登录
1. (2025·南京校级月考)一元二次方程$2x^2 + 3x + 1 = 0$用配方法解方程,配方结果是( )
A. $(x+\dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{1}{16}$
B. $2(x-\dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{1}{8}$
C. $(x+\dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{1}{8}$
D. $(x+\dfrac{3}{4})^2 - \dfrac{1}{16} = -1$
A. $(x+\dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{1}{16}$
B. $2(x-\dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{1}{8}$
C. $(x+\dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{1}{8}$
D. $(x+\dfrac{3}{4})^2 - \dfrac{1}{16} = -1$
答案
A
2. (2024·淄博期中)在解方程$2x^2 + 4x + 1 = 0$时，对方程进行配方，图①是甲做的，图②是乙做的，对于两人的做法，说法正确的是 （ ）
A. 两人都正确
B. 甲正确，乙不正确
C. 甲不正确，乙正确
D. 两人都不正确
A. 两人都正确
B. 甲正确，乙不正确
C. 甲不正确，乙正确
D. 两人都不正确
答案
A
3. 填空:(横线上所填数或代数式均默认大于0)
(1)$4x^2 - 4x + \_\_\_\_\_\_ = (2x - \_\_\_\_\_\_)^2$;
(2)$3x^2 - 9x + \_\_\_\_\_\_ = 3(x - \_\_\_\_\_\_)^2$;
(3)$2x^2 + \_\_\_\_\_\_ + \frac{3}{2} = 2(x + \_\_\_\_\_\_)^2$
$(x＞0)$;
(4)$-\frac{1}{2}x^2 + \_\_\_\_\_\_ - \frac{25}{2} = -\frac{1}{2}(x - \_\_\_\_\_\_)^2$
$(x＞0)$.
(1)$4x^2 - 4x + \_\_\_\_\_\_ = (2x - \_\_\_\_\_\_)^2$;
(2)$3x^2 - 9x + \_\_\_\_\_\_ = 3(x - \_\_\_\_\_\_)^2$;
(3)$2x^2 + \_\_\_\_\_\_ + \frac{3}{2} = 2(x + \_\_\_\_\_\_)^2$
$(x＞0)$;
(4)$-\frac{1}{2}x^2 + \_\_\_\_\_\_ - \frac{25}{2} = -\frac{1}{2}(x - \_\_\_\_\_\_)^2$
$(x＞0)$.
答案
1
; 1
; $\frac{27}{4}$ ; $\frac{3}{2}$ ; $2\sqrt{3}x$ ; $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; $5x$ ; 5
; 1
; $\frac{27}{4}$ ; $\frac{3}{2}$ ; $2\sqrt{3}x$ ; $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; $5x$ ; 5
4. 把方程$2x^2 - x - 1 = 0$配方,化为$(x - m)^2 = n$的形式,则以$m$、$n$为对角线的菱形的面积为______．
答案
$\frac{9}{128}$
5. 教材 P14 练习变式 用配方法解方程.
(1)$4x^{2}+8x+3=0$;
(2)$\frac{1}{3}x^{2}-4x+\frac{4}{3}=0$;
(3)$(2y-3)^{2}=(y-2)(y-3)$;
(4)$(2y-1)(2y+1)=2\sqrt{2}y$.
(1)$4x^{2}+8x+3=0$;
(2)$\frac{1}{3}x^{2}-4x+\frac{4}{3}=0$;
(3)$(2y-3)^{2}=(y-2)(y-3)$;
(4)$(2y-1)(2y+1)=2\sqrt{2}y$.
答案
解：移项，二次项系数化为1，得$x^{2}+2x = -\frac{3}{4}，$ $∴(x + 1)^{2}=\frac{1}{4}，$ $∴x + 1=\pm\frac{1}{2}，$ $∴x_{1}=-\frac{1}{2}，$$x_{2}=-\frac{3}{2}.$ ; 解：二次项系数化为1，得$x^{2}-12x + 4 = 0，$ 移项，得$x^{2}-12x=-4，$ 配方，得$x^{2}-12x + 36=-4 + 36，$
即$(x - 6)^{2}=32，$ $∴x - 6=\pm4\sqrt{2}，$ $∴x_{1}=6 + 4\sqrt{2}，$$x_{2}=6 - 4\sqrt{2}.$ ; 解：整理，得$3y^{2}-7y + 3 = 0，$ 方程两边同时除以3，得$y^{2}-\frac{7}{3}y + 1 = 0，$ 移项，得$y^{2}-\frac{7}{3}y=-1，$ 配方，得$y^{2}-\frac{7}{3}y+(-\frac{7}{6})^{2}=-1+(-\frac{7}{6})^{2}，$ 即$(y-\frac{7}{6})^{2}=\frac{13}{36}，$ $∴y-\frac{7}{6}=\pm\frac{\sqrt{13}}{6}，$ $∴y_{1}=\frac{7+\sqrt{13}}{6}，$$y_{2}=\frac{7-\sqrt{13}}{6}.$ ; 解：整理，得$4y^{2}-2\sqrt{2}y - 1 = 0，$ 方程两边同时除以4，得$y^{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}y-\frac{1}{4}=0，$ 移项，得$y^{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}y=\frac{1}{4}，$ 配方，得$y^{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}y+(-\frac{\sqrt{2}}{4})^{2}=\frac{1}{4}+(-\frac{\sqrt{2}}{4})^{2}，$ 即$(y-\frac{\sqrt{2}}{4})^{2}=\frac{3}{8}，$ $∴y-\frac{\sqrt{2}}{4}=\pm\frac{\sqrt{6}}{4}，$ $∴y_{1}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}，$$y_{2}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}.$
即$(x - 6)^{2}=32，$ $∴x - 6=\pm4\sqrt{2}，$ $∴x_{1}=6 + 4\sqrt{2}，$$x_{2}=6 - 4\sqrt{2}.$ ; 解：整理，得$3y^{2}-7y + 3 = 0，$ 方程两边同时除以3，得$y^{2}-\frac{7}{3}y + 1 = 0，$ 移项，得$y^{2}-\frac{7}{3}y=-1，$ 配方，得$y^{2}-\frac{7}{3}y+(-\frac{7}{6})^{2}=-1+(-\frac{7}{6})^{2}，$ 即$(y-\frac{7}{6})^{2}=\frac{13}{36}，$ $∴y-\frac{7}{6}=\pm\frac{\sqrt{13}}{6}，$ $∴y_{1}=\frac{7+\sqrt{13}}{6}，$$y_{2}=\frac{7-\sqrt{13}}{6}.$ ; 解：整理，得$4y^{2}-2\sqrt{2}y - 1 = 0，$ 方程两边同时除以4，得$y^{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}y-\frac{1}{4}=0，$ 移项，得$y^{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}y=\frac{1}{4}，$ 配方，得$y^{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}y+(-\frac{\sqrt{2}}{4})^{2}=\frac{1}{4}+(-\frac{\sqrt{2}}{4})^{2}，$ 即$(y-\frac{\sqrt{2}}{4})^{2}=\frac{3}{8}，$ $∴y-\frac{\sqrt{2}}{4}=\pm\frac{\sqrt{6}}{4}，$ $∴y_{1}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}，$$y_{2}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}.$
6. 如图,在直角坐标系中,直线$y=6-x$与函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图像相交于点A、B,则AB的长为（ ）
A. $\sqrt{5}$
B. $\sqrt{10}$
C. $2\sqrt{5}$
D. $2\sqrt{10}$
A. $\sqrt{5}$
B. $\sqrt{10}$
C. $2\sqrt{5}$
D. $2\sqrt{10}$
答案
D
7. 一题多解 在平面直角坐标系$xOy$中,若已知点$P(x+1,x)$,则$OP$的长不可能为 （ ）
A. $\dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C. $1$
D. $\sqrt{2}$
A. $\dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C. $1$
D. $\sqrt{2}$
答案
A
8. 已知$x^2+2(n-1)x+2n$是完全平方式，则常数$n$的值是______．
答案
$2\pm\sqrt{3}$
9. 新考法 定义:如果一个数的平方等于-1,记为$\mathrm{i}^2=-1$.如当$x^2=-1$时,有$x^2=\mathrm{i}^2$,$x=\pm\mathrm{i}$,从而$x=\pm\mathrm{i}$是方程$x^2=-1$的两个根.据此可知:方程$4x^2+4x+5=0$的两根为$\underline{\hspace{10cm}}$.
(根用含$\mathrm{i}$的式子表示)
(根用含$\mathrm{i}$的式子表示)
答案
$x_{1}=-\frac{1}{2}+i，$$x_{2}=-\frac{1}{2}-i$
