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10. 实数$a、n、m、b$满足$a＜n＜m＜b$，这四个数在数轴上对应的点分别为$A、N、M、B$（如图所示），若$2BN^2 = 3AM · BM$，当$AB = 5$时，$MN = 1$，则$BN$的长度为______。
答案
3或$\frac{6}{5}$
11. 用配方法解方程.
(1)$2(x+1)^2 + 7(x+1) - 4 = 0$；
(2)$(\dfrac{1}{2}x - 1)^2 - (x - 2) = 15$.
(1)$2(x+1)^2 + 7(x+1) - 4 = 0$；
(2)$(\dfrac{1}{2}x - 1)^2 - (x - 2) = 15$.
答案
解：将$(x + 1)$看作一个整体，方程两边同时除以2，得$(x + 1)^{2}+\frac{7}{2}(x + 1)-2 = 0，$ 移项，得$(x + 1)^{2}+\frac{7}{2}(x + 1)=2，$ 配方，得$[(x + 1)+\frac{7}{4}]^{2}=2+(\frac{7}{4})^{2}，$
即$(x+\frac{11}{4})^{2}=\frac{81}{16}，$ $∴x+\frac{11}{4}=\pm\frac{9}{4}，$ $∴x_{1}=-\frac{1}{2}，$$x_{2}=-5.$ ; 解：将$(\frac{1}{2}x - 1)$看作一个整体，整理得$(\frac{1}{2}x - 1)^{2}-2(\frac{1}{2}x - 1)=15，$ 配方，得$[(\frac{1}{2}x - 1)-1]^{2}=15 + 1，$
即$(\frac{1}{2}x - 2)^{2}=(\pm4)^{2}，$ $∴\frac{1}{2}x - 2=\pm4，$ $∴x_{1}=12，$$x_{2}=-4.$
即$(x+\frac{11}{4})^{2}=\frac{81}{16}，$ $∴x+\frac{11}{4}=\pm\frac{9}{4}，$ $∴x_{1}=-\frac{1}{2}，$$x_{2}=-5.$ ; 解：将$(\frac{1}{2}x - 1)$看作一个整体，整理得$(\frac{1}{2}x - 1)^{2}-2(\frac{1}{2}x - 1)=15，$ 配方，得$[(\frac{1}{2}x - 1)-1]^{2}=15 + 1，$
即$(\frac{1}{2}x - 2)^{2}=(\pm4)^{2}，$ $∴\frac{1}{2}x - 2=\pm4，$ $∴x_{1}=12，$$x_{2}=-4.$
12. 已知 $ x = m $ 是一元二次方程 $ x^2 + 2x + n - 3 = 0 $ 的一个根,试求 $ m + n $ 的最大值.
答案
解：∵$x = m $是一元二次方程$x^2+2x + n - 3 = 0$的一个根， ∴$\mathrm {m^2}+2m + n - 3 = 0，$ ∴$n=-\mathrm {m^2}-2m + 3，$ ∴$m + n=m -\mathrm {m^2}-2m + 3$$=-(m+\frac {1}{2})^2+\frac {13}{4}\leq \frac {13}{4}，$ ∴$m + n$的最大值为$\frac {13}{4}.$
13. 改编题 换元法是数学中的一种解题方法.若我们把其中某些部分看成一个整体,用一个新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化.已知实数$a(a≠0)$满足$3a^{2}+\dfrac{3}{a^{2}}-12a-\dfrac{12}{a}+19=1$,则$a$的值为________.
答案
1
14. 选取二次三项式 $ax^2 + bx + c\ (a ≠ 0)$ 中的两项，配成完全平方式的过程叫配方.例如：
①选取二次项和一次项配方：$x^2 - 4x + 2 = (x - 2)^2 - 2$；
②选取二次项和常数项配方：$x^2 - 4x + 2 = (x - \sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2} - 4)x$ 或 $x^2 - 4x + 2 = (x + \sqrt{2})^2 - (4 + 2\sqrt{2})x$；
③选取一次项和常数项配方：$x^2 - 4x + 2 = (\sqrt{2}x - \sqrt{2})^2 - x^2$.
根据上述材料，解决下面问题.
(1)写出 $x^2 - 8x + 4$ 的两种不同形式的配方；
(2)已知 $9x^2 + y^2 + 3xy - 3y + 3 = 0$，求 $x^y$ 的值；
(3)若 $W = 5x^2 - 4xy + y^2 - 2y + 8x + 3\ (x、y$ 为实数$)$，求 $W$ 的最小值.
①选取二次项和一次项配方：$x^2 - 4x + 2 = (x - 2)^2 - 2$；
②选取二次项和常数项配方：$x^2 - 4x + 2 = (x - \sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2} - 4)x$ 或 $x^2 - 4x + 2 = (x + \sqrt{2})^2 - (4 + 2\sqrt{2})x$；
③选取一次项和常数项配方：$x^2 - 4x + 2 = (\sqrt{2}x - \sqrt{2})^2 - x^2$.
根据上述材料，解决下面问题.
(1)写出 $x^2 - 8x + 4$ 的两种不同形式的配方；
(2)已知 $9x^2 + y^2 + 3xy - 3y + 3 = 0$，求 $x^y$ 的值；
(3)若 $W = 5x^2 - 4xy + y^2 - 2y + 8x + 3\ (x、y$ 为实数$)$，求 $W$ 的最小值.
答案
解$： (1)$答案不唯一，如：$x^2-8x + 4=x^2-8x + 16-16 + 4=(x - 4)^2-12；$$x^2-8x + 4=(x - 2)^2+4x-8x=(x - 2)^2-4x.$$ (2)$∵$9x^2+y^2+3xy-3y + 3 = 0，$整理得$(3x+\frac {1}{2}y)^2+\frac {3}{4}(y - 2)^2=0，$ ∴$3x+\frac {1}{2}y = 0，$$y - 2 = 0，$ ∴$x=-\frac {1}{3}，$$y = 2，$ ∴$x^{y}=(-\frac {1}{3})^2=\frac {1}{9}.$$ (3)W = 5x^2-4xy + y^2-2y + 8x + 3$$ =4x^2-4xy + y^2+4x-2y + 1+x^2+4x + 4-2$$ =(2x - y)^2+2(2x - y)+1+(x + 2)^2-2$$ =(2x - y + 1)^2+(x + 2)^2-2，$ ∵$x、$$y$为实数，∴$(2x - y + 1)^2\geq 0，$$(x + 2)^2\geq 0，$∴$W $的最小值为$-2.$
