8. 如图,抛物线 $ y=ax^2+c $ 经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac的值为
（ ）
A. $-1$
B. $-2$
C. $-3$
D. $-4$

第8题图

第10题图

B

9.已知二次函数的图像经过点$P(2,2)$，顶点为$O(0,0)$，将该图像向右平移，当它再次经过点$P$时，所得抛物线的函数表达式为$\underline{\hspace{5cm}}$．

$y=\frac{1}{2}(x - 4)^{2}$

10.如图，$\odot P$的半径为2，圆心$P$在抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 - 3$上运动，当$\odot P$与$x$轴相切时，圆心$P$的坐标为______．

​$ (-\sqrt {10}，2)$​或​$(\sqrt {10}，2)$​或​$(-\sqrt {2}，-2)$​或​$(\sqrt {2}，-2)$​

11. 如图,抛物线 $ y=ax^2+c $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A,B $,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,直线 $ BC $ 的函数表达式为 $ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x - 2 $.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)直线 $ AD $ 与抛物线在第一象限的交点为 $ D $,当 $ S_{△ ABD}=3S_{△ ABC} $ 时,确定直线 $ AD $ 与 $ BC $ 的位置关系.

第11题图

解：​$(1)$​对于​$y=\frac {\sqrt {3}}{3}x - 2，$​令​$y = 0，$​解得​$x = 2\sqrt {3}，$​令​$x = 0，$​则​$y=-2，$​​$ $​故点​$B，$​​$C$​的坐标分别为​$(2\sqrt {3}，0)，$​​$(0，-2).$​​$ $​将点​$B，$​​$C$​的坐标代入抛物线的函数表达式，得​$ \begin {cases}0=a×(2\sqrt {3})^2+c\\c =-2\end {cases}，$​解得​$\begin {cases}a=\frac {1}{6}\\c =-2\end {cases}，$​​$ $​故抛物线的函数表达式为​$y=\frac {1}{6}x^2-2.$​​$ (2)$​令​$y=\frac {1}{6}x^2-2 = 0，$​解得​$x=\pm 2\sqrt {3}，$​故点​$A$​的坐标为​$(-2\sqrt {3}，0).$​ ∵​$C(0，-2)，$​∴​$OC = 2.$​ ∵​$S_{\triangle ABD}=3S_{\triangle ABC}，$​∴​$y_{D}=3CO = 6.$​令​$\frac {1}{6}x^2-2 = 6，$​​$ $​解得​$x = 4\sqrt {3}$​或​$x=-4\sqrt {3}($​舍去​$)，$​​$ $​故点​$D$​的坐标为​$(4\sqrt {3}，6).$​​$ $​设直线​$AD$​的函数表达式为​$y = kx + b，$​将点​$D(4\sqrt {3}，6)，$​点​$A(-2\sqrt {3}，0)$​代入，得​$\begin {cases}6 = 4\sqrt {3}k + b\\0=-2\sqrt {3}k + b\end {cases}，$​解得​$\begin {cases}k=\frac {\sqrt {3}}{3}\\b = 2\end {cases}，$​故直线​$AD$​的函数表达式为​$y=\frac {\sqrt {3}}{3}x + 2.$​ ∵直线​$AD$​的函数表达式中的​$k$​值和直线​$BC$​的函数表达式中的​$k$​值相同，∴​$AD// BC.$​

12.(2024·梁溪区期中)已知抛物线$y=\frac{1}{4}x^2+1$具有如下性质:抛物线上任意一点到定点$F(0,2)$的距离与到$x$轴的距离相等,如图,点$M$的坐标为$(\sqrt{3},3)$,$P$是抛物线$y=\frac{1}{4}x^2+1$上一动点.
(1)当$△ POF$的面积为$4$时,求点$P$的坐标;
(2)求$△ PMF$周长的最小值.

; 解：​$(1)$​设点​$P $​的坐标为​$(x，\frac {1}{4}x^2+1)，$​ ∵点​$F $​的坐标为​$(0，2)，$​ ∴​$OF = 2，$​ ∴​$S_{\triangle POF}=\frac {1}{2}×2×|x| = 4，$​​$ $​解得​$x=\pm 4，$​ ∴​$y=\frac {1}{4}×(\pm 4)^2+1 = 5，$​ ∴点​$P $​的坐标为​$(-4，5)$​或​$(4，5).$​​$ (2)$​如答图，过点​$M$​作​$ME\perp x$​轴于点​$E，$​交抛物线​$y=\frac {1}{4}x^2+1$​于点​$P，$​此时​$\triangle PMF $​的周长最小， ∵​$F(0，2)，$​​$M(\sqrt {3}，3)，$​ ∴​$ME = 3，$​​$FM=\sqrt {(\sqrt {3}-0)^2+(3 - 2)^2} = 2，$​ ∴​$\triangle PMF $​周长的最小值为​$ME + FM=3 + 2 = 5.$​