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2. 如图5,已知四边形$ABCD$是平行四边形,在$AB$的延长线上截取$BE=AB$,$BF=BD$,连接$CE$,$DF$,相交于点$M$. 求证:$CD=CM$.
答案
2. 提示:由$BE\equalparallel DC$,可证四边形$BDCE$是平行四边形,由$DC// BF$,可得$∠ CDF$=$∠ F$.由$BD// CE$,得$∠ BDM$=$∠ DMC$. 由$BD$=$BF$,得$∠ BDF$=$∠ F$. 则$∠ CDF$=$∠ CMD$,得$CD$=$CM$
3. 综合与实践:
【问题情境】在数学综合实践课上,同学们以特殊三角形为背景,探究动点运动的几何问题. 如图6-1,在$△ ABC$中,点$M$,$N$分别为$AB$,$AC$上的动点(不含端点),且$AN=BM$.
【初步尝试】(1)如图6-2,当$△ ABC$为等边三角形时,小颜发现:将$MA$绕点$M$逆时针旋转$120°$得到$MD$,连结$BD$,则$MN=DB$,请思考并证明;
【类比探究】(2)小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究:如图6-3,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=90°$,$AE⊥ MN$于点$E$,交$BC$于点$F$,将$MA$绕点$M$逆时针旋转$90°$得到$MD$,连结$DA$,$DB$. 试猜想四边形$AFBD$的形状,并说明理由.
【问题情境】在数学综合实践课上,同学们以特殊三角形为背景,探究动点运动的几何问题. 如图6-1,在$△ ABC$中,点$M$,$N$分别为$AB$,$AC$上的动点(不含端点),且$AN=BM$.
【初步尝试】(1)如图6-2,当$△ ABC$为等边三角形时,小颜发现:将$MA$绕点$M$逆时针旋转$120°$得到$MD$,连结$BD$,则$MN=DB$,请思考并证明;
【类比探究】(2)小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究:如图6-3,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=90°$,$AE⊥ MN$于点$E$,交$BC$于点$F$,将$MA$绕点$M$逆时针旋转$90°$得到$MD$,连结$DA$,$DB$. 试猜想四边形$AFBD$的形状,并说明理由.
答案
3. (1)提示:证明$△ ANM≌△ MBD$即可 (2)解:四边形$AFBD$为平行四边形,理由如下:$\because AB$=$AC$,$∠ BAC$=$90°$,$\therefore ∠ ABC$=$45°$,$\because$ $MA$绕点$M$逆时针旋转$90°$得到$MD$,$\therefore MA$=$MD$,$∠ MAD$=$∠ MDA$=$45°$,$∠ DMA$=$∠ DMB$=$90°$,$\therefore ∠ MAD$=$∠ ABF$=$45°$,则$AD// BF$. 在$△ ANM$和$△ MBD$中,
$\begin{cases} MA = DM \\ ∠ MAN = ∠ DMB, \\ AN = MB \end{cases}$$\therefore △ ANM≌△ MBD(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ AMN = ∠ MDB$,$\because AE ⊥ MN$,$\therefore ∠ AMN + ∠ MAE = 90°$,$\because ∠ MDB$$+$$∠ MBD$$=$$90°$,$\therefore ∠ DBM$$=$$∠ MAF$,$\therefore DB// AF$,$\therefore$ 四边形$AFBD$为平行四边形
$\begin{cases} MA = DM \\ ∠ MAN = ∠ DMB, \\ AN = MB \end{cases}$$\therefore △ ANM≌△ MBD(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ AMN = ∠ MDB$,$\because AE ⊥ MN$,$\therefore ∠ AMN + ∠ MAE = 90°$,$\because ∠ MDB$$+$$∠ MBD$$=$$90°$,$\therefore ∠ DBM$$=$$∠ MAF$,$\therefore DB// AF$,$\therefore$ 四边形$AFBD$为平行四边形
