7. 如图，$\mathrm{Rt}△ ABC ∽ \mathrm{Rt}△ EFG$，$EF=2AB$，$BD$ 和 $FH$ 分别是它们的中线，$△ BDC$ 与 $△ FHG$ 是否相似？如果相似，请证明并确定其周长比和面积比。

解：​$\triangle BDC$​与​$\triangle FHG $​相似，证明如下：∵​$Rt\triangle ABC\sim Rt\triangle EFG，$​​$EF = 2\ \mathrm {A}B$​∴​$\frac {AB}{EF}=\frac {AC}{EG}=\frac {BC}{FG}=\frac 12，$​​$∠C=∠G$​∵​$BD、$​​$FH$​是​$Rt\triangle ABC、$​​$Rt\triangle EFG $​的中线∴​$AC = 2DC，$​​$EG = 2GH$​∴​$\frac {AC}{EG}=\frac {DC}{GH}，$​​$\frac {BC}{FG}=\frac {DC}{GH}$​∴​$\triangle BDC\sim \triangle FHG，$​其周长比为​$\frac 12，$​面积比为​$\frac 14$​

8. 如图,在四边形ABCD中,E是边AB上的一点,EC//AD,DE//BC,若$S_{△ BEC}=1,S_{△ ADE}=3$,则$S_{△ CDE}$的值为（ ）
A. $\sqrt{2}$
B. $\dfrac{3}{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. 2

C

9. 如图,在$△ ABC$中,$D$是边$AB$上的点,已知$∠ ADC=∠ ACB$.
(1)求证:$△ ADC∽△ ACB$.
(2)若$AD=2$,$AC=3$,求$\dfrac{S_{△ ACD}}{S_{△ BCD}}$的值.

​$ (1)$​证明：∵​$∠ADC=∠ACB，$​​$∠A = ∠A$​∴​$\triangle ADC\sim \triangle ACB$​​$ (2)$​解：∵​$\triangle ADC\sim \triangle ACB$​∴​$\frac {AD}{AC}=\frac {AC}{AB}，$​即​$\frac 23=\frac 3{AB}，$​解得​$AB=\frac 92$​∴​$BD = AB - AD=\frac 92-2=\frac 52$​∴​$\frac {S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle BCD}}=\frac {AD}{BD}=\frac 2{\frac 52}=\frac 45$​

10. 如图,在$△ ABC$和$△ DEC$中,$∠ A=∠ D,∠ BCE=∠ ACD$.
(1)求证:$△ ABC∽△ DEC$.
(2)若$S_{△ ABC}:S_{△ DEC}=9:16$,$△ ABC$的周长为$9$,求$△ DEC$的周长.

​$ (1)$​证明：∵​$∠BCE=∠ACD$​∴​$∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，$​即​$∠BCA=∠ECD$​ 又∵​$∠A=∠D，$​∴​$\triangle ABC\sim \triangle DEC$​​$ (2)$​∵​$\triangle ABC\sim \triangle DEC，$​​$S_{\triangle ABC}∶S_{\triangle DEC}=9∶16$​∴​$\triangle ABC$​的周长：​$\triangle DEC$​的周长​$ = 3∶4$​∵​$\triangle ABC$​的周长为​$9$​设​$\triangle DEC$​的周长为​$x$​则​$\frac 9{x}=\frac 34，$​解得​$x = 12，$​即​$\triangle DEC$​的周长为​$12$​

11. 如图,在$□ ABCD$中,$BC=8$,$E、F$是对角线$BD$上的两点,且$BE=EF=FD$,$AE$的延长线交$BC$于点$G$,$GF$的延长线交$AD$于点$H$.
(1)求$HD$的长.
(2)设$△ BEG$的面积为$a$,求四边形$AEFH$的面积.(用含$a$的代数式表示)

解：​$(1)$​∵四边形​$ABCD$​是平行四边形∴​$AD = BC = 8，$​​$AD//BC$​∴​$\triangle ADE\sim \triangle G BE，$​​$\triangle DHF\sim \triangle BGF$​∴​$\frac {AD}{BG}=\frac {DE}{BE}=2，$​​$\frac {DH}{BG}=\frac {DF}{BF}=\frac 12$​∴​$BG=\frac 12\ \mathrm {A}D = 4，$​​$DH=\frac 12BG = 2$​​$ (2)$​∵​$\triangle BGE$​的面积为​$a，$​​$BE = EF = F D，$​∴​$S_{\triangle BFG}=2a$​∵​$\triangle ADE\sim \triangle G BE，$​​$\triangle DHF\sim \triangle BGF$​∴​$\frac {S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle BEG}} = 4，$​​$\frac {S_{\triangle DHF}}{S_{\triangle BGF}}=\frac 14$​∴​$S_{\triangle ADE}=4a，$​​$S_{\triangle DHF}=\frac 12a，$​则四边形​$AEFH$​的面积为​$4a-\frac 12a=\frac 72a$​