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8. 如图,在$5×5$的正方形网格中,有A,B,C,D四个点(均在格点上)。(每个小正方形的边长均为1)
(1)线段AB的长为
(2)从A,B,C,D四点中任选三点所构成的三角形中,直角三角形有哪些?请任选一个进行说明。
(3)求出四边形ABCD的面积。
(1)线段AB的长为
$\sqrt{5}$
,线段CD的长为$\sqrt{10}$
。(2)从A,B,C,D四点中任选三点所构成的三角形中,直角三角形有哪些?请任选一个进行说明。
(3)求出四边形ABCD的面积。
答案
8. 解:(1)$\sqrt{5}$ $\sqrt{10}$
(2)从A,B,C,D四点中任选三点所构成的直角三角形有$\mathrm{Rt}△ ABD$,$\mathrm{Rt}△ ACD$,$\mathrm{Rt}△ ABC$。选择$\mathrm{Rt}△ ABD$说明如下:
结合题意,
$AB^2=1^2+2^2=5$,$BD^2=25$,$AD^2=2^2+4^2=20$,
所以$AB^2+AD^2=BD^2$,
所以$△ ABD$为直角三角形。
同理,可说明$△ ABC$,$△ ACD$是直角三角形。
(3)$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ BCD}+S_{△ ABD}$
$=\frac{1}{2}×5×1+\frac{1}{2}×5×2$
$=\frac{15}{2}$。
(2)从A,B,C,D四点中任选三点所构成的直角三角形有$\mathrm{Rt}△ ABD$,$\mathrm{Rt}△ ACD$,$\mathrm{Rt}△ ABC$。选择$\mathrm{Rt}△ ABD$说明如下:
结合题意,
$AB^2=1^2+2^2=5$,$BD^2=25$,$AD^2=2^2+4^2=20$,
所以$AB^2+AD^2=BD^2$,
所以$△ ABD$为直角三角形。
同理,可说明$△ ABC$,$△ ACD$是直角三角形。
(3)$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ BCD}+S_{△ ABD}$
$=\frac{1}{2}×5×1+\frac{1}{2}×5×2$
$=\frac{15}{2}$。
解析
【分析】
本题是网格背景下的几何计算题，解题思路如下：
(1)求网格中线段长度时，可将线段作为直角三角形的斜边，找到对应的水平、竖直方向的直角边长度，用勾股定理计算即可；
(2)判断三点构成的三角形是否为直角三角形，先列举出所有任选三点的组合，再用勾股定理计算各边长度的平方，最后用勾股定理的逆定理验证是否满足两边平方和等于第三边平方即可；
(3)求不规则四边形面积，可采用分割法，将四边形拆分为两个同底的三角形，分别计算两个三角形的面积后求和，就能得到四边形的面积。
【解析】
(1) 对于线段AB，对应的直角边长度分别为1、2，由勾股定理得：$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
对于线段CD，对应的直角边长度分别为1、3，由勾股定理得：$CD=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
(2) 从四点中任选三点的组合有△ABC、△ABD、△ACD、△BCD共4个，选择$\mathrm{Rt}△ ABD$说明：
计算得$AB^2=1^2+2^2=5$，$AD^2=2^2+4^2=20$，$BD^2=5^2=25$，可得$AB^2+AD^2=5+20=25=BD^2$，根据勾股定理的逆定理，可知△ABD为直角三角形；
同理可验证△ABC、△ACD均满足勾股定理逆定理，是直角三角形，△BCD不满足。
(3) 将四边形ABCD分割为△ABD和△BCD，两个三角形的底均为BD=5，△ABD中BD边上的高为2，△BCD中BD边上的高为1：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×5×2+\frac{1}{2}×5×1=\frac{15}{2}$。
【答案】
(1)$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$
(2)直角三角形有$\mathrm{Rt}△ ABD$，$\mathrm{Rt}△ ACD$，$\mathrm{Rt}△ ABC$
(3)$\frac{15}{2}$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；割补法求面积
【点评】
本题结合网格考查勾股定理相关的应用，核心是掌握网格中线段长度的计算方法，能灵活运用勾股定理逆定理判断直角三角形，求不规则图形面积时合理分割或补全可大幅降低计算难度，是勾股定理应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
本题是网格背景下的几何计算题，解题思路如下：
(1)求网格中线段长度时，可将线段作为直角三角形的斜边，找到对应的水平、竖直方向的直角边长度，用勾股定理计算即可；
(2)判断三点构成的三角形是否为直角三角形，先列举出所有任选三点的组合，再用勾股定理计算各边长度的平方，最后用勾股定理的逆定理验证是否满足两边平方和等于第三边平方即可；
(3)求不规则四边形面积，可采用分割法，将四边形拆分为两个同底的三角形，分别计算两个三角形的面积后求和，就能得到四边形的面积。
【解析】
(1) 对于线段AB，对应的直角边长度分别为1、2，由勾股定理得：$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
对于线段CD，对应的直角边长度分别为1、3，由勾股定理得：$CD=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
(2) 从四点中任选三点的组合有△ABC、△ABD、△ACD、△BCD共4个，选择$\mathrm{Rt}△ ABD$说明：
计算得$AB^2=1^2+2^2=5$，$AD^2=2^2+4^2=20$，$BD^2=5^2=25$，可得$AB^2+AD^2=5+20=25=BD^2$，根据勾股定理的逆定理，可知△ABD为直角三角形；
同理可验证△ABC、△ACD均满足勾股定理逆定理，是直角三角形，△BCD不满足。
(3) 将四边形ABCD分割为△ABD和△BCD，两个三角形的底均为BD=5，△ABD中BD边上的高为2，△BCD中BD边上的高为1：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×5×2+\frac{1}{2}×5×1=\frac{15}{2}$。
【答案】
(1)$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$
(2)直角三角形有$\mathrm{Rt}△ ABD$，$\mathrm{Rt}△ ACD$，$\mathrm{Rt}△ ABC$
(3)$\frac{15}{2}$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；割补法求面积
【点评】
本题结合网格考查勾股定理相关的应用，核心是掌握网格中线段长度的计算方法，能灵活运用勾股定理逆定理判断直角三角形，求不规则图形面积时合理分割或补全可大幅降低计算难度，是勾股定理应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
9.【综合与实践】在学习了“勾股定理”和“实数”后，某同学以“已知三角形三边的长度，求三角形的面积。”为主题开展了数学活动。
操作发现:如图,在6×6的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,在图①中画出△ABC,同时构造正方形BDEF,且它的边DE,EF分别经过点C,A,借助此图便可求出△ABC的面积。
实践探究:(1)在图①所画的△ABC中,AB=
(2)在图②的正方形网格中画出△XYZ,使$XY=\sqrt{5},XZ=\sqrt{13},YZ=\sqrt{20},$并求出△XYZ的面积。
操作发现:如图,在6×6的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,在图①中画出△ABC,同时构造正方形BDEF,且它的边DE,EF分别经过点C,A,借助此图便可求出△ABC的面积。
实践探究:(1)在图①所画的△ABC中,AB=
5
,AC=$\sqrt{10}$
,BC=$\sqrt{17}$
$,S_{△ ABC}=$$\frac{13}{2}$
;(2)在图②的正方形网格中画出△XYZ,使$XY=\sqrt{5},XZ=\sqrt{13},YZ=\sqrt{20},$并求出△XYZ的面积。
答案
9. 解:(1)$5$ $\sqrt{10}$ $\sqrt{17}$ $\frac{13}{2}$
(2)画出$△ XYZ$如图所示(画法不唯一)。
$S_{△ XYZ}=3×4-\frac{1}{2}×4×2-\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×2×1=4$。
解析
【分析】
（1）求解网格中三角形的边长，可利用勾股定理，将线段看作直角三角形的斜边，通过横向、纵向的格数计算两条直角边的长度，再求斜边长度；求三角形面积用割补法，用外围正方形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可得到△ABC的面积。
（2）要画出符合边长要求的△XYZ，先将给出的边长转化为直角边为整数的直角三角形的斜边：√5对应直角边1、2，√13对应直角边2、3，√20对应直角边2、4，据此在网格中确定三个顶点的位置即可；求面积同样用割补法，用包围△XYZ的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可。
【解析】
（1）设每个小正方形边长为1：
①求边长：
AB对应的横向格数差为3，纵向格数差为4，由勾股定理得$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$；
AC对应的横向格数差为1，纵向格数差为3，由勾股定理得$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$；
BC对应的横向格数差为4，纵向格数差为1，由勾股定理得$BC=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$。
②求面积：
外围正方形BDEF的边长为4，面积为$4×4=16$；
周围三个直角三角形的面积分别为：$S_1=\frac{1}{2}×3×4=6$，$S_2=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，$S_3=\frac{1}{2}×1×4=2$；
因此$S_{△ ABC}=16-6-\frac{3}{2}-2=\frac{13}{2}$。
（2）首先根据边长确定顶点位置：$XY=\sqrt{5}=\sqrt{1^2+2^2}$，$XZ=\sqrt{13}=\sqrt{2^2+3^2}$，$YZ=\sqrt{20}=\sqrt{2^2+4^2}$，据此画出△XYZ（画法不唯一）。
用割补法求面积：取包围△XYZ的长为4、宽为3的矩形，矩形面积为$3×4=12$；
减去周围三个直角三角形的面积：$\frac{1}{2}×4×2=4$，$\frac{1}{2}×3×2=3$，$\frac{1}{2}×2×1=1$；
因此$S_{△ XYZ}=12-4-3-1=4$。
【答案】
(1)$5$；$\sqrt{10}$；$\sqrt{17}$；$\frac{13}{2}$
(2)画出△XYZ如图所示，$S_{△ XYZ}=4$
【知识点】
勾股定理的应用；割补法求面积；算术平方根
【点评】
本题考查网格背景下的线段长度计算和三角形面积求解，核心是掌握用勾股定理计算网格中斜线段长度的方法，熟练运用割补法将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差，是网格类几何题的典型考法。
【难度系数】
0.7
（1）求解网格中三角形的边长，可利用勾股定理，将线段看作直角三角形的斜边，通过横向、纵向的格数计算两条直角边的长度，再求斜边长度；求三角形面积用割补法，用外围正方形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可得到△ABC的面积。
（2）要画出符合边长要求的△XYZ，先将给出的边长转化为直角边为整数的直角三角形的斜边：√5对应直角边1、2，√13对应直角边2、3，√20对应直角边2、4，据此在网格中确定三个顶点的位置即可；求面积同样用割补法，用包围△XYZ的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可。
【解析】
（1）设每个小正方形边长为1：
①求边长：
AB对应的横向格数差为3，纵向格数差为4，由勾股定理得$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$；
AC对应的横向格数差为1，纵向格数差为3，由勾股定理得$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$；
BC对应的横向格数差为4，纵向格数差为1，由勾股定理得$BC=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$。
②求面积：
外围正方形BDEF的边长为4，面积为$4×4=16$；
周围三个直角三角形的面积分别为：$S_1=\frac{1}{2}×3×4=6$，$S_2=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，$S_3=\frac{1}{2}×1×4=2$；
因此$S_{△ ABC}=16-6-\frac{3}{2}-2=\frac{13}{2}$。
（2）首先根据边长确定顶点位置：$XY=\sqrt{5}=\sqrt{1^2+2^2}$，$XZ=\sqrt{13}=\sqrt{2^2+3^2}$，$YZ=\sqrt{20}=\sqrt{2^2+4^2}$，据此画出△XYZ（画法不唯一）。
用割补法求面积：取包围△XYZ的长为4、宽为3的矩形，矩形面积为$3×4=12$；
减去周围三个直角三角形的面积：$\frac{1}{2}×4×2=4$，$\frac{1}{2}×3×2=3$，$\frac{1}{2}×2×1=1$；
因此$S_{△ XYZ}=12-4-3-1=4$。
【答案】
(1)$5$；$\sqrt{10}$；$\sqrt{17}$；$\frac{13}{2}$
(2)画出△XYZ如图所示
，$S_{△ XYZ}=4$【知识点】
勾股定理的应用；割补法求面积；算术平方根
【点评】
本题考查网格背景下的线段长度计算和三角形面积求解，核心是掌握用勾股定理计算网格中斜线段长度的方法，熟练运用割补法将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差，是网格类几何题的典型考法。
【难度系数】
0.7
