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11.在《数书九章》中记载了一个测量塔高的问题:如图,AB表示塔的高度,CD表示竹竿顶端到地面的高度,EF表示人眼到地面的高度,AB,CD,EF在同一平面内,点A,C,E在一条水平直线上。已知AC=20 m,CE=10 m,CD=7 m,EF=1.4 m,人从点F远眺塔顶B,视线恰好经过竹竿的顶端D,可求出塔的高度。根据以上信息,塔的高度为
18.2
m。答案
11.18.2
解析
【分析】
本题可通过构造相似三角形求解塔高：首先过点F作水平直线，分别交CD、AB于点G、H，可得△FDG与△FBH相似；先计算出DG、FG、FH的长度，再利用相似三角形对应边成比例求出BH的长度，最后将BH与AH（即EF的长度）相加，即可得到塔高AB。
【解析】
过点F作FH⊥AB于点H，交CD于点G，由题意可得：
四边形AHFE、四边形CGFE均为矩形，因此：
AH=CG=EF=1.4m，FG=CE=10m，FH=AC+CE=20+10=30m，
则DG=CD - CG=7 - 1.4=5.6m。
∵CD⊥AE，AB⊥AE，
∴DG//BH，
∴△FDG∽△FBH，
∴$\frac{DG}{BH}=\frac{FG}{FH}$，
代入数值：$\frac{5.6}{BH}=\frac{10}{30}$，
解得：$BH=16.8$m，
因此塔高$AB=BH+AH=16.8+1.4=18.2$m。
【答案】
18.2
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量问题中的典型应用，核心是将实际问题转化为几何相似模型，找准相似三角形的对应边，结合已知条件列式计算即可，解题时要注意辅助线的正确构造。
【难度系数】
0.7
本题可通过构造相似三角形求解塔高：首先过点F作水平直线，分别交CD、AB于点G、H，可得△FDG与△FBH相似；先计算出DG、FG、FH的长度，再利用相似三角形对应边成比例求出BH的长度，最后将BH与AH（即EF的长度）相加，即可得到塔高AB。
【解析】
过点F作FH⊥AB于点H，交CD于点G，由题意可得：
四边形AHFE、四边形CGFE均为矩形，因此：
AH=CG=EF=1.4m，FG=CE=10m，FH=AC+CE=20+10=30m，
则DG=CD - CG=7 - 1.4=5.6m。
∵CD⊥AE，AB⊥AE，
∴DG//BH，
∴△FDG∽△FBH，
∴$\frac{DG}{BH}=\frac{FG}{FH}$，
代入数值：$\frac{5.6}{BH}=\frac{10}{30}$，
解得：$BH=16.8$m，
因此塔高$AB=BH+AH=16.8+1.4=18.2$m。
【答案】
18.2
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量问题中的典型应用，核心是将实际问题转化为几何相似模型，找准相似三角形的对应边，结合已知条件列式计算即可，解题时要注意辅助线的正确构造。
【难度系数】
0.7
12.【数学应用】数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB。测量和计算的部分步骤如下：
①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的水平距离CD=2 m，小明的眼睛E到地面的距离ED=1.5 m；
②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10 m到点F处，小明向后移动到H处时，小明的眼睛在G处又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的水平距离FH=3 m；
③计算树的高度AB。
解:设AB=x m，BC=y m。
∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC∽△EDC。
∴$\frac{AB}{ED}=\frac{BC}{DC}$……
请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算步骤补充完整。
①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的水平距离CD=2 m，小明的眼睛E到地面的距离ED=1.5 m；
②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10 m到点F处，小明向后移动到H处时，小明的眼睛在G处又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的水平距离FH=3 m；
③计算树的高度AB。
解:设AB=x m，BC=y m。
∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC∽△EDC。
∴$\frac{AB}{ED}=\frac{BC}{DC}$……
请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算步骤补充完整。
答案
12.解:补充的剩余步骤:
即$\frac{x}{1.5}=\frac{y}{2}$。
$\because∠ ABF=∠ GHF=90°,∠ AFB=∠ GFH$,
$\therefore△ ABF∽△ GHF$。
$\therefore\frac{AB}{GH}=\frac{BF}{HF},即\frac{x}{1.5}=\frac{y+10}{3}$,
$\therefore\frac{y}{2}=\frac{y+10}{3}$,
解得 $y=20$。
把 $y=20$ 代入$\frac{x}{1.5}=\frac{y}{2}$中,得$\frac{x}{1.5}=\frac{20}{2}$,
解得 $x=15$。
$\therefore$树的高度 $AB$ 为 $15\ \mathrm{m}$。
即$\frac{x}{1.5}=\frac{y}{2}$。
$\because∠ ABF=∠ GHF=90°,∠ AFB=∠ GFH$,
$\therefore△ ABF∽△ GHF$。
$\therefore\frac{AB}{GH}=\frac{BF}{HF},即\frac{x}{1.5}=\frac{y+10}{3}$,
$\therefore\frac{y}{2}=\frac{y+10}{3}$,
解得 $y=20$。
把 $y=20$ 代入$\frac{x}{1.5}=\frac{y}{2}$中,得$\frac{x}{1.5}=\frac{20}{2}$,
解得 $x=15$。
$\therefore$树的高度 $AB$ 为 $15\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
本题是利用镜面反射原理结合相似三角形测量物体高度的实际应用题，解题思路如下：1. 先根据题目已给出的△ABC∽△EDC，写出对应边成比例的关系式，得到关于树高x、BC长度y的第一个方程；2. 第二次移动镜子后，根据镜面反射入射角等于反射角的规律可得∠AFB=∠GFH，结合AB、GH都垂直于地面的条件，可判定△ABF∽△GHF，再写出对应边成比例的关系式，得到第二个关于x和y的方程；3. 联立两个方程，消去x先求解y的值，再代入方程即可求出x，也就是树的高度AB。
【解析】
补充剩余计算步骤如下：
即$\frac{x}{1.5}=\frac{y}{2}$。
$\because∠ABF=∠GHF=90°$，根据镜面反射原理，入射角等于反射角，可得$∠AFB=∠GFH$，
$\therefore△ ABF∽△ GHF$。
$\therefore\frac{AB}{GH}=\frac{BF}{HF}$，其中$GH=ED=1.5\ \mathrm{m}$，$BF=BC+CF=y+10$，$HF=3\ \mathrm{m}$，即$\frac{x}{1.5}=\frac{y+10}{3}$。
联立两个等式可得$\frac{y}{2}=\frac{y+10}{3}$，
交叉相乘得$3y=2(y+10)$，解得 $y=20$。
把 $y=20$ 代入$\frac{x}{1.5}=\frac{y}{2}$中，得$\frac{x}{1.5}=\frac{20}{2}$，
解得 $x=15$。
【答案】
树的高度$AB$为$15\ \mathrm{m}$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，结合镜面反射原理构造两组相似三角形，通过建立方程求解未知高度，既考查了相似三角形对应边成比例的性质应用，也锻炼了将实际问题转化为数学几何模型的能力。
【难度系数】
0.7
本题是利用镜面反射原理结合相似三角形测量物体高度的实际应用题，解题思路如下：1. 先根据题目已给出的△ABC∽△EDC，写出对应边成比例的关系式，得到关于树高x、BC长度y的第一个方程；2. 第二次移动镜子后，根据镜面反射入射角等于反射角的规律可得∠AFB=∠GFH，结合AB、GH都垂直于地面的条件，可判定△ABF∽△GHF，再写出对应边成比例的关系式，得到第二个关于x和y的方程；3. 联立两个方程，消去x先求解y的值，再代入方程即可求出x，也就是树的高度AB。
【解析】
补充剩余计算步骤如下：
即$\frac{x}{1.5}=\frac{y}{2}$。
$\because∠ABF=∠GHF=90°$，根据镜面反射原理，入射角等于反射角，可得$∠AFB=∠GFH$，
$\therefore△ ABF∽△ GHF$。
$\therefore\frac{AB}{GH}=\frac{BF}{HF}$，其中$GH=ED=1.5\ \mathrm{m}$，$BF=BC+CF=y+10$，$HF=3\ \mathrm{m}$，即$\frac{x}{1.5}=\frac{y+10}{3}$。
联立两个等式可得$\frac{y}{2}=\frac{y+10}{3}$，
交叉相乘得$3y=2(y+10)$，解得 $y=20$。
把 $y=20$ 代入$\frac{x}{1.5}=\frac{y}{2}$中，得$\frac{x}{1.5}=\frac{20}{2}$，
解得 $x=15$。
【答案】
树的高度$AB$为$15\ \mathrm{m}$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，结合镜面反射原理构造两组相似三角形，通过建立方程求解未知高度，既考查了相似三角形对应边成比例的性质应用，也锻炼了将实际问题转化为数学几何模型的能力。
【难度系数】
0.7
