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1. ★★★(2024·武汉中考)黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度，具体过程如下:
，将无人机垂直上升至距水平地面102 m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是
，将无人机垂直上升至距水平地面102 m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是51
m.(参考数据:tan 63°≈2)答案
1. 51
解析
【分析】
遇到俯角相关的解直角三角形应用题，首先要将俯角转化为直角三角形的内角，通过作辅助线构造直角和矩形，把未知量和已知量关联起来。第一步先利用底端B的俯角和C点的高度，结合三角函数求出水平距离；第二步利用顶端A的45°俯角对应的等腰直角三角形性质，求出C点比A点高的长度；最后用C点的总高度减去高出的长度，即可得到黄鹤楼的高度。
【解析】
过点C作水平线l，过点A作AE⊥l于E，过C作CD⊥地面于D，由题意得CD=102m。
∵ 水平线l与地面平行，AB⊥地面，AE⊥l，
∴ 四边形ABDE是矩形，可得AB=DE，BD=AE。
在Rt△CDB中，俯角为63°，根据平行线内错角相等得∠CBD=63°，
由$\tan∠ CBD=\frac{CD}{BD}$，代入$\tan63°\approx2$，得$BD=\frac{CD}{\tan63°}\approx\frac{102}{2}=51\mathrm{m}$，即$AE=BD=51\mathrm{m}$。
在Rt△CEA中，俯角为45°，得∠CAE=45°，
∴ Rt△CEA是等腰直角三角形，$CE=AE=51\mathrm{m}$。
因此$AB=DE=CD-CE=102-51=51\mathrm{m}$。
【答案】
51
【知识点】
解直角三角形的应用（俯角）、矩形的性质、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题以实际测量黄鹤楼高度为背景，考查将实际问题转化为几何模型的能力，解题关键是合理构造直角三角形，结合三角函数和特殊直角三角形的性质求解，贴近生活，综合性适中。
【难度系数】
0.7
遇到俯角相关的解直角三角形应用题，首先要将俯角转化为直角三角形的内角，通过作辅助线构造直角和矩形，把未知量和已知量关联起来。第一步先利用底端B的俯角和C点的高度，结合三角函数求出水平距离；第二步利用顶端A的45°俯角对应的等腰直角三角形性质，求出C点比A点高的长度；最后用C点的总高度减去高出的长度，即可得到黄鹤楼的高度。
【解析】
过点C作水平线l，过点A作AE⊥l于E，过C作CD⊥地面于D，由题意得CD=102m。
∵ 水平线l与地面平行，AB⊥地面，AE⊥l，
∴ 四边形ABDE是矩形，可得AB=DE，BD=AE。
在Rt△CDB中，俯角为63°，根据平行线内错角相等得∠CBD=63°，
由$\tan∠ CBD=\frac{CD}{BD}$，代入$\tan63°\approx2$，得$BD=\frac{CD}{\tan63°}\approx\frac{102}{2}=51\mathrm{m}$，即$AE=BD=51\mathrm{m}$。
在Rt△CEA中，俯角为45°，得∠CAE=45°，
∴ Rt△CEA是等腰直角三角形，$CE=AE=51\mathrm{m}$。
因此$AB=DE=CD-CE=102-51=51\mathrm{m}$。
【答案】
51
【知识点】
解直角三角形的应用（俯角）、矩形的性质、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题以实际测量黄鹤楼高度为背景，考查将实际问题转化为几何模型的能力，解题关键是合理构造直角三角形，结合三角函数和特殊直角三角形的性质求解，贴近生活，综合性适中。
【难度系数】
0.7
2. (2024·广州中考)2024年6月2日,嫦娥六号着陆器和上升器组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置,在一次试验中,如图,该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点,再垂直下降到着陆点C,从B点测得地面D点的俯角为$36.87°$,$AD=17\ \mathrm{m}$,$BD=10\ \mathrm{m}$.
(1)求$CD$的长;
(2)若模拟装置从A点以每秒2 m的速度匀速下降到B点,求模拟装置从A点下降到B点的时间.(参考数据:$\sin 36.87°\approx0.60$,$\cos 36.87°\approx0.80$,$\tan 36.87°\approx0.75$)
(1)求$CD$的长;
(2)若模拟装置从A点以每秒2 m的速度匀速下降到B点,求模拟装置从A点下降到B点的时间.(参考数据:$\sin 36.87°\approx0.60$,$\cos 36.87°\approx0.80$,$\tan 36.87°\approx0.75$)
答案
2. (1)如图,过点B作BE//CD交AD于点E,由题意可知,∠DBE = 36.87°,
∴ ∠BDC = 36.87°.在△BCD中,∠C = 90°,BD = 10 m,
∵ cos ∠BDC = $\frac{CD}{BD}$,
∴ CD = BD · cos 36.87° ≈10×0.80= 8( m ),即CD的长约为8 m.
(2)
∵ AD = 17 m,CD = 8 m,
∴ AC = $\sqrt{AD^2-CD^2}$ = 15(m).在△BCD中,∠C = 90°,BD = 10 m.
∵ $\sin∠ BDC=\frac{BC}{BD}$,
∴ BC = BD · sin 36.87° ≈ 10× 0.60= 6 ( m ),
∴ AB=AC-BC=15-6=9(m).
∵ 模拟装置从A点以每秒2 m的速度匀速下降到B点,
∴ 模拟装置从A点下降到B点的时间为9÷2=4.5(秒).
解析
【分析】
本题考查解直角三角形的实际应用，解题思路如下：
(1) 要求CD的长，首先根据俯角的定义，过点B作BE//CD，将俯角36.87°转化为Rt△BCD的内角∠BDC，再利用锐角三角函数中的余弦函数，结合已知BD的长度即可求出CD；
(2) 要求下降时间，先求出AB的长度：首先在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的长度，再在Rt△BCD中利用正弦函数求出BC的长度，AB的长度即为AC与BC的差，最后根据“时间=路程÷速度”即可算出下降时间。
【解析】
(1) 如图，过点B作BE//CD交AD于点E，由题意可知∠DBE = 36.87°，
∵ BE//CD，
∴ ∠BDC = ∠DBE = 36.87°。
在Rt△BCD中，∠C = 90°，BD = 10 m，
根据余弦的定义：$\cos ∠ BDC = \frac{CD}{BD}$，
∴ $CD = BD · \cos 36.87° \approx 10×0.80 = 8(\mathrm{m})$。
(2) 在Rt△ACD中，∠C = 90°，AD = 17 m，CD = 8 m，
由勾股定理得：$AC = \sqrt{AD^2 - CD^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = 15(\mathrm{m})$。
在Rt△BCD中，∠C = 90°，BD = 10 m，
根据正弦的定义：$\sin ∠ BDC = \frac{BC}{BD}$，
∴ $BC = BD · \sin 36.87° \approx 10×0.60 = 6(\mathrm{m})$，
∴ $AB = AC - BC = 15 - 6 = 9(\mathrm{m})$。
已知装置下降速度为每秒2 m，
则下降时间为 $9÷2 = 4.5$（秒）。
【答案】
(1) CD的长约为8 m；
(2) 模拟装置从A点下降到B点的时间为4.5秒。
【知识点】
俯角的应用，锐角三角函数，勾股定理
【点评】
本题结合航天时事背景命题，贴近生活实际，主要考查解直角三角形在实际测量问题中的应用，解题的核心是将实际问题中的角度、长度条件转化为直角三角形的边角关系，再结合三角函数和勾股定理求解，注重对学生数学建模能力的考查。
【难度系数】
0.7
本题考查解直角三角形的实际应用，解题思路如下：
(1) 要求CD的长，首先根据俯角的定义，过点B作BE//CD，将俯角36.87°转化为Rt△BCD的内角∠BDC，再利用锐角三角函数中的余弦函数，结合已知BD的长度即可求出CD；
(2) 要求下降时间，先求出AB的长度：首先在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的长度，再在Rt△BCD中利用正弦函数求出BC的长度，AB的长度即为AC与BC的差，最后根据“时间=路程÷速度”即可算出下降时间。
【解析】
(1) 如图，过点B作BE//CD交AD于点E，由题意可知∠DBE = 36.87°，
∵ BE//CD，
∴ ∠BDC = ∠DBE = 36.87°。
在Rt△BCD中，∠C = 90°，BD = 10 m，
根据余弦的定义：$\cos ∠ BDC = \frac{CD}{BD}$，
∴ $CD = BD · \cos 36.87° \approx 10×0.80 = 8(\mathrm{m})$。
(2) 在Rt△ACD中，∠C = 90°，AD = 17 m，CD = 8 m，
由勾股定理得：$AC = \sqrt{AD^2 - CD^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = 15(\mathrm{m})$。
在Rt△BCD中，∠C = 90°，BD = 10 m，
根据正弦的定义：$\sin ∠ BDC = \frac{BC}{BD}$，
∴ $BC = BD · \sin 36.87° \approx 10×0.60 = 6(\mathrm{m})$，
∴ $AB = AC - BC = 15 - 6 = 9(\mathrm{m})$。
已知装置下降速度为每秒2 m，
则下降时间为 $9÷2 = 4.5$（秒）。
【答案】
(1) CD的长约为8 m；
(2) 模拟装置从A点下降到B点的时间为4.5秒。
【知识点】
俯角的应用，锐角三角函数，勾股定理
【点评】
本题结合航天时事背景命题，贴近生活实际，主要考查解直角三角形在实际测量问题中的应用，解题的核心是将实际问题中的角度、长度条件转化为直角三角形的边角关系，再结合三角函数和勾股定理求解，注重对学生数学建模能力的考查。
【难度系数】
0.7
3. ★★★ (2024·天津中考)综合与实践活动中,要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度(如图①).某学习小组设计了一个方案:如图②,点C,D,E依次在同一条水平直线上,DE=36 m,EC⊥AB,垂足为C. 在D处测得桥塔顶部B的仰角(∠CDB)为45°,测得桥塔底部A的俯角(∠CDA)为6°,又在E处测得桥塔顶部B的仰角(∠CEB)为31°.
(1)求线段CD的长(结果取整数);
(2)求桥塔AB的高度(结果取整数).(参考数据:$\tan 31° \approx 0.6$, $\tan 6° \approx 0.1$)
＞＞进一步挑战进阶专题:P132 专题13
(1)求线段CD的长(结果取整数);
(2)求桥塔AB的高度(结果取整数).(参考数据:$\tan 31° \approx 0.6$, $\tan 6° \approx 0.1$)
＞＞进一步挑战进阶专题:P132 专题13
答案
3. (1)设 CD = x m,由 DE = 36 m 得 CE = CD + DE = (x + 36) m.
∵ EC⊥AB,垂足为 C,
∴ ∠BCE = ∠ACD = 90°.在 Rt△BCD 中,
$\tan∠ CDB=\frac{BC}{CD}$,∠CDB = 45°,
∴ BC = CD · tan∠CDB = x · tan 45° =
x(m).在 Rt△BCE 中,$\tan∠ CEB=\frac{BC}{CE}$,∠CEB = 31°,
∴ BC = CE ·
$\tan∠ CEB=(x+36)·\tan31°$(m).
∴ $x=(x+36)·\tan31°$,解得 $x=$
$\frac{36×\tan31°}{1-\tan31°}\approx\frac{36×0.6}{1-0.6}=54$.答:线段 CD 的长约为 54 m.
(2)在 Rt△ACD 中,$\tan∠ CDA=\frac{AC}{CD}$,∠CDA = 6°,
∴ AC = CD ·
$\tan∠ CDA\approx54×0.1=5.4$( m ),
∴ AB=AC+BC≈5.4+54≈59( m ).
答:桥塔 AB 的高度约为 59 m.
∵ EC⊥AB,垂足为 C,
∴ ∠BCE = ∠ACD = 90°.在 Rt△BCD 中,
$\tan∠ CDB=\frac{BC}{CD}$,∠CDB = 45°,
∴ BC = CD · tan∠CDB = x · tan 45° =
x(m).在 Rt△BCE 中,$\tan∠ CEB=\frac{BC}{CE}$,∠CEB = 31°,
∴ BC = CE ·
$\tan∠ CEB=(x+36)·\tan31°$(m).
∴ $x=(x+36)·\tan31°$,解得 $x=$
$\frac{36×\tan31°}{1-\tan31°}\approx\frac{36×0.6}{1-0.6}=54$.答:线段 CD 的长约为 54 m.
(2)在 Rt△ACD 中,$\tan∠ CDA=\frac{AC}{CD}$,∠CDA = 6°,
∴ AC = CD ·
$\tan∠ CDA\approx54×0.1=5.4$( m ),
∴ AB=AC+BC≈5.4+54≈59( m ).
答:桥塔 AB 的高度约为 59 m.
解析
【分析】
对于第(1)问，要求CD的长度，可借助BC是Rt△BCD和Rt△BCE公共边的特点建立等量关系：先设CD为x m，可得CE=(x+36)m，分别在两个直角三角形中用含x的式子表示BC的长度，联立列方程即可求解。对于第(2)问，AB的长度为AC与BC的和，BC的长度可由第(1)问结果直接得到，AC在Rt△ACD中，结合CD的长度和∠CDA的正切值即可求出，最后求和取整得到AB高度。
【解析】
(1) 设 $CD = x$ m，由 $DE = 36$ m 得 $CE = CD + DE = (x + 36)$ m。
∵ $EC⊥AB$，垂足为 $C$，
∴ $∠ BCE = ∠ ACD = 90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中，$\tan∠ CDB=\frac{BC}{CD}$，$∠ CDB = 45°$，
∴ $BC = CD · \tan∠ CDB = x · \tan 45° = x$ (m)。
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中，$\tan∠ CEB=\frac{BC}{CE}$，$∠ CEB = 31°$，
∴ $BC = CE · \tan∠ CEB=(x+36)·\tan31°$ (m)。
∴ $x=(x+36)·\tan31°$，
代入$\tan 31° \approx 0.6$，解得 $x=\frac{36×\tan31°}{1-\tan31°}\approx\frac{36×0.6}{1-0.6}=54$。
(2) 在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，$\tan∠ CDA=\frac{AC}{CD}$，$∠ CDA = 6°$，
∴ $AC = CD · \tan∠ CDA\approx54×0.1=5.4$ (m)，
∴ $AB=AC+BC\approx5.4+54\approx59$ (m)。
【答案】
(1) 线段CD的长约为54 m；
(2) 桥塔AB的高度约为59 m。
【知识点】
解直角三角形应用，仰俯角问题，锐角三角函数计算
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的典型题型，解题核心是找准不同直角三角形中公共边的等量关系，通过设未知数列方程求解，既考查了对仰角、俯角概念的理解，也考查了利用三角函数边角关系解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
对于第(1)问，要求CD的长度，可借助BC是Rt△BCD和Rt△BCE公共边的特点建立等量关系：先设CD为x m，可得CE=(x+36)m，分别在两个直角三角形中用含x的式子表示BC的长度，联立列方程即可求解。对于第(2)问，AB的长度为AC与BC的和，BC的长度可由第(1)问结果直接得到，AC在Rt△ACD中，结合CD的长度和∠CDA的正切值即可求出，最后求和取整得到AB高度。
【解析】
(1) 设 $CD = x$ m，由 $DE = 36$ m 得 $CE = CD + DE = (x + 36)$ m。
∵ $EC⊥AB$，垂足为 $C$，
∴ $∠ BCE = ∠ ACD = 90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中，$\tan∠ CDB=\frac{BC}{CD}$，$∠ CDB = 45°$，
∴ $BC = CD · \tan∠ CDB = x · \tan 45° = x$ (m)。
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中，$\tan∠ CEB=\frac{BC}{CE}$，$∠ CEB = 31°$，
∴ $BC = CE · \tan∠ CEB=(x+36)·\tan31°$ (m)。
∴ $x=(x+36)·\tan31°$，
代入$\tan 31° \approx 0.6$，解得 $x=\frac{36×\tan31°}{1-\tan31°}\approx\frac{36×0.6}{1-0.6}=54$。
(2) 在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，$\tan∠ CDA=\frac{AC}{CD}$，$∠ CDA = 6°$，
∴ $AC = CD · \tan∠ CDA\approx54×0.1=5.4$ (m)，
∴ $AB=AC+BC\approx5.4+54\approx59$ (m)。
【答案】
(1) 线段CD的长约为54 m；
(2) 桥塔AB的高度约为59 m。
【知识点】
解直角三角形应用，仰俯角问题，锐角三角函数计算
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的典型题型，解题核心是找准不同直角三角形中公共边的等量关系，通过设未知数列方程求解，既考查了对仰角、俯角概念的理解，也考查了利用三角函数边角关系解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
