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1. 式子 $( \frac{1}{2} - \frac{3}{10} + \frac{2}{5} ) × 4 × 25 = ( \frac{1}{2} - \frac{3}{10} + \frac{2}{5} ) × 100 = 50 - 30 + 40$ 中运用的运算律是
。
。
答案
乘法结合律；乘法分配律。
解析
【分析】
解题时先分步观察算式的两次变形特征，对应匹配运算律：①先看4和25的运算顺序调整：三个数相乘时，优先计算后两个数4和25的乘积，再与第一个括号里的式子相乘，对应乘法结合律的特征；②再看括号与100相乘的变形：把括号内的每个分数分别与100相乘后再加减，对应乘法分配律的特征，就能确定用到的运算律。
【解析】
第一步变形：$(\frac{1}{2} - \frac{3}{10} + \frac{2}{5})×4×25 = (\frac{1}{2} - \frac{3}{10} + \frac{2}{5})×(4×25) = (\frac{1}{2} - \frac{3}{10} + \frac{2}{5})×100$，是将后两个乘数4和25先结合相乘，符合乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变。
第二步变形：$(\frac{1}{2} - \frac{3}{10} + \frac{2}{5})×100 = \frac{1}{2}×100 - \frac{3}{10}×100 + \frac{2}{5}×100 = 50 - 30 + 40$，是将100分别分配给括号内的每一项相乘，再把所得的积相加减，符合乘法分配律：一个数乘几个数的和（或差），等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加（或相减）。
因此用到的运算律是乘法结合律和乘法分配律。
【答案】
乘法结合律；乘法分配律
【知识点】
乘法结合律；乘法分配律
【点评】
本题考查有理数乘法运算律的识别，解题核心是熟练掌握各运算律的形式特征，能根据算式的变形准确判断对应的运算律，注意区分乘法结合律（仅涉及乘法运算的顺序调整）和乘法分配律（涉及乘法对加减法的分配）的区别。
【难度系数】
0.85
解题时先分步观察算式的两次变形特征，对应匹配运算律：①先看4和25的运算顺序调整：三个数相乘时，优先计算后两个数4和25的乘积，再与第一个括号里的式子相乘，对应乘法结合律的特征；②再看括号与100相乘的变形：把括号内的每个分数分别与100相乘后再加减，对应乘法分配律的特征，就能确定用到的运算律。
【解析】
第一步变形：$(\frac{1}{2} - \frac{3}{10} + \frac{2}{5})×4×25 = (\frac{1}{2} - \frac{3}{10} + \frac{2}{5})×(4×25) = (\frac{1}{2} - \frac{3}{10} + \frac{2}{5})×100$，是将后两个乘数4和25先结合相乘，符合乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变。
第二步变形：$(\frac{1}{2} - \frac{3}{10} + \frac{2}{5})×100 = \frac{1}{2}×100 - \frac{3}{10}×100 + \frac{2}{5}×100 = 50 - 30 + 40$，是将100分别分配给括号内的每一项相乘，再把所得的积相加减，符合乘法分配律：一个数乘几个数的和（或差），等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加（或相减）。
因此用到的运算律是乘法结合律和乘法分配律。
【答案】
乘法结合律；乘法分配律
【知识点】
乘法结合律；乘法分配律
【点评】
本题考查有理数乘法运算律的识别，解题核心是熟练掌握各运算律的形式特征，能根据算式的变形准确判断对应的运算律，注意区分乘法结合律（仅涉及乘法运算的顺序调整）和乘法分配律（涉及乘法对加减法的分配）的区别。
【难度系数】
0.85
2.若“!”是一种数学运算符号，并且1! =1，2! =2×1=2，3! =3×2×1=6，4! =4×3×2×1，…，则$\frac{17!}{18!}=$。
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{18}}$
解析
【分析】
首先要先理解题目给出的新运算“!”的含义：n!表示从正整数n开始依次递减相乘直到1的乘积。如果直接计算17!和18!的具体数值，数字会非常大，计算繁琐且容易出错。观察可发现18!的运算包含了17!的全部乘数，因此可以将18!拆成18×17!，这样分子分母存在相同的因数17!，通过约分就能快速得出结果。
【解析】
根据题中对“!”运算的定义可得：
$n!=n×(n-1)×\dots×1$
因此$18!=18×17×16×\dots×1=18×17!$
将其代入分式可得：
$\frac{17!}{18!}=\frac{17!}{18×17!}$
分子分母同时约去不为0的$17!$，计算得：
$\frac{17!}{18!}=\frac{1}{18}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{18}}$
【知识点】
新定义运算，有理数乘除运算，分数约分
【点评】
本题是新定义类基础运算题，解题核心是准确理解新运算的规则，灵活拆分高阶阶乘实现约分简化计算，避免计算大数乘积，能有效降低计算失误率。
【难度系数】
0.8
首先要先理解题目给出的新运算“!”的含义：n!表示从正整数n开始依次递减相乘直到1的乘积。如果直接计算17!和18!的具体数值，数字会非常大，计算繁琐且容易出错。观察可发现18!的运算包含了17!的全部乘数，因此可以将18!拆成18×17!，这样分子分母存在相同的因数17!，通过约分就能快速得出结果。
【解析】
根据题中对“!”运算的定义可得：
$n!=n×(n-1)×\dots×1$
因此$18!=18×17×16×\dots×1=18×17!$
将其代入分式可得：
$\frac{17!}{18!}=\frac{17!}{18×17!}$
分子分母同时约去不为0的$17!$，计算得：
$\frac{17!}{18!}=\frac{1}{18}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{18}}$
【知识点】
新定义运算，有理数乘除运算，分数约分
【点评】
本题是新定义类基础运算题，解题核心是准确理解新运算的规则，灵活拆分高阶阶乘实现约分简化计算，避免计算大数乘积，能有效降低计算失误率。
【难度系数】
0.8
3.若$2026×23=a$,则$2026×22$的值可表示为。
答案
$\boldsymbol{a-2026}$
解析
【分析】
解题时先观察两个乘法算式的特征，发现两个算式都有相同因数2026，另一个因数22和23的关系为22=23-1，因此可将2026×22转化为2026×(23-1)，再利用乘法分配律展开，最后代入已知条件2026×23=a即可得到结果。
【解析】
解：
∵22=23-1
∴2026×22
=2026×(23-1)
根据乘法分配律展开得：
=2026×23 - 2026×1
=2026×23 - 2026
又
∵2026×23=a
∴代入得2026×22=a-2026
【答案】
$\boldsymbol{a-2026}$
【知识点】
乘法分配律，代数式代换
【点评】
本题侧重考查对乘法分配律的灵活运用，解题核心是找到两个算式中不同乘数的数量关系，通过拆分乘数结合已知条件代换即可快速求解，思路清晰直接。
【难度系数】
0.9
解题时先观察两个乘法算式的特征，发现两个算式都有相同因数2026，另一个因数22和23的关系为22=23-1，因此可将2026×22转化为2026×(23-1)，再利用乘法分配律展开，最后代入已知条件2026×23=a即可得到结果。
【解析】
解：
∵22=23-1
∴2026×22
=2026×(23-1)
根据乘法分配律展开得：
=2026×23 - 2026×1
=2026×23 - 2026
又
∵2026×23=a
∴代入得2026×22=a-2026
【答案】
$\boldsymbol{a-2026}$
【知识点】
乘法分配律，代数式代换
【点评】
本题侧重考查对乘法分配律的灵活运用，解题核心是找到两个算式中不同乘数的数量关系，通过拆分乘数结合已知条件代换即可快速求解，思路清晰直接。
【难度系数】
0.9
4.若四个不相等的正整数$a,b,c,d$满足$(6-a)(6-b)(6-c)(6-d)=4$,则$a+b+c+d=\_\_\_\_\_\_$。
答案
解：
因为$a,b,c,d$是互不相等的正整数，所以$6-a,6-b,6-c,6-d$是互不相等的整数，且它们的乘积为$4$。
将$4$分解为四个互不相等的整数的乘积，唯一符合条件的分解方式为：
$4=(-1)×(-2)×1×2$
因此这四个互不相等的整数只能是$-2,-1,1,2$，即：
$(6-a)+(6-b)+(6-c)+(6-d)=(-2)+(-1)+1+2=0$
整理得：
$24-(a+b+c+d)=0$
因此$a+b+c+d=24$。
答案：$\boldsymbol{24}$
因为$a,b,c,d$是互不相等的正整数，所以$6-a,6-b,6-c,6-d$是互不相等的整数，且它们的乘积为$4$。
将$4$分解为四个互不相等的整数的乘积，唯一符合条件的分解方式为：
$4=(-1)×(-2)×1×2$
因此这四个互不相等的整数只能是$-2,-1,1,2$，即：
$(6-a)+(6-b)+(6-c)+(6-d)=(-2)+(-1)+1+2=0$
整理得：
$24-(a+b+c+d)=0$
因此$a+b+c+d=24$。
答案：$\boldsymbol{24}$
解析
【解析】
已知$a,b,c,d$是互不相等的正整数，因此$(6-a),(6-b),(6-c),(6-d)$是四个互不相等的整数，且它们的乘积为4。
将4分解为四个互不相等的整数相乘，唯一符合条件的分解形式为：$4=1×(-1)×2×(-2)$，即这四个整数只能是$1,-1,2,-2$。
对四个整数求和可得：
$(6-a)+(6-b)+(6-c)+(6-d)=1+(-1)+2+(-2)=0$
整理等式得：
$24-(a+b+c+d)=0$
解得$a+b+c+d=24$。
【答案】
24
【知识点】
整数的分解；代数式求和
【点评】
本题的核心是通过分析整数乘积的特性，将原问题转化为对4的不等整数因数分解，避免直接求解四个未知数，整体代换的思路简化了计算，需要学生具备一定的数感和整体运算的意识。
【难度系数】
0.6
已知$a,b,c,d$是互不相等的正整数，因此$(6-a),(6-b),(6-c),(6-d)$是四个互不相等的整数，且它们的乘积为4。
将4分解为四个互不相等的整数相乘，唯一符合条件的分解形式为：$4=1×(-1)×2×(-2)$，即这四个整数只能是$1,-1,2,-2$。
对四个整数求和可得：
$(6-a)+(6-b)+(6-c)+(6-d)=1+(-1)+2+(-2)=0$
整理等式得：
$24-(a+b+c+d)=0$
解得$a+b+c+d=24$。
【答案】
24
【知识点】
整数的分解；代数式求和
【点评】
本题的核心是通过分析整数乘积的特性，将原问题转化为对4的不等整数因数分解，避免直接求解四个未知数，整体代换的思路简化了计算，需要学生具备一定的数感和整体运算的意识。
【难度系数】
0.6
5.在－5,1,－3,5,－2 中任取三个数相乘,其中最大的积是,最小的积是。
答案
解：
要得到最大的积，选取乘积为正且绝对值最大的三个数计算：
$(-5) × (-3) × 5 = 75$
要得到最小的积，选取乘积为负且绝对值最大的三个数计算：
$(-5) × (-3) × (-2) = -30$
最大的积是$\boldsymbol{75}$，最小的积是$\boldsymbol{-30}$。
要得到最大的积，选取乘积为正且绝对值最大的三个数计算：
$(-5) × (-3) × 5 = 75$
要得到最小的积，选取乘积为负且绝对值最大的三个数计算：
$(-5) × (-3) × (-2) = -30$
最大的积是$\boldsymbol{75}$，最小的积是$\boldsymbol{-30}$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆有理数乘法的符号规律：几个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正；负因数的个数是奇数时，积为负。①找最大的积：正数大于所有负数，因此积应为正数，需要选取偶数个负因数，再结合绝对值越大乘积越大的原则筛选合适的数计算。②找最小的积：负数小于所有正数，因此积应为负数，需要选取奇数个负因数，再结合绝对值越大负数越小的原则筛选合适的数计算即可。
【解析】
给出的5个数为：-5、1、-3、5、-2，其中正数有1、5，负数有-5、-3、-2。
1. 计算最大的积：
积为正，需负因数个数为偶数，此处仅能选2个负因数（正数只有2个，无法凑出3个正数），选取绝对值最大的两个负数-5、-3，再搭配最大的正数5，计算得：
$(-5)×(-3)×5 = 15×5 = 75$
2. 计算最小的积：
积为负，需负因数个数为奇数，有两种可选组合：
①选3个负数：$(-5)×(-3)×(-2) = 15×(-2) = -30$
②选1个负数+2个正数：选绝对值最大的负数-5，搭配两个正数1、5，计算得$(-5)×1×5 = -25$
比较-30和-25，-30更小，因此最小的积为-30。
【答案】
$75$；$-30$
【知识点】
有理数乘法法则；有理数大小比较
【点评】
本题的核心是先根据有理数乘法的符号规律确定因数的选取方向，再结合绝对值大小筛选符合要求的数计算，解题时要注意罗列所有符合符号要求的组合，避免漏算出错。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆有理数乘法的符号规律：几个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正；负因数的个数是奇数时，积为负。①找最大的积：正数大于所有负数，因此积应为正数，需要选取偶数个负因数，再结合绝对值越大乘积越大的原则筛选合适的数计算。②找最小的积：负数小于所有正数，因此积应为负数，需要选取奇数个负因数，再结合绝对值越大负数越小的原则筛选合适的数计算即可。
【解析】
给出的5个数为：-5、1、-3、5、-2，其中正数有1、5，负数有-5、-3、-2。
1. 计算最大的积：
积为正，需负因数个数为偶数，此处仅能选2个负因数（正数只有2个，无法凑出3个正数），选取绝对值最大的两个负数-5、-3，再搭配最大的正数5，计算得：
$(-5)×(-3)×5 = 15×5 = 75$
2. 计算最小的积：
积为负，需负因数个数为奇数，有两种可选组合：
①选3个负数：$(-5)×(-3)×(-2) = 15×(-2) = -30$
②选1个负数+2个正数：选绝对值最大的负数-5，搭配两个正数1、5，计算得$(-5)×1×5 = -25$
比较-30和-25，-30更小，因此最小的积为-30。
【答案】
$75$；$-30$
【知识点】
有理数乘法法则；有理数大小比较
【点评】
本题的核心是先根据有理数乘法的符号规律确定因数的选取方向，再结合绝对值大小筛选符合要求的数计算，解题时要注意罗列所有符合符号要求的组合，避免漏算出错。
【难度系数】
0.7
6. 提升题 定义一种新运算:对有理数a，b，有$a\otimes b=a(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b})$。如$3\otimes4=3×(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4})=\dfrac{1}{4}$。$(-2)\otimes5$的值是。
答案
$\dfrac{7}{5}$
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题时首先要准确理解新运算⊗的规则：$a\otimes b$等于第一个数$a$乘（$a$的倒数减去$b$的倒数）。求解$(-2)\otimes5$时，只需将$a$对应为$-2$，$b$对应为$5$，代入运算公式后，按照有理数混合运算的顺序：先算括号内的减法，再算括号外的乘法，注意负数运算时的符号处理即可得出结果。
【解析】
根据新运算规则$a\otimes b=a(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b})$，将$a=-2$，$b=5$代入得：
$\begin{aligned}(-2)\otimes5&=(-2)×(\dfrac{1}{-2}-\dfrac{1}{5})\\&=(-2)×(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5})\\&=(-2)×(-\dfrac{5}{10}-\dfrac{2}{10})\\&=(-2)×(-\dfrac{7}{10})\\&=\dfrac{14}{10}\\&=\dfrac{7}{5}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{7}{5}$
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算、分数通分计算
【点评】
本题核心考查对新运算规则的理解能力和有理数运算的计算能力，解题的关键是找准新运算中两个数对应的位置，代入后严格按照有理数运算顺序计算，尤其要注意负数参与运算时的符号变化，避免因符号出错失分。
【难度系数】
0.7
本题是新定义运算类题目，解题时首先要准确理解新运算⊗的规则：$a\otimes b$等于第一个数$a$乘（$a$的倒数减去$b$的倒数）。求解$(-2)\otimes5$时，只需将$a$对应为$-2$，$b$对应为$5$，代入运算公式后，按照有理数混合运算的顺序：先算括号内的减法，再算括号外的乘法，注意负数运算时的符号处理即可得出结果。
【解析】
根据新运算规则$a\otimes b=a(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b})$，将$a=-2$，$b=5$代入得：
$\begin{aligned}(-2)\otimes5&=(-2)×(\dfrac{1}{-2}-\dfrac{1}{5})\\&=(-2)×(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5})\\&=(-2)×(-\dfrac{5}{10}-\dfrac{2}{10})\\&=(-2)×(-\dfrac{7}{10})\\&=\dfrac{14}{10}\\&=\dfrac{7}{5}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{7}{5}$
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算、分数通分计算
【点评】
本题核心考查对新运算规则的理解能力和有理数运算的计算能力，解题的关键是找准新运算中两个数对应的位置，代入后严格按照有理数运算顺序计算，尤其要注意负数参与运算时的符号变化，避免因符号出错失分。
【难度系数】
0.7
7. 用简便方法计算。
(1) $(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{8}+\dfrac{5}{12})×(-24)$；
(2) $71\dfrac{15}{16}×(-16)$；
(3) $325×(-125)×(-11)×8×\dfrac{1}{25}×(-\dfrac{5}{11})$。
(1) $(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{8}+\dfrac{5}{12})×(-24)$；
(2) $71\dfrac{15}{16}×(-16)$；
(3) $325×(-125)×(-11)×8×\dfrac{1}{25}×(-\dfrac{5}{11})$。
答案
解：
(1) 原式$=-\frac{1}{2}×(-24)+\frac{1}{6}×(-24)-\frac{3}{8}×(-24)+\frac{5}{12}×(-24)$
$=12 - 4 + 9 - 10$
$=7$
(2) 原式$=(72 - \frac{1}{16})×(-16)$
$=72×(-16) - \frac{1}{16}×(-16)$
$=-1152 + 1$
$=-1151$
(3) 原式$=[325×\frac{1}{25}]×[(-125)×8]×[(-11)×(-\frac{5}{11})]$
$=13×(-1000)×5$
$=-65000$
(1) 原式$=-\frac{1}{2}×(-24)+\frac{1}{6}×(-24)-\frac{3}{8}×(-24)+\frac{5}{12}×(-24)$
$=12 - 4 + 9 - 10$
$=7$
(2) 原式$=(72 - \frac{1}{16})×(-16)$
$=72×(-16) - \frac{1}{16}×(-16)$
$=-1152 + 1$
$=-1151$
(3) 原式$=[325×\frac{1}{25}]×[(-125)×8]×[(-11)×(-\frac{5}{11})]$
$=13×(-1000)×5$
$=-65000$
解析
【分析】
这三道题均属于有理数乘法的简便运算题，解题核心是灵活运用乘法运算律简化计算：
(1) 观察到括号内各分数的分母均是-24的因数，可直接运用乘法分配律，将括号内每个数分别与-24相乘，消去分母后再计算，避免通分的复杂运算，计算时注意符号变化；
(2) 带分数直接化假分数计算量过大，可将$71\dfrac{15}{16}$拆成$72-\dfrac{1}{16}$，再运用乘法分配律分别乘-16，简化计算；
(3) 算式中存在可以凑整、约分的数对，可利用乘法交换律和结合律，将$325$与$\dfrac{1}{25}$、$-125$与$8$、$-11$与$-\dfrac{5}{11}$分别分组先计算，快速得到整数结果后再相乘。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开计算：
原式$=-\dfrac{1}{2}×(-24)+\dfrac{1}{6}×(-24)-\dfrac{3}{8}×(-24)+\dfrac{5}{12}×(-24)$
$=12 - 4 + 9 - 10$
$=7$
(2) 先拆分带分数，再用乘法分配律计算：
原式$=(72 - \dfrac{1}{16})×(-16)$
$=72×(-16) - \dfrac{1}{16}×(-16)$
$=-1152 + 1$
$=-1151$
(3) 利用乘法交换律、结合律分组计算：
原式$=[325×\dfrac{1}{25}]×[(-125)×8]×[(-11)×(-\dfrac{5}{11})]$
$=13×(-1000)×5$
$=-65000$
【答案】
(1) $\boxed{7}$；(2) $\boxed{-1151}$；(3) $\boxed{-65000}$
【知识点】
1. 乘法分配律
2. 乘法交换律
3. 乘法结合律
【点评】
本题考查有理数乘法的简便运算技巧，解题关键是根据算式的特征选择合适的运算律，通过约分、凑整的方式简化计算步骤，有效降低计算量，同时要注意运算过程中的符号判断，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
这三道题均属于有理数乘法的简便运算题，解题核心是灵活运用乘法运算律简化计算：
(1) 观察到括号内各分数的分母均是-24的因数，可直接运用乘法分配律，将括号内每个数分别与-24相乘，消去分母后再计算，避免通分的复杂运算，计算时注意符号变化；
(2) 带分数直接化假分数计算量过大，可将$71\dfrac{15}{16}$拆成$72-\dfrac{1}{16}$，再运用乘法分配律分别乘-16，简化计算；
(3) 算式中存在可以凑整、约分的数对，可利用乘法交换律和结合律，将$325$与$\dfrac{1}{25}$、$-125$与$8$、$-11$与$-\dfrac{5}{11}$分别分组先计算，快速得到整数结果后再相乘。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开计算：
原式$=-\dfrac{1}{2}×(-24)+\dfrac{1}{6}×(-24)-\dfrac{3}{8}×(-24)+\dfrac{5}{12}×(-24)$
$=12 - 4 + 9 - 10$
$=7$
(2) 先拆分带分数，再用乘法分配律计算：
原式$=(72 - \dfrac{1}{16})×(-16)$
$=72×(-16) - \dfrac{1}{16}×(-16)$
$=-1152 + 1$
$=-1151$
(3) 利用乘法交换律、结合律分组计算：
原式$=[325×\dfrac{1}{25}]×[(-125)×8]×[(-11)×(-\dfrac{5}{11})]$
$=13×(-1000)×5$
$=-65000$
【答案】
(1) $\boxed{7}$；(2) $\boxed{-1151}$；(3) $\boxed{-65000}$
【知识点】
1. 乘法分配律
2. 乘法交换律
3. 乘法结合律
【点评】
本题考查有理数乘法的简便运算技巧，解题关键是根据算式的特征选择合适的运算律，通过约分、凑整的方式简化计算步骤，有效降低计算量，同时要注意运算过程中的符号判断，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
