1. 先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题:
例题:说明代数式 $ m^2 + 2m + 4 $ 的值一定是正数.
解:$ m^2 + 2m + 4 = m^2 + 2m + 1 + 3 = (m + 1)^2 + 3 $,
$ \because (m + 1)^2 ≥ 0, \therefore (m + 1)^2 + 3 ≥ 3 $,
$ \therefore m^2 + 2m + 4 $ 的值一定是正数.
(1)说明代数式$ -a^2 + 6a - 12 $的值一定是负数；
(2)设正方形的面积为$ S_1 \ \mathrm{cm}^2 $,长方形的面积为$ S_2 \ \mathrm{cm}^2 $,正方形的边长为$ a \ \mathrm{cm} $,如果长方形的一边长比正方形的边长少$ 3 \ \mathrm{cm} $,另一边长为$ 4 \ \mathrm{cm} $,请你比较$ S_1 $与$ S_2 $的大小关系,并说明理由.

解：​$(1)-a^2+6a - 12=-(a^2-6a + 9)-3$​​$=-(a - 3)^2-3，$​​$ $​因为​$(a - 3)^2\geq 0，$​所以​$-(a - 3)^2\leq 0，$​则​$-(a - 3)^2-3\leq - 3<0，$​所以代数式​$-a^2+6a - 12$​的值一定是负数。​$ (2)$​根据题意，得​$S_{1}=a^2，$​​$S_{2}=4(a - 3)=4a-12，$​​$ $​所以​$S_{1}-S_{2}$​​$=a^2-(4a - 12)$​​$=a^2-4a + 12$​​$=a^2-4a + 4+8$​​$=(a - 2)^2+8。$​​$ $​因为​$(a - 2)^2\geq 0，$​所以​$(a - 2)^2+8\geq 8>0，$​所以​$S_{1}>S_{2}。$​

2. 已知$a$、$b$、$c$为$△ ABC$的三边长,若$a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$,试判断$△ ABC$的形状,并证明.

证明：因为​$a^2+b^2+c^2=ab + bc + ca，$​​$ $​所以​$a^2+b^2+c^2-(ab + bc + ca)$​​$=(\frac {1}{2}a^2-ab+\frac {1}{2}b^2)+(\frac {1}{2}a^2-ac+\frac {1}{2}c^2)+(\frac {1}{2}b^2-bc+\frac {1}{2}c^2)$​​$ =\frac {1}{2}(a^2-2ab + b^2)+\frac {1}{2}(a^2-2ac + c^2)+\frac {1}{2}(b^2-2bc + c^2)$​​$ =\frac {1}{2}(a - b)^2+\frac {1}{2}(a - c)^2+\frac {1}{2}(b - c)^2$​​$=0。$​​$ $​因为​$(a - b)^2\geq 0，$​​$(a - c)^2\geq 0，$​​$(b - c)^2\geq 0，$​所以​$a = b = c，$​即​$\triangle ABC$​为等边三角形。

3. (凉山州中考改编)若实数 $ x $ 满足 $ x^2 - 2\sqrt{2}x - 1 = 0 $，求 $ x^2 + \frac{1}{x^2} $ 的值.

解：由条件可知，$x\neq0，$
将方程$x^{2}-2\sqrt{2}x - 1=0$两边同除以$x，$
得$\frac{x^{2}-2\sqrt{2}x - 1}{x}=0，$ 即$x-2\sqrt{2}-\frac{1}{x}=0，$
所以$x-\frac{1}{x}=2\sqrt{2}，$ 所以$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x - \frac{1}{x})^{2}+2=(2\sqrt{2})^{2}+2=8 + 2=10。$