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1. (2024·苏州期末)已知$\odot O$的半径为3,圆心O到直线l的距离为2,则直线l与$\odot O$的位置关系是 ()
A.相交
B.相切
C.相离
D.不能确定
A.相交
B.相切
C.相离
D.不能确定
答案
A
解析
已知圆的半径$r = 3$，圆心到直线的距离$d = 2$。因为$d = 2 ＜ r = 3$，根据直线与圆的位置关系判定：当$d ＜ r$时，直线与圆相交。
2. 在平面直角坐标系中,以点$(3,-5)$为圆心,r为半径的圆上有且仅有两点到x轴的距离为1,则圆的半径r的取值范围是 ()
A.$r＞4$
B.$0＜r＜6$
C.$4\leqslant r＜6$
D.$4＜r＜6$
A.$r＞4$
B.$0＜r＜6$
C.$4\leqslant r＜6$
D.$4＜r＜6$
答案
D
解析
设圆的方程为$(x-3)^2+(y+5)^2=r^2$。
到$x$轴距离为$1$的点在直线$y = 1$和$y=-1$上。
圆心到$y = 1$的距离为$\vert - 5 - 1\vert=6$，圆心到$y=-1$的距离为$\vert - 5+1\vert = 4$。
要使圆上有且仅有两点到$x$轴距离为$1$，则圆与直线$y=-1$相交，与直线$y = 1$相离，所以$4\lt r\lt6$。
到$x$轴距离为$1$的点在直线$y = 1$和$y=-1$上。
圆心到$y = 1$的距离为$\vert - 5 - 1\vert=6$，圆心到$y=-1$的距离为$\vert - 5+1\vert = 4$。
要使圆上有且仅有两点到$x$轴距离为$1$，则圆与直线$y=-1$相交，与直线$y = 1$相离，所以$4\lt r\lt6$。
3. (2023·衡阳)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB=90^{\circ },AC=8,BC=6$.若以点C为圆心,r为半径作圆,则当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为.
答案
4.8
解析
由题意，需使以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB所在的直线相切。根据直线与圆相切的条件，圆心到直线的距离等于半径r。
在$Rt \triangle ABC$中，$∠ACB = 90°$，$AC = 8$，$BC = 6$。
根据直角三角形的面积公式，面积$S = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 8 × 6 = 24$。
斜边AB的长度为：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$，
设点C到AB的距离为d，由直角三角形的面积公式，有：
$S = \frac{1}{2} × AB × d = 24$，
代入AB的长度，得：
$\frac{1}{2} × 10 × d = 24$，
$d = \frac{24 × 2}{10} = 4.8$，
由于d即为圆心C到直线AB的距离，且要使圆与直线AB相切，所以半径r等于d，即：
$r = 4.8$。
在$Rt \triangle ABC$中，$∠ACB = 90°$，$AC = 8$，$BC = 6$。
根据直角三角形的面积公式，面积$S = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 8 × 6 = 24$。
斜边AB的长度为：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$，
设点C到AB的距离为d，由直角三角形的面积公式，有：
$S = \frac{1}{2} × AB × d = 24$，
代入AB的长度，得：
$\frac{1}{2} × 10 × d = 24$，
$d = \frac{24 × 2}{10} = 4.8$，
由于d即为圆心C到直线AB的距离，且要使圆与直线AB相切，所以半径r等于d，即：
$r = 4.8$。
4. (易错题)如图,直线$a⊥b$,垂足为H,点P在直线b上,$PH=4cm$,O为直线b上一动点.若以1 cm为半径的$\odot O$与直线a相切,则OP的长为cm.
答案
3或5
解析
因为直线$a \perp b$，垂足为$H$，$\odot O$与直线$a$相切且半径为$1cm$，所以圆心$O$到直线$a$的距离等于半径$1cm$。又因为点$O$在直线$b$上，所以$OH = 1cm$。
点$P$在直线$b$上，$PH = 4cm$，分两种情况：
1. 点$O$在点$H$左侧时，$OP = PH - OH = 4 - 1 = 3cm$；
2. 点$O$在点$H$右侧时，$OP = PH + OH = 4 + 1 = 5cm$。
综上，$OP$的长为$3$或$5cm$。
点$P$在直线$b$上，$PH = 4cm$，分两种情况：
1. 点$O$在点$H$左侧时，$OP = PH - OH = 4 - 1 = 3cm$；
2. 点$O$在点$H$右侧时，$OP = PH + OH = 4 + 1 = 5cm$。
综上，$OP$的长为$3$或$5cm$。
5. 如图,AB是半径为6 cm的$\odot O$的弦,$AB=6cm$.以点O为圆心、3 cm为半径的圆与AB所在的直线有怎样的位置关系? 请说明理由.
答案
过$O$作$OC\perp AB$于$C$。
因为$OA = OB = 6cm$，$AB = 6cm$，
所以$\triangle OAB$是等边三角形。
根据等边三角形性质，$OC = OA×\sin60^{\circ}=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}cm$。
因为$3\sqrt{3}\gt 3$，
所以以点$O$为圆心、$3cm$为半径的圆与$AB$所在的直线相离。
因为$OA = OB = 6cm$，$AB = 6cm$，
所以$\triangle OAB$是等边三角形。
根据等边三角形性质，$OC = OA×\sin60^{\circ}=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}cm$。
因为$3\sqrt{3}\gt 3$，
所以以点$O$为圆心、$3cm$为半径的圆与$AB$所在的直线相离。
6. 若直线$y=-x+b$与以坐标原点O为圆心、2为半径的$\odot O$相交,则b的取值范围是 ()
A.$0\leqslant b＜2\sqrt{2}$
B.$-2\sqrt{2}\leqslant b\leqslant 2\sqrt{2}$
C.$-2\sqrt{3}＜b＜2\sqrt{3}$
D.$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$
A.$0\leqslant b＜2\sqrt{2}$
B.$-2\sqrt{2}\leqslant b\leqslant 2\sqrt{2}$
C.$-2\sqrt{3}＜b＜2\sqrt{3}$
D.$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$
答案
D
解析
直线与圆相交条件是圆心到直线的距离小于半径，圆心$O(0,0)$，半径为2，直线方程为$x+y-b=0$，
则圆心到直线的距离为：$\frac{|0+0-b|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|b|}{\sqrt{2}}$，
由相交条件得：$\frac{|b|}{\sqrt{2}}\lt 2$，
即$|b|\lt 2\sqrt{2}$，
解得：$-2\sqrt{2}\lt b\lt 2\sqrt{2}$。
则圆心到直线的距离为：$\frac{|0+0-b|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|b|}{\sqrt{2}}$，
由相交条件得：$\frac{|b|}{\sqrt{2}}\lt 2$，
即$|b|\lt 2\sqrt{2}$，
解得：$-2\sqrt{2}\lt b\lt 2\sqrt{2}$。
7. 已知平面内有$\odot O$和点A、B.若$\odot O$的半径为2 cm,线段$OA=3cm,OB=2cm$,则直线AB与$\odot O$的位置关系为.
答案
相交或相切
解析
因为点A到圆心O的距离OA=3cm＞⊙O半径2cm，所以点A在⊙O外；点B到圆心O的距离OB=2cm=⊙O半径，所以点B在⊙O上。直线AB经过⊙O上的点B，所以直线AB与⊙O至少有一个交点B。当直线AB与OB垂直时，圆心O到直线AB的距离等于OB=2cm，此时直线AB与⊙O相切；当直线AB与OB不垂直时，圆心O到直线AB的距离小于OB=2cm，此时直线AB与⊙O相交。综上，直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切。
