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1. 下列说法中,正确的是 (
A.弦是直径
B.长度相等的弧是等弧
C.半圆是弧
D.过圆心的线段是直径
C
)A.弦是直径
B.长度相等的弧是等弧
C.半圆是弧
D.过圆心的线段是直径
答案
1. C
2. 如图,点A、B、C在$\odot O$上,$AC// OB,∠BAO=25^{\circ }$,则$∠BOC$的度数为 (
A.$25^{\circ }$
B.$50^{\circ }$
C.$60^{\circ }$
D.$80^{\circ }$
B
)A.$25^{\circ }$
B.$50^{\circ }$
C.$60^{\circ }$
D.$80^{\circ }$
答案
2. B
解析
证明：
∵OA=OB，∠BAO=25°，
∴∠ABO=∠BAO=25°。
∵AC//OB，
∴∠CAB=∠ABO=25°，
∴∠CAO=∠CAB+∠BAO=25°+25°=50°。
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO=50°。
∵AC//OB，
∴∠BOC=∠ACO=50°。
答案：B
∵OA=OB，∠BAO=25°，
∴∠ABO=∠BAO=25°。
∵AC//OB，
∴∠CAB=∠ABO=25°，
∴∠CAO=∠CAB+∠BAO=25°+25°=50°。
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO=50°。
∵AC//OB，
∴∠BOC=∠ACO=50°。
答案：B
3. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠C=90^{\circ },AB=12$. 若以点C为圆心,CB为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC的长为
$6 \sqrt { 3 } $
.答案
3. $6 \sqrt { 3 } $
解析
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AB=12$，$D$为$AB$中点，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AB=6$。
$\because$ 圆$C$以$CB$为半径且过点$D$，
$\therefore CB=CD=6$。
在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^{2}-CB^{2}}=\sqrt{12^{2}-6^{2}}=\sqrt{144 - 36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$。
$6\sqrt{3}$
$\therefore CD=\frac{1}{2}AB=6$。
$\because$ 圆$C$以$CB$为半径且过点$D$，
$\therefore CB=CD=6$。
在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^{2}-CB^{2}}=\sqrt{12^{2}-6^{2}}=\sqrt{144 - 36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$。
$6\sqrt{3}$
4. (2024·北京)如图,AB是$\odot O$的直径,点C、D在$\odot O$上,OD平分$∠AOC$. 求证:$OD// BC$.
答案
4. $ \because OB = OC $，$ \therefore \angle B = \angle C $。$ \because \angle AOC $是$ \triangle OBC $的外角，$ \therefore \angle AOC = \angle B + \angle C $，$ \therefore \angle AOC = 2 \angle B $。$ \because OD $平分$ \angle AOC $，$ \therefore \angle AOC = 2 \angle AOD $，$ \therefore \angle B = \angle AOD $，$ \therefore OD // BC $
解析
证明：
∵ $ OB = OC $，
∴ $ \angle B = \angle C $。
∵ $ \angle AOC $ 是 $ \triangle OBC $ 的外角，
∴ $ \angle AOC = \angle B + \angle C $，
∴ $ \angle AOC = 2\angle B $。
∵ $ OD $ 平分 $ \angle AOC $，
∴ $ \angle AOC = 2\angle AOD $，
∴ $ \angle B = \angle AOD $，
∴ $ OD // BC $。
∵ $ OB = OC $，
∴ $ \angle B = \angle C $。
∵ $ \angle AOC $ 是 $ \triangle OBC $ 的外角，
∴ $ \angle AOC = \angle B + \angle C $，
∴ $ \angle AOC = 2\angle B $。
∵ $ OD $ 平分 $ \angle AOC $，
∴ $ \angle AOC = 2\angle AOD $，
∴ $ \angle B = \angle AOD $，
∴ $ OD // BC $。
5. 如图所示为两个同心圆,圆心为O,AB是大圆的弦,点M、N在弦AB上,且MN是小圆的弦,延长OM、ON分别交大圆于点C、D.
(1) 求证:$CM=DN;$
(2) 猜想线段AM与BN之间的大小关系,并加以证明.
(1) 求证:$CM=DN;$
(2) 猜想线段AM与BN之间的大小关系,并加以证明.
答案
5. （1）由题意，得$ OM = ON $，$ OC = OD $，$ \therefore OC - OM = OD - ON $，即$ CM = DN $
（2）$ AM = BN $ 如图，连接$ OA $、$ OB $，过点$ O $作$ AB $的垂线，垂足为$ H $。$ \because \triangle OMN $与$ \triangle OAB $都是等腰三角形，$ \therefore MH = NH $，$ AH = BH $，$ \therefore AH - MH = BH - NH $，即$ AM = BN $
6. 如图,OA、OB是$\odot O$的半径,点C在$\odot O$上,$∠AOB=30^{\circ },∠OBC=40^{\circ }$,则$∠OAC$的度数为 (
A.$20^{\circ }$
B.$22^{\circ }$
C.$25^{\circ }$
D.$26^{\circ }$
C
)A.$20^{\circ }$
B.$22^{\circ }$
C.$25^{\circ }$
D.$26^{\circ }$
答案
6. C 解析：连接$ OC $。$ \because OC = OB $，$ \therefore \angle OCB = \angle OBC = 40 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle BOC = 180 ^ { \circ } - 40 ^ { \circ } × 2 = 100 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle AOC = \angle BOC + \angle AOB = 100 ^ { \circ } + 30 ^ { \circ } = 130 ^ { \circ } $。$ \because OC = OA $，$ \therefore \angle OAC = \angle OCA = \frac { 1 } { 2 } ( 180 ^ { \circ } - \angle AOC ) = 25 ^ { \circ } $。
