的运算规范，以及确定多个解集公共部分的方法，熟练掌握解集取值口诀即可快速准确作答。
【难度系数】
0.8
