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活动1 哪个积最大
【活动初探】
观察下列两个两位数的积(两个乘数的十位上的数字都是9，个位上的数字的和等于10)，你能用二次函数的知识说明其中哪个积最大吗？
91×99，92×98，…，98×92，99×91.
(1)小明的解法如下，请你代他将下面的解题过程补充完整：
解：设两个两位数的积为y，其中一个乘数的个位上的数字为x，则另一个乘数个位上的数字为(10−x).根据题意，得
$y=(90+x)[90+(10−x)]$，
配方后得到二次函数顶点式为
∵
∴当$x=$
∴
【类比深探】
观察下列两个三位数的积(两个乘数的百位上的数字都是6，十位上的数字与个位上的数字组成的数的和等于100)，猜想其中哪个积最大.
601×699，602×698，603×697，…，697×603，698×602，699×601.
(2)请猜想其中哪个积最大，并类比小明的解法运用二次函数的知识说明理由.
活动2 刹车距离与刹车时车速的关系
【综合与实践】
某数学小组为了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查阅资料获得以下信息.
材料一：由于司机的反应和惯性的作用.从司机发现情况到车辆完全停止这段时间，车辆驶过的距离称为制动非安全距离.从司机发现情况到刹车起作用这段时间，车辆行驶的距离称为反应距离，这段距离总共需要的反应时间为0.6 s，从刹车起作用到车辆最后停止这段时间，车辆行驶的距离称为制动距离.制动非安全距离示意图如图.
材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能(车速不超过150 km/h)进行测试，测得数据如下表：
【探究任务】
(1)以车速$x$为横坐标，制动距离$y$为纵坐标，在平面直角坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点；已知$y$与$x$满足函数关系式$y=\frac{1}{500}x^2 + bx$，请根据上面提供的数据，求出$b$的值.
(2)若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为15 m，请通过计算估计该款汽车制动时的车速.
(3)若某司机驾驶这种新型汽车以80 km/h的速度在快速路上行驶，发现前方40 m处有一障碍物，司机紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由.
【活动初探】
观察下列两个两位数的积(两个乘数的十位上的数字都是9，个位上的数字的和等于10)，你能用二次函数的知识说明其中哪个积最大吗？
91×99，92×98，…，98×92，99×91.
(1)小明的解法如下，请你代他将下面的解题过程补充完整：
解：设两个两位数的积为y，其中一个乘数的个位上的数字为x，则另一个乘数个位上的数字为(10−x).根据题意，得
$y=(90+x)[90+(10−x)]$，
配方后得到二次函数顶点式为
$y=-(x-5)^2+9025$
$(x=1,2,3,···,8,9)$.∵
$-1＜0$
，∴当$x=$
$5$
时，$y$有最大值.∴
$95×95$
的积最大.【类比深探】
观察下列两个三位数的积(两个乘数的百位上的数字都是6，十位上的数字与个位上的数字组成的数的和等于100)，猜想其中哪个积最大.
601×699，602×698，603×697，…，697×603，698×602，699×601.
(2)请猜想其中哪个积最大，并类比小明的解法运用二次函数的知识说明理由.
活动2 刹车距离与刹车时车速的关系
【综合与实践】
某数学小组为了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查阅资料获得以下信息.
材料一：由于司机的反应和惯性的作用.从司机发现情况到车辆完全停止这段时间，车辆驶过的距离称为制动非安全距离.从司机发现情况到刹车起作用这段时间，车辆行驶的距离称为反应距离，这段距离总共需要的反应时间为0.6 s，从刹车起作用到车辆最后停止这段时间，车辆行驶的距离称为制动距离.制动非安全距离示意图如图.
材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能(车速不超过150 km/h)进行测试，测得数据如下表：
【探究任务】
(1)以车速$x$为横坐标，制动距离$y$为纵坐标，在平面直角坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点；已知$y$与$x$满足函数关系式$y=\frac{1}{500}x^2 + bx$，请根据上面提供的数据，求出$b$的值.
(2)若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为15 m，请通过计算估计该款汽车制动时的车速.
(3)若某司机驾驶这种新型汽车以80 km/h的速度在快速路上行驶，发现前方40 m处有一障碍物，司机紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由.
答案
(1) 配方后得到二次函数顶点式为$y=-(x-5)^2+9025$，
∵$-1＜0$，
∴当$x=5$时，$y$有最大值，
∴$95×95$的积最大。
(2)猜想 650×650 的积最大.理由如下：
设两个三位数的积为 y,其中一个乘数的十位与个位上的数组成的数为 x,则另一个乘数的十位与个位上的数组成的数为(100−x).根据题意,得
$y=(600+x)(600+100-x)=-(x-50)^2+422500$,
∵$a=-1＜0$,
∴当 x=50 时,y 有最大值.
∴650×650 的积最大.
(1)描点、连线如
所示.∵抛物线经过点(30,7.8),
∴$\frac{1}{500}×900+30b=7.8$,解得 $b=\frac{1}{5}$.
(2)当 y=15 时,$15=\frac{1}{500}x^2+\frac{1}{5}x$,
解得 $x_1=-150$(不合题意,舍去),$x_2=50$.
∴该款汽车制动时的车速约为 50km/h.
(3)有碰撞危险.理由：
当 x=80 时,$y=\frac{1}{500}×80^2+\frac{1}{5}×80=28.8$,
∵反应距离为 $0.6×\frac{80000}{3600}=\frac{40}{3}(m)$,
∴制动非安全距离为 $28.8+\frac{40}{3}=42\frac{2}{15}(m)$.
∵$42\frac{2}{15}＞40$,
∴有碰撞危险.
解析
【分析】
本题分为数字规律探究和刹车距离实际应用两个模块，解题思路如下：1. 活动1（1）：先根据题意列出两数乘积的函数表达式，将二次函数展开后配方为顶点式，根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，开口向下时顶点处函数值最大，对应x的取值即可得到乘积最大的两个数；（2）类比第一问的方法，设出三位数后两位的数值，列函数表达式配方求最值即可。2. 活动2（1）：利用待定系数法，将已知点坐标代入函数解析式求解参数b；（2）将制动距离y=15代入解析式，解一元二次方程后舍去不符合实际意义的负根得到对应车速；（3）先计算车速为80km/h时的制动距离，再将车速换算为国际单位计算反应距离，两者求和得到总制动非安全距离，和40m比较即可判断是否有碰撞危险。
【解析】
活动1
(1) 展开函数表达式并配方：
$y=(90+x)(100-x)=-x^2+10x+9000=-(x-5)^2+9025$
∵二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x=5$时，$y$有最大值，此时两个乘数均为$90+5=95$，即$95×95$的积最大。
(2) 猜想$650×650$的积最大，理由如下：
设两个三位数的积为$y$，其中一个乘数的十位与个位组成的数为$x$，则另一个乘数的十位与个位组成的数为$100-x$，根据题意得：
$y=(600+x)(700-x)=-x^2+100x+420000=-(x-50)^2+422500$
∵$a=-1＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x=50$时，$y$有最大值，此时两个乘数均为$600+50=650$，即$650×650$的积最大。
活动2
(1) 描点、连线结果如所示。
已知$y=\frac{1}{500}x^2+bx$过点$(30,7.8)$，将$x=30,y=7.8$代入解析式得：
$\frac{1}{500}×30^2+30b=7.8$
计算得$1.8+30b=7.8$，解得$b=\frac{1}{5}$。
(2) 当制动距离$y=15$时，代入解析式得：
$15=\frac{1}{500}x^2+\frac{1}{5}x$
整理为标准一元二次方程：$x^2+100x-7500=0$
解得$x_1=-150$（车速为负不符合实际，舍去），$x_2=50$。
(3) 有碰撞危险，理由：
当$x=80$时，制动距离$y=\frac{1}{500}×80^2+\frac{1}{5}×80=28.8m$，
将车速换算为$m/s$：$80km/h=\frac{80000}{3600}m/s$，反应距离为$0.6×\frac{80000}{3600}=\frac{40}{3}m$，
总制动非安全距离为$28.8+\frac{40}{3}=42\frac{2}{15}m$，
∵$42\frac{2}{15}＞40$，因此有碰撞危险。
【答案】
(1) $y=-(x-5)^2+9025$；二次项系数为$-1＜0$，抛物线开口向下；$5$；$95×95$
(2) $650×650$的积最大，理由见解析
(1) 描点、连线如所示，$b=\frac{1}{5}$
(2) 该款汽车制动时的车速约为$\boldsymbol{50km/h}$
(3) 有碰撞危险，理由见解析
【知识点】
二次函数最值求解，待定系数法求解析式，一元二次方程实际应用
【点评】
本题结合数字规律探究和交通出行实际场景出题，既考察了二次函数配方、待定系数法等基础运算能力，又考察了学生结合实际问题取舍解、单位换算的应用能力，贴近生活，综合性较强。
【难度系数】
0.7
本题分为数字规律探究和刹车距离实际应用两个模块，解题思路如下：1. 活动1（1）：先根据题意列出两数乘积的函数表达式，将二次函数展开后配方为顶点式，根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，开口向下时顶点处函数值最大，对应x的取值即可得到乘积最大的两个数；（2）类比第一问的方法，设出三位数后两位的数值，列函数表达式配方求最值即可。2. 活动2（1）：利用待定系数法，将已知点坐标代入函数解析式求解参数b；（2）将制动距离y=15代入解析式，解一元二次方程后舍去不符合实际意义的负根得到对应车速；（3）先计算车速为80km/h时的制动距离，再将车速换算为国际单位计算反应距离，两者求和得到总制动非安全距离，和40m比较即可判断是否有碰撞危险。
【解析】
活动1
(1) 展开函数表达式并配方：
$y=(90+x)(100-x)=-x^2+10x+9000=-(x-5)^2+9025$
∵二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x=5$时，$y$有最大值，此时两个乘数均为$90+5=95$，即$95×95$的积最大。
(2) 猜想$650×650$的积最大，理由如下：
设两个三位数的积为$y$，其中一个乘数的十位与个位组成的数为$x$，则另一个乘数的十位与个位组成的数为$100-x$，根据题意得：
$y=(600+x)(700-x)=-x^2+100x+420000=-(x-50)^2+422500$
∵$a=-1＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x=50$时，$y$有最大值，此时两个乘数均为$600+50=650$，即$650×650$的积最大。
活动2
(1) 描点、连线结果如
所示。已知$y=\frac{1}{500}x^2+bx$过点$(30,7.8)$，将$x=30,y=7.8$代入解析式得：
$\frac{1}{500}×30^2+30b=7.8$
计算得$1.8+30b=7.8$，解得$b=\frac{1}{5}$。
(2) 当制动距离$y=15$时，代入解析式得：
$15=\frac{1}{500}x^2+\frac{1}{5}x$
整理为标准一元二次方程：$x^2+100x-7500=0$
解得$x_1=-150$（车速为负不符合实际，舍去），$x_2=50$。
(3) 有碰撞危险，理由：
当$x=80$时，制动距离$y=\frac{1}{500}×80^2+\frac{1}{5}×80=28.8m$，
将车速换算为$m/s$：$80km/h=\frac{80000}{3600}m/s$，反应距离为$0.6×\frac{80000}{3600}=\frac{40}{3}m$，
总制动非安全距离为$28.8+\frac{40}{3}=42\frac{2}{15}m$，
∵$42\frac{2}{15}＞40$，因此有碰撞危险。
【答案】
(1) $y=-(x-5)^2+9025$；二次项系数为$-1＜0$，抛物线开口向下；$5$；$95×95$
(2) $650×650$的积最大，理由见解析
(1) 描点、连线如
所示，$b=\frac{1}{5}$(2) 该款汽车制动时的车速约为$\boldsymbol{50km/h}$
(3) 有碰撞危险，理由见解析
【知识点】
二次函数最值求解，待定系数法求解析式，一元二次方程实际应用
【点评】
本题结合数字规律探究和交通出行实际场景出题，既考察了二次函数配方、待定系数法等基础运算能力，又考察了学生结合实际问题取舍解、单位换算的应用能力，贴近生活，综合性较强。
【难度系数】
0.7
