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1. ★★★（2024·眉山中考）如图，斜坡CD的坡度$i=1:2$，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为$60°$时，大树在斜坡上的影子BE长为10 m，则大树AB的高为
$(4 \sqrt{15}-2\sqrt{5})$
m.答案
1. $(4 \sqrt{15}-2\sqrt{5})$
解析
【分析】
解决本题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将坡度、太阳光夹角的条件转化为直角三角形的边角关系求解：①首先过E作水平直线，与AB的延长线交于点F，得到两个直角三角形Rt△BEF和Rt△AEF；②先利用斜坡的坡度定义，结合BE的长度求出BF（B到E的竖直高度差）和EF（B到E的水平距离）；③再利用太阳光与水平面60°夹角的条件，通过正切函数求出AF的长度，最后用AF减去BF即可得到AB的高度。
【解析】
解：过点E作水平直线EF，交AB的延长线于点F，故EF⊥AB，$∠ F=90°$。
∵斜坡CD的坡度$i=1:2$，即竖直高度$:$水平宽度$=1:2$，
∴设$BF=x\ \mathrm{m}$，则$EF=2x\ \mathrm{m}$，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：$BE=\sqrt{BF^2+EF^2}=\sqrt{x^2+(2x)^2}=\sqrt{5}x$，
已知$BE=10\ \mathrm{m}$，
∴$\sqrt{5}x=10$，解得$x=2\sqrt{5}$，
∴$BF=2\sqrt{5}\ \mathrm{m}$，$EF=4\sqrt{5}\ \mathrm{m}$。
∵太阳光与水平面的夹角为$60°$，
∴$∠ AEF=60°$，
在Rt△AEF中，$\tan60°=\frac{AF}{EF}$，
∴$AF=EF·\tan60°=4\sqrt{5}×\sqrt{3}=4\sqrt{15}\ \mathrm{m}$，
∴$AB=AF-BF=(4\sqrt{15}-2\sqrt{5})\ \mathrm{m}$。
【答案】
$(4 \sqrt{15}-2\sqrt{5})$
【知识点】
解直角三角形应用，坡度坡角问题，锐角三角函数应用
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类题型，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形，准确理解坡度的定义，结合锐角三角函数的边角关系求解，需要注意区分坡度是竖直高度与水平宽度的比值，避免颠倒比例出错。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将坡度、太阳光夹角的条件转化为直角三角形的边角关系求解：①首先过E作水平直线，与AB的延长线交于点F，得到两个直角三角形Rt△BEF和Rt△AEF；②先利用斜坡的坡度定义，结合BE的长度求出BF（B到E的竖直高度差）和EF（B到E的水平距离）；③再利用太阳光与水平面60°夹角的条件，通过正切函数求出AF的长度，最后用AF减去BF即可得到AB的高度。
【解析】
解：过点E作水平直线EF，交AB的延长线于点F，故EF⊥AB，$∠ F=90°$。
∵斜坡CD的坡度$i=1:2$，即竖直高度$:$水平宽度$=1:2$，
∴设$BF=x\ \mathrm{m}$，则$EF=2x\ \mathrm{m}$，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：$BE=\sqrt{BF^2+EF^2}=\sqrt{x^2+(2x)^2}=\sqrt{5}x$，
已知$BE=10\ \mathrm{m}$，
∴$\sqrt{5}x=10$，解得$x=2\sqrt{5}$，
∴$BF=2\sqrt{5}\ \mathrm{m}$，$EF=4\sqrt{5}\ \mathrm{m}$。
∵太阳光与水平面的夹角为$60°$，
∴$∠ AEF=60°$，
在Rt△AEF中，$\tan60°=\frac{AF}{EF}$，
∴$AF=EF·\tan60°=4\sqrt{5}×\sqrt{3}=4\sqrt{15}\ \mathrm{m}$，
∴$AB=AF-BF=(4\sqrt{15}-2\sqrt{5})\ \mathrm{m}$。
【答案】
$(4 \sqrt{15}-2\sqrt{5})$
【知识点】
解直角三角形应用，坡度坡角问题，锐角三角函数应用
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类题型，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形，准确理解坡度的定义，结合锐角三角函数的边角关系求解，需要注意区分坡度是竖直高度与水平宽度的比值，避免颠倒比例出错。
【难度系数】
0.6
2. ★★★ (2025·衡阳期中)“周末不忙,来趟衡阳!”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景区登山,需要登顶1 200 m高的山峰,由山底A处先步行600 m到达B处,再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处,已知点A,B,D,E,F在同一平面内,山坡AB的坡角为30°,缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°.(换乘登山缆车的时间忽略不计)
(1)求登山缆车上升的高度DE;
(2)若步行速度为30 m/min,登山缆车的速度为60 m/min,求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟.(结果精确到0.1 min,参考数据:sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,tan 53°≈1.33)
(1)求登山缆车上升的高度DE;
(2)若步行速度为30 m/min,登山缆车的速度为60 m/min,求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟.(结果精确到0.1 min,参考数据:sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,tan 53°≈1.33)
答案
2. (1) 如图, 过点 B 作 $BM ⊥ AF$ 于点 M,由题意可知, $∠ A=30°, ∠ DBE=53°, DF=1200 \mathrm{~m}, AB=600 \mathrm{~m}$, 在$\mathrm{Rt}△ ABM$中, $∠ A=30°, AB=600 \mathrm{~m}$,
$\therefore BM=\frac{1}{2} AB=300 \mathrm{~m}=EF, \therefore DE=DF-EF=1200-300=900(\mathrm{~m})$.
答:登山缆车上升的高度 DE 为 900 m.
(2) 在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 中, $∠ DBE=53°, DE=900 \mathrm{~m}, \therefore BD=\frac{DE}{\sin ∠ DBE} \approx \frac{900}{0.8}=1125(\mathrm{~m}), \therefore$ 需要的时间 $t=t_{\mathrm{步行 }}+t_{\mathrm{缆车 }}=\frac{600}{30}+\frac{1125}{60} \approx 38.8(\min )$.答:从山底 A 处到达山顶 D 处大约需要38.8 min.
解析
【分析】
(1) 要求缆车上升高度DE，已知山峰总高度DF=1200m，可得DE=DF-EF，其中EF是点B到水平面AF的竖直高度。我们可过点B作BM⊥AF构造Rt△ABM，利用30°直角三角形中“30°角所对直角边等于斜边一半”的性质求出BM，由于四边形BEMF是矩形，故BM=EF，代入即可求出DE的长度。
(2) 要求从A到D的总时间，需先求出缆车行驶路线BD的长度。在Rt△BDE中，已知∠DBE=53°和DE的长度，利用正弦三角函数的定义即可求出BD的长，再根据“时间=路程÷速度”分别计算步行时间和缆车行驶时间，求和即可得到总时间。
【解析】
(1) 如图，过点B作$BM ⊥ AF$于点M，由题意可知，$∠ A=30°, ∠ DBE=53°, DF=1200 \mathrm{~m}, AB=600 \mathrm{~m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，$∠ A=30°, AB=600 \mathrm{~m}$，
$\therefore BM=\frac{1}{2} AB=300 \mathrm{~m}$。
∵四边形BEMF为矩形，$\therefore EF=BM=300\mathrm{~m}$，
$\therefore DE=DF-EF=1200-300=900(\mathrm{~m})$。
(2) 在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 中，$∠ DBE=53°, DE=900 \mathrm{~m}$，
由$\sin∠DBE=\frac{DE}{BD}$，可得：
$BD=\frac{DE}{\sin ∠ DBE} \approx \frac{900}{0.8}=1125(\mathrm{~m})$，
总时间$t=t_{\mathrm{步行}}+t_{\mathrm{缆车}}=\frac{600}{30}+\frac{1125}{60}=20+18.75=38.75\approx38.8(\mathrm{min})$。
【答案】
(1) 登山缆车上升的高度DE为900 m；
(2) 从山底A处到达山顶D处大约需要38.8 min。
【知识点】
解直角三角形应用，坡角计算，三角函数应用
【点评】
本题结合实际登山场景考查解直角三角形的应用，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，再结合行程公式求解，贴近生活的场景能帮助学生提升将数学知识应用于实际的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要求缆车上升高度DE，已知山峰总高度DF=1200m，可得DE=DF-EF，其中EF是点B到水平面AF的竖直高度。我们可过点B作BM⊥AF构造Rt△ABM，利用30°直角三角形中“30°角所对直角边等于斜边一半”的性质求出BM，由于四边形BEMF是矩形，故BM=EF，代入即可求出DE的长度。
(2) 要求从A到D的总时间，需先求出缆车行驶路线BD的长度。在Rt△BDE中，已知∠DBE=53°和DE的长度，利用正弦三角函数的定义即可求出BD的长，再根据“时间=路程÷速度”分别计算步行时间和缆车行驶时间，求和即可得到总时间。
【解析】
(1) 如图，过点B作$BM ⊥ AF$于点M，由题意可知，$∠ A=30°, ∠ DBE=53°, DF=1200 \mathrm{~m}, AB=600 \mathrm{~m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，$∠ A=30°, AB=600 \mathrm{~m}$，
$\therefore BM=\frac{1}{2} AB=300 \mathrm{~m}$。
∵四边形BEMF为矩形，$\therefore EF=BM=300\mathrm{~m}$，
$\therefore DE=DF-EF=1200-300=900(\mathrm{~m})$。
(2) 在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 中，$∠ DBE=53°, DE=900 \mathrm{~m}$，
由$\sin∠DBE=\frac{DE}{BD}$，可得：
$BD=\frac{DE}{\sin ∠ DBE} \approx \frac{900}{0.8}=1125(\mathrm{~m})$，
总时间$t=t_{\mathrm{步行}}+t_{\mathrm{缆车}}=\frac{600}{30}+\frac{1125}{60}=20+18.75=38.75\approx38.8(\mathrm{min})$。
【答案】
(1) 登山缆车上升的高度DE为900 m；
(2) 从山底A处到达山顶D处大约需要38.8 min。
【知识点】
解直角三角形应用，坡角计算，三角函数应用
【点评】
本题结合实际登山场景考查解直角三角形的应用，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，再结合行程公式求解，贴近生活的场景能帮助学生提升将数学知识应用于实际的能力。
【难度系数】
0.7
3. ★★★ (2024·广安中考)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在某地安装了一批风力发电机,如图①,某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量,图②为测量示意图(点A,B,C,D均在同一平面内,AB⊥BC).已知斜坡CD长为20 m,斜坡CD的坡角为60°,在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°,坡底与塔杆底的距离BC=30 m,求该风力发电机塔杆AB的高度.(结果精确到个位,参考数据$:sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94,tan 20°≈0.36,\sqrt{3}≈1.73)$
＞＞进一步挑战进阶专题:P131 专题12,P132 专题13
＞＞进一步挑战进阶专题:P131 专题12,P132 专题13
答案
3. 如图, 过点 D 作 $DF ⊥ AB$ 于点 F, 作$DH ⊥ BE$ 于点 H. 由题意得 $DC=20 \mathrm{~m}$,$∠ DCH=60°$. 在 $\mathrm{Rt}△ DCH$ 中, $\because \cos 60°=\frac{CH}{CD}, \sin 60°=\frac{DH}{CD}, \therefore CH=CD · \cos 60°=10 \mathrm{~m},DH=CD · \sin 60°=10 \sqrt{3} \mathrm{~m} \approx 17.3 \mathrm{~m}$.
$\because ∠ DFB=∠ B=∠ DHB=90°, \therefore$ 四边形 DFBH 为矩形, $\therefore BH=FD$,$BF=DH.\because BH=BC+CH=30+10=40(\mathrm{~m}), \therefore FD=40 \mathrm{~m}$. 在 $\mathrm{Rt}△ AFD$中, $\because \frac{AF}{FD}=\tan 20°, \therefore AF=FD · \tan 20° \approx 40 × 0.36=14.4(\mathrm{~m})$,$\therefore AB=AF+BF=14.4+17.3=31.7(\mathrm{~m}) \approx 32 \mathrm{~m}$. 答:该风力发电机塔杆 AB 的高度为 32 m.
解析
【分析】
本题是实际测量类的解直角三角形问题，解题时可通过作辅助线将图形转化为矩形和直角三角形求解：首先过点D作DF⊥AB于F、DH⊥BE于H，构造出矩形DFBH与两个直角三角形；先在Rt△DCH中利用坡角60°和CD的长度，求出斜坡的竖直高度DH和水平宽度CH；再利用矩形的性质得到FD=BH=BC+CH、BF=DH；接着在Rt△AFD中利用仰角20°求出AF的长度；最后将AF与BF相加即可得到塔杆AB的高度。
【解析】
如图，过点D作$DF ⊥ AB$于点F，作$DH ⊥ BE$于点H，由题意得$DC=20 \mathrm{~m}$，$∠DCH=60°$。
在$\mathrm{Rt}△DCH$中，$\because \cos 60°=\frac{CH}{CD}, \sin 60°=\frac{DH}{CD}$，
$\therefore CH=CD · \cos 60°=20×\frac{1}{2}=10 \mathrm{~m}$，
$DH=CD · \sin 60°=10 \sqrt{3} \mathrm{~m} \approx 17.3 \mathrm{~m}$。
$\because ∠DFB=∠B=∠DHB=90°$，$\therefore$ 四边形DFBH为矩形，
$\therefore BH=FD$，$BF=DH$。
$\because BH=BC+CH=30+10=40(\mathrm{~m})$，$\therefore FD=40 \mathrm{~m}$。
在$\mathrm{Rt}△AFD$中，$\because \frac{AF}{FD}=\tan 20°$，
$\therefore AF=FD · \tan 20° \approx 40 × 0.36=14.4(\mathrm{~m})$，
$\therefore AB=AF+BF=14.4+17.3=31.7(\mathrm{~m}) \approx 32 \mathrm{~m}$。
【答案】
该风力发电机塔杆AB的高度为32 m。
【知识点】
解直角三角形应用；坡角计算；仰角计算
【点评】
本题结合真实的生产生活场景出题，考查了学生构造几何模型解决实际问题的能力，解题的核心是通过作垂线拆分待求线段，将未知量转化为直角三角形中可通过三角函数求解的量，计算时需注意题目对结果精确度的要求。
【难度系数】
0.6
本题是实际测量类的解直角三角形问题，解题时可通过作辅助线将图形转化为矩形和直角三角形求解：首先过点D作DF⊥AB于F、DH⊥BE于H，构造出矩形DFBH与两个直角三角形；先在Rt△DCH中利用坡角60°和CD的长度，求出斜坡的竖直高度DH和水平宽度CH；再利用矩形的性质得到FD=BH=BC+CH、BF=DH；接着在Rt△AFD中利用仰角20°求出AF的长度；最后将AF与BF相加即可得到塔杆AB的高度。
【解析】
如图，过点D作$DF ⊥ AB$于点F，作$DH ⊥ BE$于点H，由题意得$DC=20 \mathrm{~m}$，$∠DCH=60°$。
在$\mathrm{Rt}△DCH$中，$\because \cos 60°=\frac{CH}{CD}, \sin 60°=\frac{DH}{CD}$，
$\therefore CH=CD · \cos 60°=20×\frac{1}{2}=10 \mathrm{~m}$，
$DH=CD · \sin 60°=10 \sqrt{3} \mathrm{~m} \approx 17.3 \mathrm{~m}$。
$\because ∠DFB=∠B=∠DHB=90°$，$\therefore$ 四边形DFBH为矩形，
$\therefore BH=FD$，$BF=DH$。
$\because BH=BC+CH=30+10=40(\mathrm{~m})$，$\therefore FD=40 \mathrm{~m}$。
在$\mathrm{Rt}△AFD$中，$\because \frac{AF}{FD}=\tan 20°$，
$\therefore AF=FD · \tan 20° \approx 40 × 0.36=14.4(\mathrm{~m})$，
$\therefore AB=AF+BF=14.4+17.3=31.7(\mathrm{~m}) \approx 32 \mathrm{~m}$。
【答案】
该风力发电机塔杆AB的高度为32 m。
【知识点】
解直角三角形应用；坡角计算；仰角计算
【点评】
本题结合真实的生产生活场景出题，考查了学生构造几何模型解决实际问题的能力，解题的核心是通过作垂线拆分待求线段，将未知量转化为直角三角形中可通过三角函数求解的量，计算时需注意题目对结果精确度的要求。
【难度系数】
0.6
