7. 如图，在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ }$，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的$\odot O$分别交AC、BC于点M、N，过点N作$NE⊥AB$，垂足为E，则NE与$\odot O$的位置关系是()

A.相交
B.相切
C.相离
D.相切或相交

7. B

证明：连接ON。
在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，CD是斜边AB上的中线，
$\therefore CD=AD=BD=\frac{1}{2}AB$，$\therefore ∠B=∠BCD$。
$\because OC=ON$，$\therefore ∠BCD=∠ONC$，$\therefore ∠B=∠ONC$，$\therefore ON// AB$。
$\because NE⊥AB$，$\therefore NE⊥ON$。
$\because ON$是$\odot O$的半径，$\therefore NE$与$\odot O$相切。
答案：B

8. (新考法·条件开放题)如图，CD是$\odot O$的直径，BD是$\odot O$的弦，延长DC到点A，使$∠ABD=120^{\circ }$，连接BC.有下列条件：①$AC=BC$；②$AC=OC$；③$OC=BC$；④$AB=BD$.从中添加一个条件，能使AB是$\odot O$的切线的为(填序号).

8. ①②③④

证明：连接OB。要使AB是$\odot O$的切线，则需$\angle ABO=90°$。
①若$AC=BC$，设$\angle A=x$，则$\angle ABC=x$，$\angle BCD=2x$。
$\because OB=OC$，$\therefore \angle OBC=\angle BCD=2x$。
$\because \angle ABD=120°$，$\therefore x+2x=120°$，$x=40°$。
$\angle OBA=\angle ABD-\angle OBD=120°-(180°-4x)=120°-(180°-160°)=100°\neq90°$，此步有误，重新推导：
$\angle OBD=\angle OBC=2x$，$\angle ABO=\angle ABC+\angle OBC=x+2x=3x$。
$\angle A+\angle ABD+\angle ADB=180°$，$\angle ADB=\angle ACB=2x$，$x+120°+2x=180°$，$3x=60°$，$x=20°$，$\angle ABO=3x=60°\neq90°$，原解析错误，实际①不能使AB为切线，本题答案应为1。
1

9. (2024·武汉改编)如图，$△ABC$为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E、F两点.
(1) 求证：AB与半圆O相切；
(2) 若$CD=4,CF=2$，求EF的长.

9. （1）如图，连接OD、OA，过点O作OH⊥AB于点H。
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC。
∵AC与半圆O相切于点D，
∴OD⊥AC。
∵OH⊥AB，
∴OH=OD，
∴AB与半圆O相切 （2）设半圆O的半径为r，则OD=OF=r。由（1）知，OD⊥AC，
∴在Rt△OCD中，由勾股定理，得OD²+CD²=OC²，即r²+4²=(r+2)²，解得r=3。
∴EF=2r=6

10. 如图，四边形ABCD是正方形，点A、B在$\odot O$上，边DA的延长线交$\odot O$于点E，对角线DB的延长线交$\odot O$于点F，连接EF并延长至点G，使$∠FBG=∠FAB$.
(1) 求证：BG与$\odot O$相切；
(2) 若$\odot O$的半径为1，求AF的长.

10. （1）如图，连接BE。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ADC=90°。
∵∠BAD+∠BAE=180°，
∴∠BAE=90°，
∴BE是⊙O的直径，∠FAB+∠EAF=90°。
∵∠FBG=∠FAB，
∴∠FBG+∠EAF=90°。
∵⌢EF=⌢EF，
∴∠EAF=∠EBF，
∴∠FBG+∠EBF=90°，
∴∠OBG=90°，即OB⊥BG。又
∵OB是⊙O的半径，
∴BG与⊙O相切 （2）如图，连接OA、OF。
∵DB是正方形ABCD的对角线，
∴∠FDE=1/2∠ADC=45°。
∵BE是⊙O的直径，
∴∠EFB=90°。
∵△EFD的内角和为180°，
∴∠FED=45°。
∵⌢AF=⌢AF，
∴∠AOF=2∠FED=90°。
∵OA=OF=1，
∴AF=√(OA²+OF²)=√2