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8. 如图，棱柱侧面都是长为8 cm、宽为4 cm的长方形，点D是BC的中点，在棱柱下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面D处的食物，需要爬行的最短路程是s cm，则$s^2$是（
A.84
B.100
C.128
D.196
（第8题）
B
）。A.84
B.100
C.128
D.196
（第8题）答案
8.B
解析
【分析】
要解决立体图形表面蚂蚁爬行的最短路径问题，核心思路是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定最短路径为两点连线，再结合勾股定理计算路径长度。需注意要考虑所有可能的展开方式，计算后比较得到最小值。
【解析】
由题意可知，该棱柱底面是边长为4cm的正方形，棱柱的高为8cm。
∵点D是BC的中点，BC=4cm，
∴BD=4÷2=2cm。
分两种展开方式计算路径长度的平方：
1. 将A所在的正面与D所在的右侧面展开到同一平面：
此时连接AD，得到直角三角形的两条直角边分别为棱柱的高8cm，水平长度$4+2=6\mathrm{cm}$。
根据勾股定理：$AD^2=8^2+6^2=64+36=100$。
2. 将A所在的正面与D所在的上底面展开到同一平面：
此时直角三角形的两条直角边分别为底面边长4cm，另一条长度为$8+2=10\mathrm{cm}$。
根据勾股定理：$AD^2=4^2+10^2=16+100=116$。
∵$100＜116$，
∴最短路径对应的$s^2=100$。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题；勾股定理；立体图形展开
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型习题，重点考查空间想象能力和勾股定理的实际应用，解题时要注意分类讨论不同的展开方式，避免只考虑一种展开方式导致结果错误。
【难度系数】
0.7
要解决立体图形表面蚂蚁爬行的最短路径问题，核心思路是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定最短路径为两点连线，再结合勾股定理计算路径长度。需注意要考虑所有可能的展开方式，计算后比较得到最小值。
【解析】
由题意可知，该棱柱底面是边长为4cm的正方形，棱柱的高为8cm。
∵点D是BC的中点，BC=4cm，
∴BD=4÷2=2cm。
分两种展开方式计算路径长度的平方：
1. 将A所在的正面与D所在的右侧面展开到同一平面：
此时连接AD，得到直角三角形的两条直角边分别为棱柱的高8cm，水平长度$4+2=6\mathrm{cm}$。
根据勾股定理：$AD^2=8^2+6^2=64+36=100$。
2. 将A所在的正面与D所在的上底面展开到同一平面：
此时直角三角形的两条直角边分别为底面边长4cm，另一条长度为$8+2=10\mathrm{cm}$。
根据勾股定理：$AD^2=4^2+10^2=16+100=116$。
∵$100＜116$，
∴最短路径对应的$s^2=100$。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题；勾股定理；立体图形展开
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型习题，重点考查空间想象能力和勾股定理的实际应用，解题时要注意分类讨论不同的展开方式，避免只考虑一种展开方式导致结果错误。
【难度系数】
0.7
9. 如图，有一个圆柱形礼盒，高18 cm，底面周长为12 cm，现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在A处，另一端绕礼盒侧面2周后粘贴在C处（B为AC的中点），则彩带最短为（
A.15 cm
B.20 cm
C.25 cm
D.30 cm
D
）。A.15 cm
B.20 cm
C.25 cm
D.30 cm
答案
9.D
解析
【分析】
要计算圆柱侧面缠绕彩带的最短长度，需利用“两点之间线段最短”的原理，将圆柱曲面转化为平面图形求解。由于彩带绕侧面2周，因此将圆柱侧面展开后，对应长方形的长为2倍底面周长，宽等于圆柱的高，此时A、C两点的最短路径为直角三角形的斜边，用勾股定理即可计算。
【解析】
将圆柱侧面沿AC所在母线展开，因彩带绕侧面2周：
展开后长方形的长 = 2×底面周长 = 2×12 = 24 cm
展开后长方形的宽 = 圆柱的高 = 18 cm
根据勾股定理，彩带最短长度为直角三角形的斜边长：
$\sqrt{24^2 + 18^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30$ cm
【答案】
D
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理，最短路径求解
【点评】
本题的解题关键是把曲面的最短路径问题转化为平面上的线段长度问题，需注意缠绕周数对展开后长方形边长的影响，再结合勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.7
要计算圆柱侧面缠绕彩带的最短长度，需利用“两点之间线段最短”的原理，将圆柱曲面转化为平面图形求解。由于彩带绕侧面2周，因此将圆柱侧面展开后，对应长方形的长为2倍底面周长，宽等于圆柱的高，此时A、C两点的最短路径为直角三角形的斜边，用勾股定理即可计算。
【解析】
将圆柱侧面沿AC所在母线展开，因彩带绕侧面2周：
展开后长方形的长 = 2×底面周长 = 2×12 = 24 cm
展开后长方形的宽 = 圆柱的高 = 18 cm
根据勾股定理，彩带最短长度为直角三角形的斜边长：
$\sqrt{24^2 + 18^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30$ cm
【答案】
D
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理，最短路径求解
【点评】
本题的解题关键是把曲面的最短路径问题转化为平面上的线段长度问题，需注意缠绕周数对展开后长方形边长的影响，再结合勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.7
10.【数学应用】为筹备晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底面漆成白色，侧面缠上红色油纸，如图所示。已知圆筒的高为108 cm，其横截面的周长为36 cm，如果在其表面缠上4圈油纸，最少应裁剪多长的油纸？（油纸厚度忽略不计）
答案
10. 解:由题意可知,圆筒形灯罩的侧面展开图为长方形,油纸缠绕四圈,意味着每一圈油纸都会将其分成相等的四段,如图
,AB=36 cm,BC=108÷4=27(cm),根据勾股定理,可得AC²=36²+27²=2 025,所以AC=45 cm。于是,油纸的最短长度为4AC=4×45=180(cm)。所以最少应裁剪 180 cm 长的油纸。
解析
【分析】
要计算圆筒侧面缠绕油纸的最短长度，需用到“化曲为直”的转化思路：首先将圆筒的侧面展开为平面长方形，平面内两点之间线段最短，因此油纸的最短路径对应展开图中的线段长度。由于油纸共缠绕4圈，可先将圆筒的总高平均分为4份，计算出单圈油纸对应的最短长度，再乘4即可得到总长度。
【解析】
将圆筒侧面沿高展开得到长方形，由题意可知：
展开后长方形的长等于圆筒横截面的周长，即AB=36 cm；
油纸缠绕4圈，因此每一圈油纸对应的竖直高度为总高的$\frac{1}{4}$，即$BC=108÷4=27$ cm。
在$Rt△ ABC$中，根据勾股定理可得：
$AC^2=AB^2+BC^2=36^2+27^2=2025$
解得$AC=45$ cm，即单圈油纸的最短长度为45 cm。
因此4圈油纸的总最短长度为$4×45=180$ cm。
【答案】
最少应裁剪180 cm长的油纸。
【知识点】
圆柱侧面展开图；勾股定理；最短路径求解
【点评】
本题是立体图形转化为平面图形解决实际问题的典型习题，核心是掌握“化曲为直”的转化思想，将缠绕的曲线路径转化为平面内的线段后再用勾股定理计算，能很好地锻炼空间想象能力和数学建模能力。
【难度系数】
0.6
要计算圆筒侧面缠绕油纸的最短长度，需用到“化曲为直”的转化思路：首先将圆筒的侧面展开为平面长方形，平面内两点之间线段最短，因此油纸的最短路径对应展开图中的线段长度。由于油纸共缠绕4圈，可先将圆筒的总高平均分为4份，计算出单圈油纸对应的最短长度，再乘4即可得到总长度。
【解析】
将圆筒侧面沿高展开得到长方形，由题意可知：
展开后长方形的长等于圆筒横截面的周长，即AB=36 cm；
油纸缠绕4圈，因此每一圈油纸对应的竖直高度为总高的$\frac{1}{4}$，即$BC=108÷4=27$ cm。
在$Rt△ ABC$中，根据勾股定理可得：
$AC^2=AB^2+BC^2=36^2+27^2=2025$
解得$AC=45$ cm，即单圈油纸的最短长度为45 cm。
因此4圈油纸的总最短长度为$4×45=180$ cm。
【答案】
最少应裁剪180 cm长的油纸。
【知识点】
圆柱侧面展开图；勾股定理；最短路径求解
【点评】
本题是立体图形转化为平面图形解决实际问题的典型习题，核心是掌握“化曲为直”的转化思想，将缠绕的曲线路径转化为平面内的线段后再用勾股定理计算，能很好地锻炼空间想象能力和数学建模能力。
【难度系数】
0.6
11. 如图所示的是一块长、宽、高分别是4 cm,2 cm和1 cm的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处,沿着长方体的表面爬到和点A相对的顶点B处吃食物,那么它需要爬行的最短路程是多长?
答案
11. 解:根据“两点之间线段最短”可知在从点 A 到点 B 的路线中,线段 AB 最短。故需要先将 A,B 展开到一个平面内,根据题意,有以下三种情况：
(1)如图①
,由勾股定理,可得AB²=1²+(4+2)²=37；(2)如图②
,由勾股定理,可得AB²=4²+(1+2)²=25；(3)如图③
,由勾股定理,可得AB²=2²+(1+4)²=29。因为25＜29＜37,所以当AB²=25时,AB的长最短,此时,AB=5 cm。
因此,蚂蚁需要爬行的最短路程是 5 cm。
解析
【分析】
要解决蚂蚁沿长方体表面爬行的最短路径问题，首先明确蚂蚁只能在长方体表面移动，不能穿透木块，因此需要将包含A、B两点的两个相邻面展开到同一平面内，依据“两点之间线段最短”，将爬行路径转化为平面内A、B两点的线段长度。由于长方体相邻面的展开组合共有3种不同情况，需分别用勾股定理计算每种情况对应的线段长度，再比较大小得到最短路径。
【解析】
根据“两点之间线段最短”，需将点A、B所在的相邻面展开到同一平面内计算线段AB的长度，共有三种展开情况：
(1) 如图①，由勾股定理，可得$AB^2=1^2+(4+2)^2=37$；
(2) 如图②，由勾股定理，可得$AB^2=4^2+(1+2)^2=25$；
(3) 如图③，由勾股定理，可得$AB^2=2^2+(1+4)^2=29$。
因为$25＜29＜37$，所以当$AB^2=25$时，AB的长最短，此时$AB=\sqrt{25}=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
蚂蚁需要爬行的最短路程是 5 cm。
【知识点】
勾股定理的应用；最短路径问题；立体图形展开
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型习题，核心解题思路是将立体图形转化为平面图形，结合两点之间线段最短的性质和勾股定理求解，解题时要注意枚举所有可能的展开情况，通过比较得到最短路径，避免遗漏情况导致错误。
【难度系数】
0.7
要解决蚂蚁沿长方体表面爬行的最短路径问题，首先明确蚂蚁只能在长方体表面移动，不能穿透木块，因此需要将包含A、B两点的两个相邻面展开到同一平面内，依据“两点之间线段最短”，将爬行路径转化为平面内A、B两点的线段长度。由于长方体相邻面的展开组合共有3种不同情况，需分别用勾股定理计算每种情况对应的线段长度，再比较大小得到最短路径。
【解析】
根据“两点之间线段最短”，需将点A、B所在的相邻面展开到同一平面内计算线段AB的长度，共有三种展开情况：
(1) 如图①
，由勾股定理，可得$AB^2=1^2+(4+2)^2=37$；(2) 如图②
，由勾股定理，可得$AB^2=4^2+(1+2)^2=25$；(3) 如图③
，由勾股定理，可得$AB^2=2^2+(1+4)^2=29$。因为$25＜29＜37$，所以当$AB^2=25$时，AB的长最短，此时$AB=\sqrt{25}=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
蚂蚁需要爬行的最短路程是 5 cm。
【知识点】
勾股定理的应用；最短路径问题；立体图形展开
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型习题，核心解题思路是将立体图形转化为平面图形，结合两点之间线段最短的性质和勾股定理求解，解题时要注意枚举所有可能的展开情况，通过比较得到最短路径，避免遗漏情况导致错误。
【难度系数】
0.7
12.【综合与实践】如图，圆柱形玻璃杯高14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁C处的最短路程是多少？（杯壁厚度忽略不计）
答案
12. 解:如图
,作杯子的侧面展开图,作点 A 关于上边缘线的对称点A',连接A'C,与上边缘线交于点 B,此时,AB+CB 为蚂蚁从外壁 A 处到内壁 C 处的最短路程,即 A'C 的长度。在Rt△A'CD中,A'D=32÷2=16(cm),CD=14-5+3=12(cm),
因为A'C²=A'D²+CD²=16²+12²=20²,所以A'C=20 cm,
所以蚂蚁从外壁 A 处到内壁 C 处的最短路程为20 cm。
解析
【分析】
要解决圆柱表面的最短路径问题，首先要将立体的圆柱侧面展开为平面图形，把曲面路径转化为平面路径，利用“两点之间，线段最短”求解。由于蚂蚁在杯外壁、蜂蜜在杯内壁，蚂蚁需要先爬到杯口边缘再进入内壁，因此先作点A关于杯口所在直线的对称点A'，此时蚂蚁从A到杯口某点B再到C的路程AB+BC等于A'B+BC，当A'、B、C三点共线时总路程最短，即线段A'C的长度就是所求最短路程，最后构造直角三角形用勾股定理计算A'C的长度即可。
【解析】
1. 作杯子的侧面展开图，作点A关于上边缘线的对称点A'，连接A'C，与上边缘线交于点B，此时AB+CB为蚂蚁从外壁A处到内壁C处的最短路程，即A'C的长度。
2. 计算直角三角形两条直角边的长度：
底面周长为32cm，展开后水平方向直角边$A'D=32÷2=16\ \mathrm{cm}$；
竖直方向：玻璃杯高14cm，C离杯底5cm，A离杯上沿3cm，因此竖直直角边$CD=14-5+3=12\ \mathrm{cm}$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ A'CD$中，由勾股定理得：
$A'C^2=A'D^2+CD^2=16^2+12^2=256+144=400=20^2$，因此$A'C=20\ \mathrm{cm}$。
【答案】
如图,作杯子的侧面展开图,作点 A 关于上边缘线的对称点A',连接A'C,与上边缘线交于点 B,此时,AB+CB 为蚂蚁从外壁 A 处到内壁 C 处的最短路程,即 A'C 的长度。
在Rt△A'CD中,A'D=32÷2=16(cm),CD=14-5+3=12(cm),
因为A'C²=A'D²+CD²=16²+12²=20²,所以A'C=20 cm,
所以蚂蚁从外壁 A 处到内壁 C 处的最短路程为20 cm。
【知识点】
圆柱侧面展开图、最短路径问题、勾股定理应用
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用，解题核心是利用“化曲为直”的思想将圆柱侧面展开，结合对称变换将折线路径转化为两点之间的线段，能有效考查学生的空间想象能力和转化思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
要解决圆柱表面的最短路径问题，首先要将立体的圆柱侧面展开为平面图形，把曲面路径转化为平面路径，利用“两点之间，线段最短”求解。由于蚂蚁在杯外壁、蜂蜜在杯内壁，蚂蚁需要先爬到杯口边缘再进入内壁，因此先作点A关于杯口所在直线的对称点A'，此时蚂蚁从A到杯口某点B再到C的路程AB+BC等于A'B+BC，当A'、B、C三点共线时总路程最短，即线段A'C的长度就是所求最短路程，最后构造直角三角形用勾股定理计算A'C的长度即可。
【解析】
1. 作杯子的侧面展开图，作点A关于上边缘线的对称点A'，连接A'C，与上边缘线交于点B，此时AB+CB为蚂蚁从外壁A处到内壁C处的最短路程，即A'C的长度。
2. 计算直角三角形两条直角边的长度：
底面周长为32cm，展开后水平方向直角边$A'D=32÷2=16\ \mathrm{cm}$；
竖直方向：玻璃杯高14cm，C离杯底5cm，A离杯上沿3cm，因此竖直直角边$CD=14-5+3=12\ \mathrm{cm}$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ A'CD$中，由勾股定理得：
$A'C^2=A'D^2+CD^2=16^2+12^2=256+144=400=20^2$，因此$A'C=20\ \mathrm{cm}$。
【答案】
如图
,作杯子的侧面展开图,作点 A 关于上边缘线的对称点A',连接A'C,与上边缘线交于点 B,此时,AB+CB 为蚂蚁从外壁 A 处到内壁 C 处的最短路程,即 A'C 的长度。在Rt△A'CD中,A'D=32÷2=16(cm),CD=14-5+3=12(cm),
因为A'C²=A'D²+CD²=16²+12²=20²,所以A'C=20 cm,
所以蚂蚁从外壁 A 处到内壁 C 处的最短路程为20 cm。
【知识点】
圆柱侧面展开图、最短路径问题、勾股定理应用
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用，解题核心是利用“化曲为直”的思想将圆柱侧面展开，结合对称变换将折线路径转化为两点之间的线段，能有效考查学生的空间想象能力和转化思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
