11. 填空：
(1)1的平方根是，立方根是，算术平方根是.
(2)立方根是其本身的数是.
(3)$\sqrt[3]{(-8)^2}$的平方根是.
(4)$-\sqrt{64}$的立方根是.

(1)±1 1 1 (2)±1,0 (3)±2 (4)-2

【分析】
解题时首先要明确三类根的定义：①如果一个数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么x叫做a的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；②正数正的平方根叫做它的算术平方根，0的算术平方根是0；③如果一个数x的立方等于a，即$x^3=a$，那么x叫做a的立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。解题时逐问处理：(1)直接根据定义求1对应的三类根；(2)列举验证立方根等于本身的数；(3)(4)先化简式子，再根据定义求对应的根即可。
【解析】
(1) 因为$(\pm1)^2=1$，所以1的平方根是$\pm1$；因为$1^3=1$，所以1的立方根是1；1的算术平方根是其正的平方根，即1。
(2) 验证可得：$0^3=0$，$1^3=1$，$(-1)^3=-1$，因此立方根是其本身的数是$\pm1,0$。
(3) 先计算内层：$(-8)^2=64$，再算立方根：$\sqrt[3]{64}=4$，最后求4的平方根：因为$(\pm2)^2=4$，所以$\sqrt[3]{(-8)^2}$的平方根是$\pm2$。
(4) 先化简：$\sqrt{64}=8$，因此$-\sqrt{64}=-8$，再求立方根：因为$(-2)^3=-8$，所以$-\sqrt{64}$的立方根是$-2$。
【答案】
(1)$\pm1$；$1$；$1$ (2)$\pm1,0$ (3)$\pm2$ (4)$-2$
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义；立方根的定义
【点评】
本题是根的概念基础题，解题的关键是区分平方根和算术平方根的差异，同时求解含运算的式子的根时，要先化简式子再计算，避免因运算顺序错误或者符号混淆失分。
【难度系数】
0.8

12. 求下列各式中的 $ x $ 的值.
(1)$x^3=343$.
(2)$(x-1)^3=125$.

解:(1)因为 $7^3=343$,所以 $x=7$.
(2)因为 $5^3=125$,所以 $x=6$.

【分析】
本题考查利用立方根的定义求解未知数的值，解题思路如下：①第(1)题是x³等于常数的形式，可直接根据立方根的定义，求该常数的立方根得到x的值，注意正数的立方根是唯一的正数；②第(2)题可先将(x-1)看作一个整体，先求出这个整体的立方根，再解简单的一元一次方程得到x的值，解题时可借助熟记的常见整数立方数提高计算效率。
【解析】
(1) 根据立方根的定义：若一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根。
因为$7^3=343$，所以343的立方根是7，即$x=\sqrt[3]{343}=7$。
(2) 将$(x-1)$看作一个整体，因为$5^3=125$，所以125的立方根是5，可得：
$x-1=\sqrt[3]{125}=5$
移项计算得：$x=5+1=6$。
【答案】
(1)$x=7$；(2)$x=6$
【知识点】
立方根的定义，开立方运算，整体思想
【点评】
本题属于立方根的基础计算题，解题核心是掌握立方根的定义，熟记1~10的整数的立方值，遇到括号内含未知数的立方形式时，优先用整体思想化简求解即可。
【难度系数】
0.8

13.一个长方体的长是9 cm，宽是2 cm，高是4 cm，而另一个正方体的体积是它的3倍，求这个正方体的棱长。

解: 因为 $V_{长}=9 × 2 × 4 = 72$($\mathrm{cm}^3$),
所以 $V_{正}=3V_{长}=3 × 72 = 216$($\mathrm{cm}^3$),
所以棱长 $=\sqrt[3]{216}=6(\mathrm{cm})$.
答:正方体的棱长是 6 cm.

【分析】
要计算正方体的棱长，首先需要得到正方体的体积。题目明确正方体体积是长方体体积的3倍，因此第一步先根据长方体体积公式（长×宽×高）算出长方体的体积，再乘3得到正方体的体积；最后根据正方体体积等于棱长的立方，对正方体体积开立方即可求出棱长。
【解析】
解：首先计算长方体的体积：
$V_{\mathrm{长}}=9×2×4=72(\mathrm{cm}^3)$
根据题意，正方体体积是长方体体积的3倍，因此：
$V_{\mathrm{正}}=3V_{\mathrm{长}}=3×72=216(\mathrm{cm}^3)$
设正方体棱长为$a$，由正方体体积公式$V_{\mathrm{正}}=a^3$可得：
$a=\sqrt[3]{216}=6(\mathrm{cm})$
【答案】
正方体的棱长是6 cm
【知识点】
长方体体积计算、正方体体积计算、立方根的应用
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是先利用长方体体积公式推导得到正方体体积，再结合立方根的定义求出棱长，计算量小，掌握基本公式即可解决。
【难度系数】
0.8

14. 如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入水中，容器中的水面升高2 cm.若容器的底面直径是12 cm，求正方体铁块的棱长(π取3).

解:易知正方体铁块的体积为 $π × (\dfrac{12}{2})^2 × 2\approx216(\mathrm{cm}^3)$,
所以正方体铁块的棱长为 $\sqrt[3]{216}=6(\mathrm{cm})$.
答:正方体铁块的棱长为 6 cm.

【分析】
解题的核心是抓住“正方体完全浸没在水中时，水面上升部分的体积等于正方体铁块的体积”这一等量关系。首先计算圆柱形玻璃容器中水面升高2cm的水的体积，得到正方体铁块的体积，再根据正方体体积公式，对体积开立方即可求出正方体的棱长。
【解析】
1. 求圆柱容器的底面半径：
已知容器底面直径为12cm，因此底面半径$r=\frac{12}{2}=6\mathrm{cm}$
2. 计算水面上升部分的体积，即正方体铁块的体积：
圆柱体积公式为$V=π r^2 h$，其中水面升高的高度$h=2\mathrm{cm}$，$π$取3，代入得：
$V_{\mathrm{正方体}}=V_{\mathrm{上升的水}}=3×6^2×2=3×36×2=216(\mathrm{cm}^3)$
3. 求正方体的棱长：
设正方体棱长为$a$，正方体体积公式为$V=a^3$，因此$a=\sqrt[3]{V_{\mathrm{正方体}}}=\sqrt[3]{216}=6(\mathrm{cm})$
【答案】
正方体铁块的棱长为6 cm。
【知识点】
等体积变换，圆柱体积计算，立方根的应用
【点评】
本题属于排水法求物体体积的实际应用题，解题关键是找准等量关系：浸没的物体体积等于水面上升部分的体积，结合立方根的运算即可求解，整体思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7

15. (1)已知$\sqrt[3]{27}=3$，$\sqrt[3]{27000}=30$，$\sqrt[3]{0.027}=0.3$，则$\sqrt[3]{27000000}=$.
(2)已知$\sqrt[3]{64}=4$，$\sqrt[3]{64000}=40$，$\sqrt[3]{0.064}=0.4$，则$\sqrt[3]{0.000064}=$.
(3)从(1)(2)可以看出：被开方数的小数点向左(或右)移动3位，立方根的小数点则向移动位.
(4)如果$\sqrt[3]{x}=a$，那么$\sqrt[3]{1000x}=$，$\sqrt[3]{\frac{x}{1000}}=$.

(1)300 (2)0.04 (3)左(或右) 1 (4)$10a$ $\dfrac{a}{10}$

【分析】
解题时先观察题干给出的几组立方根运算示例，归纳被开方数小数点移动的方向、位数和对应立方根小数点移动的对应关系，再用得到的规律依次求解四个小问。首先对比已知的被开方数变化：若被开方数扩大1000倍（小数点右移3位），立方根对应扩大10倍（小数点右移1位）；若被开方数缩小到原来的$\frac{1}{1000}$（小数点左移3位），立方根对应缩小到原来的$\frac{1}{10}$（小数点左移1位），结合这个规律即可求解所有问题。
【解析】
(1) 对比$\sqrt[3]{27}=3$，被开方数27变为27000000，小数点向右移动了6位（即2次3位），因此立方根的小数点需向右移动2次1位，3向右移动2位得300，故$\sqrt[3]{27000000}=300$。
(2) 对比$\sqrt[3]{0.064}=0.4$，被开方数0.064变为0.000064，小数点向左移动了3位，因此立方根的小数点向左移动1位，0.4向左移动1位得0.04，故$\sqrt[3]{0.000064}=0.04$。
(3) 结合(1)(2)的运算结果可总结规律：被开方数的小数点向左（或右）移动3位，立方根的小数点则向相同方向（左或右）移动1位。
(4) 已知$\sqrt[3]{x}=a$，$\sqrt[3]{1000x}$的被开方数是$x$的1000倍，即$x$小数点右移3位，因此立方根为$a$右移1位，即$10a$；$\sqrt[3]{\frac{x}{1000}}$的被开方数是$x$的$\frac{1}{1000}$，即$x$小数点左移3位，因此立方根为$a$左移1位，即$\frac{a}{10}$。
【答案】
(1)$300$ (2)$0.04$ (3)左(或右)；1 (4)$10a$；$\dfrac{a}{10}$
【知识点】
1. 立方根的性质 2. 立方根移动规律 3. 规律探究
【点评】
本题属于规律探究类基础题，需要先从给出的示例中归纳出立方根随被开方数变化的通用规律，再应用规律解决后续问题，侧重考查归纳推理能力和规律应用能力。
【难度系数】
0.8

16. (1)求下列各式的值：
①$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{8}},-\sqrt[3]{+\dfrac{1}{8}}$.
②$\sqrt[3]{-64},-\sqrt[3]{+64}$.
③$\sqrt[3]{-\dfrac{27}{1000}},-\sqrt[3]{+\dfrac{27}{1000}}$.
(2)通过上述计算，试比较$\sqrt[3]{-a}$与$-\sqrt[3]{a}$的大小.

解:(1)①$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{8}}=-\dfrac{1}{2}$,
$-\sqrt[3]{+\dfrac{1}{8}}=-\dfrac{1}{2}$.
②$\sqrt[3]{-64}=-4,-\sqrt[3]{+64}=-4$.
③$\sqrt[3]{-\dfrac{27}{1000}}=-\dfrac{3}{10}$,
$-\sqrt[3]{+\dfrac{27}{1000}}=-\dfrac{3}{10}$.
(2)$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$.

【分析】
解题思路：首先回忆立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，其中正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。第(1)问先分别找到对应被开方数的立方根，再计算带负号的式子的值；第(2)问对比第(1)问中每组两个式子的计算结果，即可归纳得出$\sqrt[3]{-a}$与$-\sqrt[3]{a}$的大小关系。
【解析】
(1)① 因为$(-\dfrac{1}{2})^3=-\dfrac{1}{8}$，所以$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{8}}=-\dfrac{1}{2}$；
因为$(\dfrac{1}{2})^3=\dfrac{1}{8}$，所以$-\sqrt[3]{+\dfrac{1}{8}}=-\dfrac{1}{2}$。
② 因为$(-4)^3=-64$，所以$\sqrt[3]{-64}=-4$；
因为$4^3=64$，所以$-\sqrt[3]{+64}=-4$。
③ 因为$(-\dfrac{3}{10})^3=-\dfrac{27}{1000}$，所以$\sqrt[3]{-\dfrac{27}{1000}}=-\dfrac{3}{10}$；
因为$(\dfrac{3}{10})^3=\dfrac{27}{1000}$，所以$-\sqrt[3]{+\dfrac{27}{1000}}=-\dfrac{3}{10}$。
(2)观察上述三组计算结果，每组的两个式子的值都相等，因此可得$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$。
【答案】
(1)①$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{8}}=-\dfrac{1}{2}$，$-\sqrt[3]{+\dfrac{1}{8}}=-\dfrac{1}{2}$；
②$\sqrt[3]{-64}=-4$，$-\sqrt[3]{+64}=-4$；
③$\sqrt[3]{-\dfrac{27}{1000}}=-\dfrac{3}{10}$，$-\sqrt[3]{+\dfrac{27}{1000}}=-\dfrac{3}{10}$；
(2)$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$
【知识点】
1.立方根的运算 2.立方根的性质
【点评】
本题从具体的立方根计算出发，引导学生从特殊到一般归纳立方根的符号性质，既巩固了立方根的基本计算能力，也帮助学生理解负数立方根的化简规律，是立方根部分的基础训练题。
【难度系数】
0.9