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6.小明用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树 AB 的高度。测量时，使直角边 DF 保持水平状态，其延长线交 AB 于点 G；使斜边 DE 与点 A 在同一条直线上。测得边 DF 离地面的高度为 1.4 m，点 D 到 AB 的距离等于 6 m（如图所示）。已知 DF=30 cm，EF=20 cm，那么树 AB 的高度等于（
A.4 m
B.5.4 m
C.9 m
D.10.4 m
B
）。A.4 m
B.5.4 m
C.9 m
D.10.4 m
答案
6.B
解析
【分析】
要计算树的高度AB，可将AB拆分为AG和GB两段，其中GB是DF离地面的高度，已知为1.4m，只需求出AG的长度即可。观察图形可知，EF和AG都垂直于水平的DG，因此EF平行于AG，可得△DEF和△DAG相似，利用相似三角形对应边成比例的性质就能求出AG的长度，注意计算前要先统一单位。
【解析】
解：由题意得：$GB=1.4\mathrm{m}$，$DG=6\mathrm{m}$，$∠ DFE=∠ DGA=90°$，$∠ D$是两个三角形的公共角，
∴$△ DEF ∽ △ DAG$（两角分别相等的两个三角形相似）。
统一单位：$DF=30\mathrm{cm}=0.3\mathrm{m}$，$EF=20\mathrm{cm}=0.2\mathrm{m}$。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{EF}{AG}=\frac{DF}{DG}$
代入数值：$\frac{0.2}{AG}=\frac{0.3}{6}$
解得：$AG=4\mathrm{m}$
∴$AB=AG+GB=4+1.4=5.4\mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量问题中的基础应用，解题的关键是结合图形找出相似三角形，计算前要注意统一长度单位，避免因单位不统一导致计算错误。
【难度系数】
0.7
要计算树的高度AB，可将AB拆分为AG和GB两段，其中GB是DF离地面的高度，已知为1.4m，只需求出AG的长度即可。观察图形可知，EF和AG都垂直于水平的DG，因此EF平行于AG，可得△DEF和△DAG相似，利用相似三角形对应边成比例的性质就能求出AG的长度，注意计算前要先统一单位。
【解析】
解：由题意得：$GB=1.4\mathrm{m}$，$DG=6\mathrm{m}$，$∠ DFE=∠ DGA=90°$，$∠ D$是两个三角形的公共角，
∴$△ DEF ∽ △ DAG$（两角分别相等的两个三角形相似）。
统一单位：$DF=30\mathrm{cm}=0.3\mathrm{m}$，$EF=20\mathrm{cm}=0.2\mathrm{m}$。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{EF}{AG}=\frac{DF}{DG}$
代入数值：$\frac{0.2}{AG}=\frac{0.3}{6}$
解得：$AG=4\mathrm{m}$
∴$AB=AG+GB=4+1.4=5.4\mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量问题中的基础应用，解题的关键是结合图形找出相似三角形，计算前要注意统一长度单位，避免因单位不统一导致计算错误。
【难度系数】
0.7
7.如图，某超市在一楼至二楼之间安装扶梯，天花板与地面平行，张强扛着箱子（人与箱子的总高度约为2.2 m）乘扶梯刚好完全通过，根据图中的数据可得两层楼之间的高约为（
A.5.5 m
B.6.2 m
C.11 m
D.2.2 m
A
）。A.5.5 m
B.6.2 m
C.11 m
D.2.2 m
答案
7.A
解析
【分析】
这是一道利用相似三角形解决实际测高的问题，首先观察图形可知，扶梯、二楼天花板、竖直方向构成的小直角三角形，和扶梯、一楼地面、竖直墙面构成的大直角三角形，有公共的锐角（扶梯与水平方向的夹角），且都为直角三角形，因此两个三角形相似。我们设两层楼高为$ h $，找到两个三角形的对应边：小三角形的水平直角边为4m，竖直直角边为2.2m；大三角形的水平直角边为10m，竖直直角边为楼高$ h $，根据相似三角形对应边成比例列方程，即可求解出楼高。
【解析】
解：设两层楼之间的高度为$ h $ m。
由题意得，天花板与地面平行，两个直角三角形有公共锐角，因此两个直角三角形相似。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{4}{10}=\frac{2.2}{h}$
解得：
$h=\frac{2.2×10}{4}=5.5$
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
这道题结合生活中的扶梯场景考查相似三角形的应用，解题关键是准确找到相似的直角三角形，理清对应边的比例关系，将实际问题转化为数学比例问题求解，体现了数学知识在生活中的实用性。
【难度系数】
0.7
这是一道利用相似三角形解决实际测高的问题，首先观察图形可知，扶梯、二楼天花板、竖直方向构成的小直角三角形，和扶梯、一楼地面、竖直墙面构成的大直角三角形，有公共的锐角（扶梯与水平方向的夹角），且都为直角三角形，因此两个三角形相似。我们设两层楼高为$ h $，找到两个三角形的对应边：小三角形的水平直角边为4m，竖直直角边为2.2m；大三角形的水平直角边为10m，竖直直角边为楼高$ h $，根据相似三角形对应边成比例列方程，即可求解出楼高。
【解析】
解：设两层楼之间的高度为$ h $ m。
由题意得，天花板与地面平行，两个直角三角形有公共锐角，因此两个直角三角形相似。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{4}{10}=\frac{2.2}{h}$
解得：
$h=\frac{2.2×10}{4}=5.5$
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
这道题结合生活中的扶梯场景考查相似三角形的应用，解题关键是准确找到相似的直角三角形，理清对应边的比例关系，将实际问题转化为数学比例问题求解，体现了数学知识在生活中的实用性。
【难度系数】
0.7
8.在同一时刻两根木杆在阳光下的影子如图所示，其中木杆$AB=2\ \mathrm{m}$，它的影子$BC=1.6\ \mathrm{m}$，木杆$PQ$的影子有一部分落在了墙上，$PM=1.2\ \mathrm{m}$，$MN=0.8\ \mathrm{m}$，则木杆$PQ$的长度为
2.3 m
。答案
8.2.3 m
解析
【分析】
本题利用平行投影的性质解题，思考步骤如下：1. 同一时刻的太阳光下，直立物体的高度与它在地面上的影长的比值是固定值，先通过已知木杆AB和它的影子BC求出这个比值；2. 落在墙上的影子MN对应的木杆高度与MN相等，PQ剩余部分的影长就是地面上的PM长度；3. 根据比值相等列算式求解剩余部分的高度，再加上MN的长度就能得到PQ的总长度。
【解析】
解：同一时刻阳光下，物体高度与地面影长的比值相等。
先计算物高与影长的比值：
$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{1.6}=\frac{5}{4}$
木杆PQ中，对应墙上影子MN的高度就是$MN=0.8\ \mathrm{m}$，剩余部分的影长为$PM=1.2\ \mathrm{m}$，设剩余部分高度为$h$：
$\frac{h}{PM}=\frac{AB}{BC}$
代入数值得：$\frac{h}{1.2}=\frac{2}{1.6}$
解得$h=\frac{2×1.2}{1.6}=1.5\ \mathrm{m}$
因此木杆总长度$PQ=h+MN=1.5+0.8=2.3\ \mathrm{m}$
【答案】
2.3 m
【知识点】
平行投影的性质，相似三角形测高
【点评】
本题是相似三角形测高的典型题型，解题的关键是正确处理落在墙上的影子，明确墙上影子的长度就是对应部分木杆的高度，剩余部分木杆的影长为地面上的影子长度，掌握平行投影的规律就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
本题利用平行投影的性质解题，思考步骤如下：1. 同一时刻的太阳光下，直立物体的高度与它在地面上的影长的比值是固定值，先通过已知木杆AB和它的影子BC求出这个比值；2. 落在墙上的影子MN对应的木杆高度与MN相等，PQ剩余部分的影长就是地面上的PM长度；3. 根据比值相等列算式求解剩余部分的高度，再加上MN的长度就能得到PQ的总长度。
【解析】
解：同一时刻阳光下，物体高度与地面影长的比值相等。
先计算物高与影长的比值：
$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{1.6}=\frac{5}{4}$
木杆PQ中，对应墙上影子MN的高度就是$MN=0.8\ \mathrm{m}$，剩余部分的影长为$PM=1.2\ \mathrm{m}$，设剩余部分高度为$h$：
$\frac{h}{PM}=\frac{AB}{BC}$
代入数值得：$\frac{h}{1.2}=\frac{2}{1.6}$
解得$h=\frac{2×1.2}{1.6}=1.5\ \mathrm{m}$
因此木杆总长度$PQ=h+MN=1.5+0.8=2.3\ \mathrm{m}$
【答案】
2.3 m
【知识点】
平行投影的性质，相似三角形测高
【点评】
本题是相似三角形测高的典型题型，解题的关键是正确处理落在墙上的影子，明确墙上影子的长度就是对应部分木杆的高度，剩余部分木杆的影长为地面上的影子长度，掌握平行投影的规律就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
9.一天晚上,小明和小龙利用灯光下的影长来测量一路灯 D 的高度。如图,当小明走到点 A 处时,小龙测得小明直立身高 AM 与其影长 AE 正好相等,接着小明沿AC方向继续向路灯方向走,走到点 B 处时,小明的影子恰好是线段 AB,并测得AB=1.25 m。已知小明直立时的身高为1.75 m,求路灯的高 CD。(结果精确到0.1 m)
答案
9.解:设路灯的高 $CD$ 为 $x\ \mathrm{m}$。
易得 $AM⊥ EC,CD⊥ EC,BN⊥ EC$,
$\therefore AM// CD,BN// CD$,
$\therefore△ ABN∽△ ACD,△ EAM∽△ ECD$。
$\therefore\frac{BN}{CD}=\frac{AB}{AC},\frac{AM}{CD}=\frac{EA}{EC}$。
$\because EA=AM$,
$\therefore EC=CD=x\ \mathrm{m}$。
$\therefore\frac{1.75}{x}=\frac{1.25}{x-1.75}$,
解得 $x=6.125\approx6.1$,
$\therefore$路灯的高 $CD$ 约为 $6.1\ \mathrm{m}$。
易得 $AM⊥ EC,CD⊥ EC,BN⊥ EC$,
$\therefore AM// CD,BN// CD$,
$\therefore△ ABN∽△ ACD,△ EAM∽△ ECD$。
$\therefore\frac{BN}{CD}=\frac{AB}{AC},\frac{AM}{CD}=\frac{EA}{EC}$。
$\because EA=AM$,
$\therefore EC=CD=x\ \mathrm{m}$。
$\therefore\frac{1.75}{x}=\frac{1.25}{x-1.75}$,
解得 $x=6.125\approx6.1$,
$\therefore$路灯的高 $CD$ 约为 $6.1\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
要解决路灯高度的测量问题，我们可以借助相似三角形的性质求解：首先观察图形特征，小明的身高、路灯高度均与地面垂直，因此可得到多组平行线，进而推导出相似三角形。第一步，由$AM⊥EC$、$CD⊥EC$可得$AM// CD$，推出$△ EAM∽△ ECD$，结合已知$AE=AM$，可得出$EC=CD$，将$EC$的长度和待求的$CD$高度关联，减少未知量。第二步，由$BN⊥EC$可得$BN// CD$，推出$△ ABN∽△ ACD$，设$CD$为$x\ \mathrm{m}$，即可用含$x$的式子表示$AC$的长度，再根据相似三角形对应边成比例列方程，解方程即可得到$CD$的高度。
【解析】
解：设路灯的高 $CD$ 为 $x\ \mathrm{m}$。
由题意得 $AM⊥ EC,CD⊥ EC,BN⊥ EC$，
$\therefore AM// CD,BN// CD$，
$\therefore△ ABN∽△ ACD,△ EAM∽△ ECD$，
$\therefore\frac{BN}{CD}=\frac{AB}{AC},\frac{AM}{CD}=\frac{EA}{EC}$。
$\because EA=AM=1.75\ \mathrm{m}$，
$\therefore EC=CD=x\ \mathrm{m}$，$AC=EC-EA=x-1.75$，
代入比例式得：$\frac{1.75}{x}=\frac{1.25}{x-1.75}$，
解得 $x=6.125\approx6.1$。
【答案】
路灯的高$CD$约为$\boxed{6.1\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的典型应用，解题核心是将生活场景转化为几何相似模型，通过两组相似三角形的边的对应关系建立方程求解，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的建模能力。
【难度系数】
0.7
要解决路灯高度的测量问题，我们可以借助相似三角形的性质求解：首先观察图形特征，小明的身高、路灯高度均与地面垂直，因此可得到多组平行线，进而推导出相似三角形。第一步，由$AM⊥EC$、$CD⊥EC$可得$AM// CD$，推出$△ EAM∽△ ECD$，结合已知$AE=AM$，可得出$EC=CD$，将$EC$的长度和待求的$CD$高度关联，减少未知量。第二步，由$BN⊥EC$可得$BN// CD$，推出$△ ABN∽△ ACD$，设$CD$为$x\ \mathrm{m}$，即可用含$x$的式子表示$AC$的长度，再根据相似三角形对应边成比例列方程，解方程即可得到$CD$的高度。
【解析】
解：设路灯的高 $CD$ 为 $x\ \mathrm{m}$。
由题意得 $AM⊥ EC,CD⊥ EC,BN⊥ EC$，
$\therefore AM// CD,BN// CD$，
$\therefore△ ABN∽△ ACD,△ EAM∽△ ECD$，
$\therefore\frac{BN}{CD}=\frac{AB}{AC},\frac{AM}{CD}=\frac{EA}{EC}$。
$\because EA=AM=1.75\ \mathrm{m}$，
$\therefore EC=CD=x\ \mathrm{m}$，$AC=EC-EA=x-1.75$，
代入比例式得：$\frac{1.75}{x}=\frac{1.25}{x-1.75}$，
解得 $x=6.125\approx6.1$。
【答案】
路灯的高$CD$约为$\boxed{6.1\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的典型应用，解题核心是将生活场景转化为几何相似模型，通过两组相似三角形的边的对应关系建立方程求解，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的建模能力。
【难度系数】
0.7
10.【数学应用】某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度,采用以下方法:如图,把支架(EF)放在离树(AB)适当距离的水平地面上的点F处,再把镜子水平放在支架(EF)上的点E处,然后沿着直线BF后退至点D处,这时恰好在镜子里看到树的顶端A,再用皮尺分别测量BF,DF,EF的长和观测者的目高CD,利用测得的数据可以求出这棵树的高度。已知$CD⊥ BD$于点D,$EF⊥ BD$于点F,$AB⊥ BD$于点B,$BF=6\ \mathrm{m},DF=2\ \mathrm{m},EF=0.5\ \mathrm{m},CD=1.7\ \mathrm{m}$,则这棵树的高度(AB的长)是
4.1
m。答案
10.4.1
解析
【分析】
本题是利用相似三角形测量高度的实际应用题，解题思路如下：首先根据光的反射定律可得两个角相等，再通过作辅助线构造两个直角三角形，结合已知的垂直关系可证明这两个直角三角形相似；接着根据相似三角形对应边成比例的性质列出关于AB的比例式，最后代入已知数据计算即可得到树高AB的长度。
【解析】
过点C作$CH ⊥ EF$，垂足为H，过点A作$AG ⊥ EF$，垂足为G，
则$∠ CHE = ∠ AGE = 90°$。
由题意可知：$CH=DF=2\ \mathrm{m}$，$HE=CD-EF=1.7-0.5=1.2\ \mathrm{m}$，$AG=BF=6\ \mathrm{m}$，$GE=AB-EF=AB-0.5$。
根据光的反射定律，入射角等于反射角，可得$∠ CEH = ∠ AEG$，
$\therefore △ CHE ∽ △ AGE$。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{HE}{GE}=\frac{CH}{AG}$，
代入数据得：$\frac{1.2}{AB-0.5}=\frac{2}{6}$，
解得$AB=4.1$。
【答案】
4.1
【知识点】
相似三角形的应用；相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的测量场景考查相似三角形的应用，解题的关键是利用反射定律找到相等的角，正确构造相似三角形，再结合相似三角形的性质列方程求解，能够帮助学生理解数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
本题是利用相似三角形测量高度的实际应用题，解题思路如下：首先根据光的反射定律可得两个角相等，再通过作辅助线构造两个直角三角形，结合已知的垂直关系可证明这两个直角三角形相似；接着根据相似三角形对应边成比例的性质列出关于AB的比例式，最后代入已知数据计算即可得到树高AB的长度。
【解析】
过点C作$CH ⊥ EF$，垂足为H，过点A作$AG ⊥ EF$，垂足为G，
则$∠ CHE = ∠ AGE = 90°$。
由题意可知：$CH=DF=2\ \mathrm{m}$，$HE=CD-EF=1.7-0.5=1.2\ \mathrm{m}$，$AG=BF=6\ \mathrm{m}$，$GE=AB-EF=AB-0.5$。
根据光的反射定律，入射角等于反射角，可得$∠ CEH = ∠ AEG$，
$\therefore △ CHE ∽ △ AGE$。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{HE}{GE}=\frac{CH}{AG}$，
代入数据得：$\frac{1.2}{AB-0.5}=\frac{2}{6}$，
解得$AB=4.1$。
【答案】
4.1
【知识点】
相似三角形的应用；相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的测量场景考查相似三角形的应用，解题的关键是利用反射定律找到相等的角，正确构造相似三角形，再结合相似三角形的性质列方程求解，能够帮助学生理解数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
