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1. 负整数指数幂：一般地，当$n$是正整数时，$a^{-n}=$ ______ $(a≠0)$。这就是说，$a^{-n}$ $(a≠0)$是$a^n$的 ______。
答案
1.$\dfrac{1}{a^n}$ 倒数
解析
【分析】
解题时可结合已学的同底数幂除法法则推导负整数指数幂的定义：我们知道同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$），当$m＜n$时，比如$a^3÷ a^5$，按除法运算结果为$\frac{1}{a^2}$，按指数运算结果为$a^{-2}$，因此可以推出负整数指数幂的运算规则，同时要注意$a≠0$的前提，否则分母为0无意义，再结合倒数的定义就能得出第二空的结果。
【解析】
根据负整数指数幂的规定：当$n$是正整数，且$a≠0$时，$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$；
因为$a^n × a^{-n}=a^n × \frac{1}{a^n}=1$，乘积为1的两个数互为倒数，因此$a^{-n}$（$a≠0$）是$a^n$的倒数。
【答案】
$\dfrac{1}{a^n}$；倒数
【知识点】
1. 负整数指数幂的定义
2. 倒数的概念
【点评】
本题是对整数指数幂中基础概念的直接考查，属于识记类题型，解题关键是熟记负整数指数幂的运算规则，注意不要遗漏$a≠0$的限制条件。
【难度系数】
0.9
解题时可结合已学的同底数幂除法法则推导负整数指数幂的定义：我们知道同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$），当$m＜n$时，比如$a^3÷ a^5$，按除法运算结果为$\frac{1}{a^2}$，按指数运算结果为$a^{-2}$，因此可以推出负整数指数幂的运算规则，同时要注意$a≠0$的前提，否则分母为0无意义，再结合倒数的定义就能得出第二空的结果。
【解析】
根据负整数指数幂的规定：当$n$是正整数，且$a≠0$时，$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$；
因为$a^n × a^{-n}=a^n × \frac{1}{a^n}=1$，乘积为1的两个数互为倒数，因此$a^{-n}$（$a≠0$）是$a^n$的倒数。
【答案】
$\dfrac{1}{a^n}$；倒数
【知识点】
1. 负整数指数幂的定义
2. 倒数的概念
【点评】
本题是对整数指数幂中基础概念的直接考查，属于识记类题型，解题关键是熟记负整数指数幂的运算规则，注意不要遗漏$a≠0$的限制条件。
【难度系数】
0.9
2. 整数指数幂的运算性质：(1)$a^m · a^n =$
$a^{m+n}$
（$m$，$n$是整数）；(2)$(a^m)^n =$ $a^{mn}$
（$m$，$n$是整数）；(3)$(ab)^n =$ $a^nb^n$
（$n$是整数）。答案
(1)$a^{m+n}$ (2)$a^{mn}$ (3)$a^nb^n$
解析
【分析】
本题考查整数指数幂的基本运算性质，解题时可回忆正整数指数幂的运算性质，整数指数幂的运算性质是正整数指数幂运算性质的推广，二者规则一致：
1. 对于同底数幂相乘的运算，规则为底数不变，指数相加，对应第(1)问；
2. 对于幂的乘方运算，规则为底数不变，指数相乘，对应第(2)问；
3. 对于积的乘方运算，规则为将积的每个因式分别乘方，再将所得幂相乘，对应第(3)问。
根据以上规则即可直接写出结果。
【解析】
(1) 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，且该性质对整数指数同样适用，因此$a^m · a^n = a^{m+n}$；
(2) 幂的乘方，底数不变，指数相乘，且该性质对整数指数同样适用，因此$(a^m)^n = a^{mn}$；
(3) 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，且该性质对整数指数同样适用，因此$(ab)^n = a^n b^n$。
【答案】
(1)$a^{m+n}$ (2)$a^{mn}$ (3)$a^n b^n$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；积的乘方
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对整数指数幂运算性质的记忆，熟练掌握这些性质是进行复杂整数指数幂运算的前提。
【难度系数】
0.9
本题考查整数指数幂的基本运算性质，解题时可回忆正整数指数幂的运算性质，整数指数幂的运算性质是正整数指数幂运算性质的推广，二者规则一致：
1. 对于同底数幂相乘的运算，规则为底数不变，指数相加，对应第(1)问；
2. 对于幂的乘方运算，规则为底数不变，指数相乘，对应第(2)问；
3. 对于积的乘方运算，规则为将积的每个因式分别乘方，再将所得幂相乘，对应第(3)问。
根据以上规则即可直接写出结果。
【解析】
(1) 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，且该性质对整数指数同样适用，因此$a^m · a^n = a^{m+n}$；
(2) 幂的乘方，底数不变，指数相乘，且该性质对整数指数同样适用，因此$(a^m)^n = a^{mn}$；
(3) 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，且该性质对整数指数同样适用，因此$(ab)^n = a^n b^n$。
【答案】
(1)$a^{m+n}$ (2)$a^{mn}$ (3)$a^n b^n$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；积的乘方
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对整数指数幂运算性质的记忆，熟练掌握这些性质是进行复杂整数指数幂运算的前提。
【难度系数】
0.9
例1 计算：
(1)$2^{-2}=$
(2)$-2^{-2}=$
(3)$(\dfrac{n}{m})^0=$
例2 计算：
(1)$a^{-3}÷ a^{-5}=$
(2)$(a^{-1})^2=$
(3)$a^{-2}b^2· (-2a^2b^2)^{-3}=$
(1)$2^{-2}=$
$\dfrac{1}{4}$
，$(-2)^{-2}=$$\dfrac{1}{4}$
；(2)$-2^{-2}=$
$-\dfrac{1}{4}$
，$(-\dfrac{1}{2})^{-2}=$$4$
；(3)$(\dfrac{n}{m})^0=$
$1$
，$(\dfrac{n}{m})^{-3}=$$\dfrac{m^3}{n^3}$
。例2 计算：
(1)$a^{-3}÷ a^{-5}=$
$a^2$
；(2)$(a^{-1})^2=$
$\dfrac{1}{a^2}$
；(3)$a^{-2}b^2· (-2a^2b^2)^{-3}=$
$-\dfrac{1}{8a^8b^4}$
。答案
例1 (1)$\dfrac{1}{4}$ $\dfrac{1}{4}$ (2)$-\dfrac{1}{4}$ $4$ (3)$1$ $\dfrac{m^3}{n^3}$
例2 (1)$a^2$ (2)$\dfrac{1}{a^2}$ (3)$-\dfrac{1}{8a^8b^4}$
例2 (1)$a^2$ (2)$\dfrac{1}{a^2}$ (3)$-\dfrac{1}{8a^8b^4}$
解析
【分析】
解题时先回忆整数指数幂的相关运算规则：1. 负整数指数幂：$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）；2. 零指数幂：$a^0=1$（$a≠0$）；3. 同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方等运算性质对整数指数幂仍然适用。
解题时首先明确每个式子的底数，区分负号属于底数还是属于整个式子，再按照“先算乘方，再算乘除”的顺序，结合法则逐步计算即可。
【解析】
例1计算
(1) 根据负整数指数幂法则：
$2^{-2}=\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4}$；
$(-2)^{-2}=\dfrac{1}{(-2)^2}=\dfrac{1}{4}$。
(2) 注意负号不属于底数，先算幂再带符号：
$-2^{-2}=-\dfrac{1}{2^2}=-\dfrac{1}{4}$；
$(-\dfrac{1}{2})^{-2}=\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{2})^2}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}}=4$。
(3) 零指数幂要求底数不为0，本题默认$\dfrac{n}{m}$有意义（$m≠0,n≠0$）：
$(\dfrac{n}{m})^0=1$；
$(\dfrac{n}{m})^{-3}=(\dfrac{m}{n})^3=\dfrac{m^3}{n^3}$。
例2计算
(1) 同底数幂相除，底数不变，指数相减：
$a^{-3}÷ a^{-5}=a^{-3-(-5)}=a^{2}$。
(2) 幂的乘方，底数不变，指数相乘：
$(a^{-1})^2=a^{-1×2}=a^{-2}=\dfrac{1}{a^2}$。
(3) 先算积的乘方，再算同底数幂的乘法：
第一步算乘方：$(-2a^2b^2)^{-3}=(-2)^{-3}·(a^2)^{-3}·(b^2)^{-3}=-\dfrac{1}{8}a^{-6}b^{-6}$；
第二步算乘法：$a^{-2}b^2·(-\dfrac{1}{8}a^{-6}b^{-6})=-\dfrac{1}{8}a^{-2+(-6)}b^{2+(-6)}=-\dfrac{1}{8}a^{-8}b^{-4}=-\dfrac{1}{8a^8b^4}$。
【答案】
例1 (1)$\dfrac{1}{4}$；$\dfrac{1}{4}$ (2)$-\dfrac{1}{4}$；$4$ (3)$1$；$\dfrac{m^3}{n^3}$
例2 (1)$a^2$ (2)$\dfrac{1}{a^2}$ (3)$-\dfrac{1}{8a^8b^4}$
【知识点】
负整数指数幂；零指数幂；整数指数幂运算
【点评】
本题主要考查整数指数幂的运算规则，解题的易错点是混淆负号的归属、记错指数运算的符号规则，解题时要注意明确底数，牢记所有指数幂运算的前提是底数不为0，熟练掌握幂的各类运算性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆整数指数幂的相关运算规则：1. 负整数指数幂：$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）；2. 零指数幂：$a^0=1$（$a≠0$）；3. 同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方等运算性质对整数指数幂仍然适用。
解题时首先明确每个式子的底数，区分负号属于底数还是属于整个式子，再按照“先算乘方，再算乘除”的顺序，结合法则逐步计算即可。
【解析】
例1计算
(1) 根据负整数指数幂法则：
$2^{-2}=\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4}$；
$(-2)^{-2}=\dfrac{1}{(-2)^2}=\dfrac{1}{4}$。
(2) 注意负号不属于底数，先算幂再带符号：
$-2^{-2}=-\dfrac{1}{2^2}=-\dfrac{1}{4}$；
$(-\dfrac{1}{2})^{-2}=\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{2})^2}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}}=4$。
(3) 零指数幂要求底数不为0，本题默认$\dfrac{n}{m}$有意义（$m≠0,n≠0$）：
$(\dfrac{n}{m})^0=1$；
$(\dfrac{n}{m})^{-3}=(\dfrac{m}{n})^3=\dfrac{m^3}{n^3}$。
例2计算
(1) 同底数幂相除，底数不变，指数相减：
$a^{-3}÷ a^{-5}=a^{-3-(-5)}=a^{2}$。
(2) 幂的乘方，底数不变，指数相乘：
$(a^{-1})^2=a^{-1×2}=a^{-2}=\dfrac{1}{a^2}$。
(3) 先算积的乘方，再算同底数幂的乘法：
第一步算乘方：$(-2a^2b^2)^{-3}=(-2)^{-3}·(a^2)^{-3}·(b^2)^{-3}=-\dfrac{1}{8}a^{-6}b^{-6}$；
第二步算乘法：$a^{-2}b^2·(-\dfrac{1}{8}a^{-6}b^{-6})=-\dfrac{1}{8}a^{-2+(-6)}b^{2+(-6)}=-\dfrac{1}{8}a^{-8}b^{-4}=-\dfrac{1}{8a^8b^4}$。
【答案】
例1 (1)$\dfrac{1}{4}$；$\dfrac{1}{4}$ (2)$-\dfrac{1}{4}$；$4$ (3)$1$；$\dfrac{m^3}{n^3}$
例2 (1)$a^2$ (2)$\dfrac{1}{a^2}$ (3)$-\dfrac{1}{8a^8b^4}$
【知识点】
负整数指数幂；零指数幂；整数指数幂运算
【点评】
本题主要考查整数指数幂的运算规则，解题的易错点是混淆负号的归属、记错指数运算的符号规则，解题时要注意明确底数，牢记所有指数幂运算的前提是底数不为0，熟练掌握幂的各类运算性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
3. 一般地，小于1的正数可以用科学记数法表示为
$a×10^{-n}$
的形式，其中$1≤ a＜10$，n是正整数.这种形式更便于比较数的大小和运算.答案
$a×10^{-n}$
解析
【分析】
要解决这道题，需回忆科学记数法表示小于1的正数的规则：首先确定a，a要满足题干给出的$1≤a＜10$，也就是把原数的小数点向右移动，直到第一个非零数字的后方，得到的数就是a；再确定10的指数，小数点向右移动了多少位，10的指数就是负的多少，即指数为$-n$，其中n是正整数，结合这两个要点就能推导出通用表示形式。
【解析】
我们可以结合实例推导通用形式：比如表示小于1的正数0.0012，先把小数点向右移动3位得到1.2，满足$1≤1.2＜10$，小数点共移动了3位，所以10的指数为-3，即$0.0012=1.2×10^{-3}$。推广到所有小于1的正数，都可以表示为$a×10^{-n}$的形式，其中$1≤a＜10$，n是正整数，n的取值等于原数左起第一个非零数字前所有0的个数（包含小数点前的0）。
【答案】
$a×10^{-n}$
【知识点】
1. 科学记数法 2. 负整数指数幂
【点评】
本题考查科学记数法表示较小数的基本概念，属于基础题，牢记科学记数法的相关规则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，需回忆科学记数法表示小于1的正数的规则：首先确定a，a要满足题干给出的$1≤a＜10$，也就是把原数的小数点向右移动，直到第一个非零数字的后方，得到的数就是a；再确定10的指数，小数点向右移动了多少位，10的指数就是负的多少，即指数为$-n$，其中n是正整数，结合这两个要点就能推导出通用表示形式。
【解析】
我们可以结合实例推导通用形式：比如表示小于1的正数0.0012，先把小数点向右移动3位得到1.2，满足$1≤1.2＜10$，小数点共移动了3位，所以10的指数为-3，即$0.0012=1.2×10^{-3}$。推广到所有小于1的正数，都可以表示为$a×10^{-n}$的形式，其中$1≤a＜10$，n是正整数，n的取值等于原数左起第一个非零数字前所有0的个数（包含小数点前的0）。
【答案】
$a×10^{-n}$
【知识点】
1. 科学记数法 2. 负整数指数幂
【点评】
本题考查科学记数法表示较小数的基本概念，属于基础题，牢记科学记数法的相关规则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
例3 用科学记数法表示下列各数：
(1)$0.000\ 16=$
(2)$-0.000\ 030\ 9=$
(2)$(6× 10^{-2})^{3}÷ (2× 10^{-3})^{3}.$
(1)$0.000\ 16=$
$1.6×10^{-4}$
；(2)$-0.000\ 030\ 9=$
$-3.09×10^{-5}$
.(2)$(6× 10^{-2})^{3}÷ (2× 10^{-3})^{3}.$
答案
(1)$1.6×10^{-4}$ (2)$-3.09×10^{-5}$
解析
【分析】
要将绝对值小于1的数用科学记数法表示，首先明确其表示形式为$a × 10^{-n}$，其中需满足两个条件：一是$1≤|a|＜10$，二是$n$的值为原数左边第一个非零数字前所有0的个数（包含小数点前的0）。解题时先确定$a$的取值，再数出第一个非零数字前的0的个数得到$n$，负数需保留负号即可。
【解析】
(1) 对于$0.00016$，左边第一个非零数字是1，它前面共有4个0，取$a=1.6$（满足$1≤1.6＜10$），$n=4$，因此$0.00016=1.6×10^{-4}$。
(2) 对于$-0.0000309$，先处理数字部分：左边第一个非零数字是3，它前面共有5个0，取$a=3.09$，$n=5$，再保留原数的负号，因此$-0.0000309=-3.09×10^{-5}$。
【答案】
(1)$1.6×10^{-4}$；(2)$-3.09×10^{-5}$
【知识点】
1. 科学记数法表示较小数；2. 负整数指数幂
【点评】
本题属于基础题，主要考查绝对值小于1的数的科学记数法表示，解题的关键是正确确定$a$的取值和$n$的数值，注意不要遗漏原数的负号。
【难度系数】
0.9
要将绝对值小于1的数用科学记数法表示，首先明确其表示形式为$a × 10^{-n}$，其中需满足两个条件：一是$1≤|a|＜10$，二是$n$的值为原数左边第一个非零数字前所有0的个数（包含小数点前的0）。解题时先确定$a$的取值，再数出第一个非零数字前的0的个数得到$n$，负数需保留负号即可。
【解析】
(1) 对于$0.00016$，左边第一个非零数字是1，它前面共有4个0，取$a=1.6$（满足$1≤1.6＜10$），$n=4$，因此$0.00016=1.6×10^{-4}$。
(2) 对于$-0.0000309$，先处理数字部分：左边第一个非零数字是3，它前面共有5个0，取$a=3.09$，$n=5$，再保留原数的负号，因此$-0.0000309=-3.09×10^{-5}$。
【答案】
(1)$1.6×10^{-4}$；(2)$-3.09×10^{-5}$
【知识点】
1. 科学记数法表示较小数；2. 负整数指数幂
【点评】
本题属于基础题，主要考查绝对值小于1的数的科学记数法表示，解题的关键是正确确定$a$的取值和$n$的数值，注意不要遗漏原数的负号。
【难度系数】
0.9
例4 计算：(1)$(4× 10^{-4})× (1.2× 10^{-8})$；
答案
解：(1)原式$=(4×1.2)×(10^{-4}×10^{-8})=4.8×10^{-12}$.
(2)原式$=(6×10^{-2})^{3}×(2×10^{-3})^{-3}=(6^3×10^{-6})×(2^{-3}×10^9)=(6^3×2^{-3})×(10^{-6}×10^9)=27×10^3=2.7×10^4$.
(2)原式$=(6×10^{-2})^{3}×(2×10^{-3})^{-3}=(6^3×10^{-6})×(2^{-3}×10^9)=(6^3×2^{-3})×(10^{-6}×10^9)=27×10^3=2.7×10^4$.
解析
【分析】
这类包含科学记数法的整数指数幂运算，可利用乘法交换律和结合律拆分计算：首先把算式中的系数部分和同底数幂部分分开分组，①先计算系数的乘积；②再按照整数指数幂的运算法则计算幂的部分（同底数幂相乘底数不变指数相加，幂的乘方底数不变指数相乘，负指数幂按规则转换即可），最后将两部分结果合并，调整为符合1≤a＜10的科学记数法标准形式即可。
【解析】
(1) 利用乘法运算律分组计算：
原式$=(4×1.2)×(10^{-4}×10^{-8})$
计算系数乘积：$4×1.2=4.8$
计算同底数幂乘法：$10^{-4}×10^{-8}=10^{-4+(-8)}=10^{-12}$
合并得结果：$4.8×10^{-12}$
(2) 先计算乘方项，再分组运算：
原式$=(6^{3}×10^{-2×3})×(2^{-3}×10^{-3×(-3)})$
计算乘方得：$(216×10^{-6})×(\frac{1}{8}×10^{9})$
分组计算系数和幂：
$=(216×\frac{1}{8})×(10^{-6}×10^{9})$
$=27×10^{3}$
调整为标准科学记数法：$27×10^{3}=2.7×10×10^{3}=2.7×10^{4}$
【答案】
(1) $4.8×10^{-12}$；(2) $2.7×10^{4}$
【知识点】
整数指数幂运算；乘法运算律；科学记数法
【点评】
本题重点考察整数指数幂的运算规则与科学记数法的书写规范，拆分系数和幂分别计算可简化运算过程，要注意幂运算时指数的符号变化，最终结果需调整为科学记数法的标准形式，避免出现系数大于等于10的不规范写法。
【难度系数】
0.85
这类包含科学记数法的整数指数幂运算，可利用乘法交换律和结合律拆分计算：首先把算式中的系数部分和同底数幂部分分开分组，①先计算系数的乘积；②再按照整数指数幂的运算法则计算幂的部分（同底数幂相乘底数不变指数相加，幂的乘方底数不变指数相乘，负指数幂按规则转换即可），最后将两部分结果合并，调整为符合1≤a＜10的科学记数法标准形式即可。
【解析】
(1) 利用乘法运算律分组计算：
原式$=(4×1.2)×(10^{-4}×10^{-8})$
计算系数乘积：$4×1.2=4.8$
计算同底数幂乘法：$10^{-4}×10^{-8}=10^{-4+(-8)}=10^{-12}$
合并得结果：$4.8×10^{-12}$
(2) 先计算乘方项，再分组运算：
原式$=(6^{3}×10^{-2×3})×(2^{-3}×10^{-3×(-3)})$
计算乘方得：$(216×10^{-6})×(\frac{1}{8}×10^{9})$
分组计算系数和幂：
$=(216×\frac{1}{8})×(10^{-6}×10^{9})$
$=27×10^{3}$
调整为标准科学记数法：$27×10^{3}=2.7×10×10^{3}=2.7×10^{4}$
【答案】
(1) $4.8×10^{-12}$；(2) $2.7×10^{4}$
【知识点】
整数指数幂运算；乘法运算律；科学记数法
【点评】
本题重点考察整数指数幂的运算规则与科学记数法的书写规范，拆分系数和幂分别计算可简化运算过程，要注意幂运算时指数的符号变化，最终结果需调整为科学记数法的标准形式，避免出现系数大于等于10的不规范写法。
【难度系数】
0.85
1. 计算:
(1)$a · a^{-2} = \_\_\_\_\_\_;$
(2)$(a^2 b^{-3})^{-3} = \_\_\_\_\_\_;$
(3)$(-3a^{-2} b)^2 ÷ (a^{-3} b^{-2}) = \_\_\_\_\_\_.$
(1)$a · a^{-2} = \_\_\_\_\_\_;$
(2)$(a^2 b^{-3})^{-3} = \_\_\_\_\_\_;$
(3)$(-3a^{-2} b)^2 ÷ (a^{-3} b^{-2}) = \_\_\_\_\_\_.$
答案
(1)$\dfrac{1}{a}$ (2)$\dfrac{b^9}{a^6}$ (3)$\dfrac{9b^4}{a}$
解析
【分析】
解决本题需熟练运用整数指数幂的运算性质，按如下思路解题：1. 先明确核心运算规则：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；②幂的乘方，底数不变，指数相乘；③积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；④负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）。2. 每道小题遵循“先算乘方，再算乘除，最后将负指数转化为正指数形式”的顺序计算即可。
【解析】
(1) 运用同底数幂的乘法规则计算：
$a·a^{-2}=a^{1+(-2)}=a^{-1}$，结合负整数指数幂的意义，得$a^{-1}=\frac{1}{a}$。
(2) 先运用积的乘方规则，再运用幂的乘方规则计算：
$(a^2 b^{-3})^{-3}=(a^2)^{-3}·(b^{-3})^{-3}=a^{2×(-3)}·b^{(-3)×(-3)}=a^{-6}b^9$，转化为正指数形式得$\frac{b^9}{a^6}$。
(3) 先计算乘方，再计算除法：
第一步计算平方：$(-3a^{-2} b)^2=(-3)^2·(a^{-2})^2·b^2=9a^{-4}b^2$；
第二步计算除法，运用同底数幂的除法规则：
$9a^{-4}b^2 ÷ (a^{-3} b^{-2})=9·a^{-4-(-3)}·b^{2-(-2)}=9a^{-1}b^4$，转化为正指数形式得$\frac{9b^4}{a}$。
【答案】
(1)$\dfrac{1}{a}$ (2)$\dfrac{b^9}{a^6}$ (3)$\dfrac{9b^4}{a}$
【知识点】
整数指数幂运算，负整数指数幂，幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题是整数指数幂运算的常规基础题，主要考查对整数指数幂运算性质的掌握程度，计算时注意运算顺序，区分指数的加减、乘法运算规则，避免负指数转化时出现错误。
【难度系数】
0.8
解决本题需熟练运用整数指数幂的运算性质，按如下思路解题：1. 先明确核心运算规则：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；②幂的乘方，底数不变，指数相乘；③积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；④负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）。2. 每道小题遵循“先算乘方，再算乘除，最后将负指数转化为正指数形式”的顺序计算即可。
【解析】
(1) 运用同底数幂的乘法规则计算：
$a·a^{-2}=a^{1+(-2)}=a^{-1}$，结合负整数指数幂的意义，得$a^{-1}=\frac{1}{a}$。
(2) 先运用积的乘方规则，再运用幂的乘方规则计算：
$(a^2 b^{-3})^{-3}=(a^2)^{-3}·(b^{-3})^{-3}=a^{2×(-3)}·b^{(-3)×(-3)}=a^{-6}b^9$，转化为正指数形式得$\frac{b^9}{a^6}$。
(3) 先计算乘方，再计算除法：
第一步计算平方：$(-3a^{-2} b)^2=(-3)^2·(a^{-2})^2·b^2=9a^{-4}b^2$；
第二步计算除法，运用同底数幂的除法规则：
$9a^{-4}b^2 ÷ (a^{-3} b^{-2})=9·a^{-4-(-3)}·b^{2-(-2)}=9a^{-1}b^4$，转化为正指数形式得$\frac{9b^4}{a}$。
【答案】
(1)$\dfrac{1}{a}$ (2)$\dfrac{b^9}{a^6}$ (3)$\dfrac{9b^4}{a}$
【知识点】
整数指数幂运算，负整数指数幂，幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题是整数指数幂运算的常规基础题，主要考查对整数指数幂运算性质的掌握程度，计算时注意运算顺序，区分指数的加减、乘法运算规则，避免负指数转化时出现错误。
【难度系数】
0.8
2. 数据0.000 000 407用科学记数法表示为
$4.07×10^{-7}$
。答案
$4.07×10^{-7}$
解析
【分析】
要将小于1的正数用科学记数法表示，首先回忆这类数的科学记数法规则：形式为$a × 10^{-n}$，其中需满足$1≤|a|＜10$，$n$为正整数。解题时分两步走：第一步确定$a$的值，把原数的小数点向右移动，直到得到的数符合$1≤ a＜10$的要求，这个数就是$a$；第二步确定$n$的值，$n$等于小数点向右移动的位数，也等于原数左边第一个非零数字前所有0的个数（包含小数点前的0），最后组合成科学记数法的形式即可。
【解析】
科学记数法表示绝对值小于1的正数的标准形式为$a × 10^{-n}$（$1≤ a＜10$，$n$为正整数）。
1. 确定$a$：将0.000000407的小数点向右移动7位，得到4.07，满足$1≤4.07＜10$，因此$a=4.07$。
2. 确定指数：因为小数点向右一共移动了7位，且原数小于1，所以10的指数为$-7$。
综上，0.000000407用科学记数法表示为$4.07 × 10^{-7}$。
【答案】
$4.07×10^{-7}$
【知识点】
1. 科学记数法表示较小数
2. 负整数指数幂
【点评】
本题是科学记数法的基础考察题，解题核心是掌握$a$的取值要求和指数$n$的确定方法，做题时注意仔细数清小数点移动的位数，避免因数错位数导致错误。
【难度系数】
0.85
要将小于1的正数用科学记数法表示，首先回忆这类数的科学记数法规则：形式为$a × 10^{-n}$，其中需满足$1≤|a|＜10$，$n$为正整数。解题时分两步走：第一步确定$a$的值，把原数的小数点向右移动，直到得到的数符合$1≤ a＜10$的要求，这个数就是$a$；第二步确定$n$的值，$n$等于小数点向右移动的位数，也等于原数左边第一个非零数字前所有0的个数（包含小数点前的0），最后组合成科学记数法的形式即可。
【解析】
科学记数法表示绝对值小于1的正数的标准形式为$a × 10^{-n}$（$1≤ a＜10$，$n$为正整数）。
1. 确定$a$：将0.000000407的小数点向右移动7位，得到4.07，满足$1≤4.07＜10$，因此$a=4.07$。
2. 确定指数：因为小数点向右一共移动了7位，且原数小于1，所以10的指数为$-7$。
综上，0.000000407用科学记数法表示为$4.07 × 10^{-7}$。
【答案】
$4.07×10^{-7}$
【知识点】
1. 科学记数法表示较小数
2. 负整数指数幂
【点评】
本题是科学记数法的基础考察题，解题核心是掌握$a$的取值要求和指数$n$的确定方法，做题时注意仔细数清小数点移动的位数，避免因数错位数导致错误。
【难度系数】
0.85
3. 计算：$(2×10^{-3})^{2}÷(10^{-3})^{3}$
答案
解：原式$=4×10^{-6}÷10^{-9}=4×10^{3}$.
解析
【分析】
这是一道整数指数幂的混合运算题，解题思路可分为两步：第一步先计算乘方部分，分别运用积的乘方、幂的乘方法则计算两个乘方的结果，计算时注意负指数的乘法运算要带符号；第二步运用同底数幂的除法法则计算除法，做指数减法时同样要注意符号规则，最终化简得到结果。
【解析】
解：先计算乘方部分：
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$、幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$(2× 10^{-3})^2=2^2× (10^{-3})^2=4× 10^{-3× 2}=4× 10^{-6}$
$(10^{-3})^3=10^{-3× 3}=10^{-9}$
再计算除法部分：
根据同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n=a^{m-n}$，可得：
$4× 10^{-6}÷ 10^{-9}=4× 10^{-6-(-9)}=4× 10^{3}$
【答案】
$4× 10^{3}$
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，同底数幂的除法
【点评】
本题是幂运算的基础题型，重点考查整数指数幂相关运算法则的应用，解题的关键是熟练掌握各运算公式，同时注意负指数的符号处理，避免指数计算时出现符号错误。
【难度系数】
0.8
这是一道整数指数幂的混合运算题，解题思路可分为两步：第一步先计算乘方部分，分别运用积的乘方、幂的乘方法则计算两个乘方的结果，计算时注意负指数的乘法运算要带符号；第二步运用同底数幂的除法法则计算除法，做指数减法时同样要注意符号规则，最终化简得到结果。
【解析】
解：先计算乘方部分：
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$、幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$(2× 10^{-3})^2=2^2× (10^{-3})^2=4× 10^{-3× 2}=4× 10^{-6}$
$(10^{-3})^3=10^{-3× 3}=10^{-9}$
再计算除法部分：
根据同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n=a^{m-n}$，可得：
$4× 10^{-6}÷ 10^{-9}=4× 10^{-6-(-9)}=4× 10^{3}$
【答案】
$4× 10^{3}$
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，同底数幂的除法
【点评】
本题是幂运算的基础题型，重点考查整数指数幂相关运算法则的应用，解题的关键是熟练掌握各运算公式，同时注意负指数的符号处理，避免指数计算时出现符号错误。
【难度系数】
0.8
