9.若$(a^2 + b^2 + 1)(a^2 + b^2 - 1) = 63$，则$a^2 + b^2 = \underline{\hspace{5cm}}$．

8

10.(2024·吴江区月考)若一元二次方程$ax^2=b(ab＞0)$的两个不相等的根分别是$2m+1$与$m-7$,则$\frac{a}{b}=$______.

$\frac{1}{25}$

11.(2024·工业园区校级月考)已知关于$x$的方程$mx^2 + n = 0$的解是$x_1 = -3, x_2 = 3$，则关于$x$的方程$m(x - 5)^2 + n = 0$的解是$\underline{\hspace{5cm}}$．

$x_{1}=2,x_{2}=8$

12. 用直接开平方法解下列方程：
(1)$\frac{1}{4}(2x+3)^2=0$；
(2)$2(x+3)^2 - 4=0$；
(3)$(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=6$；
(4)$4(2m-3)^2=9(m-1)^2$．

解：$∵\frac{1}{4}(2x + 3)^{2}=0，$
$∴(2x + 3)^{2}=0，$
$∴2x + 3 = 0，$
$∴x_{1}=x_{2}=-1.5$ ; 解：$∵2(x + 3)^{2}-4 = 0，$
$∴(x + 3)^{2}=2，$
$∴x + 3=\pm\sqrt{2}，$
$∴x_{1}=-3+\sqrt{2},x_{2}=-3-\sqrt{2}$ ; 解：原方程可化为$x^{2}-3 = 6，$
即$x^{2}=9，$
$∴x_{1}=3,x_{2}=-3$ ; 解：直接开平方，得$2(2m - 3)=3(m - 1)$
或$2(2m - 3)=-3(m - 1)。$ 当$2(2m - 3)=3(m - 1)$时，$4m-6 = 3m - 3，$
$4m-3m=-3 + 6，$解得$m_{1}=3；$ 当$2(2m - 3)=-3(m - 1)$时，$4m-6=-3m + 3，$
$4m + 3m=3 + 6，$$7m=9，$解得$m_{2}=\frac{9}{7}$

13.在解一元二次方程时，发现有这样一种解法，
如:解方程 $x(x+8)=4$。
解:原方程可变形，得$[(x+4)-4][(x+4)+4]=4,(x+4)^2 - 4^2 = 4$，
$(x+4)^2 = 20$，
直接开平方，得 $x_1=-4+2\sqrt{5},x_2=-4-2\sqrt{5}$。
我们称这种解法为“平均数法”。
请用“平均数法”解方程:$(x-2)(x+6)=4$。

解：原方程可变形，得$[(x + 2)-4][(x + 2)+4]=4，$
$(x + 2)^{2}-4^{2}=4，$
$(x + 2)^{2}=20，$
$∴x=-2\pm2\sqrt{5}，$
$∴x_{1}=-2 + 2\sqrt{5},x_{2}=-2-2\sqrt{5}$

14. 定义$[x]$表示不超过实数$x$的最大整数，如$[1.8]=1,[-1.4]=-2,[-3]=-3$. 函数$y=[x](-2≤ x＜2)$的图像如图所示，试求方程$[x]=\frac{1}{2}x^2(-2≤ x＜2)$的解.

解：当$1\leqslant x<2$时，$\frac{1}{2}x^{2}=1，$解得$x_{1}=\sqrt{2},x_{2}=-\sqrt{2}$（舍去）； 当$0\leqslant x<1$时，$\frac{1}{2}x^{2}=0，$解得$x = 0；$ 当$-1\leqslant x<0$时，$\frac{1}{2}x^{2}=-1，$方程没有实数解； 当$-2\leqslant x<-1$时，$\frac{1}{2}x^{2}=-2，$方程没有实数解. 所以方程$[x]=\frac{1}{2}x^{2}(-2\leqslant x<2)$的解为$x = 0$或$x=\sqrt{2}$ 。