1. ★★★ 如图，AB是$\odot O$的直径，AD和CD分别切$\odot O$于A，E两点，BC与$\odot O$有公共点B，且$EC=BC$.
(1)求证:BC是$\odot O$的切线；
(2)若$AB=12$，$AD=8$，求BC的长.

1. (1)如图①,连结 OC,OE,
∵ CD 是$\odot O$的切线,
∴ $∠OEC=90°$.在$△ OEC$ 和 $△ OBC$ 中,$\begin{cases} OE=OB, \\ OC=OC, \\ EC=BC, \end{cases}$
∴ $△ OEC ≌ △ OBC(\mathrm{SSS})$,
∴ $∠OBC=∠OEC=90°$.
∵ OB 为$\odot O$的半径,
∴ BC是$\odot O$的切线.
(2)如图②,过点 C 作 $CH ⊥ AD$ 于 H,则四边形 HABC 为矩形,
∴ $BC=AH$,$HC=AB=12$,设 $BC=x$,则 $AH=x$,
∴ $DH=8-x$,由切线长定理可知, $DE = AD = 8$, $EC = CB = x$,
∴ $DC = 8+x$,在 $\mathrm{Rt}△ DHC$ 中,$DH^2+HC^2=DC^2$,即 $(8-x)^2+12^2=(8+x)^2$,解得 $x=\frac{9}{2}$,即 $BC=\frac{9}{2}$.

【分析】
(1)要证明BC是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明$OB⊥ BC$，即$∠ OBC=90°$。已知CD是$\odot O$的切线，连接OE、OC后可得到$∠ OEC=90°$，结合已知$EC=BC$，以及同圆半径相等得$OE=OB$、OC为公共边，可通过SSS证$△ OEC$和$△ OBC$全等，从而推得$∠ OBC=90°$即可得证。
(2)求BC的长时，可过C作$CH⊥ AD$构造直角三角形，借助矩形性质将AB转化为CH，再结合切线长定理把DC、DH用含BC的代数式表示，最后在直角三角形中用勾股定理列方程求解。
【解析】
(1)如图①，连结OC，OE，
∵ CD是$\odot O$的切线，
∴ $∠ OEC=90°$.
在$△ OEC$ 和 $△ OBC$ 中,
$\begin{cases} OE=OB, \\ OC=OC, \\ EC=BC, \end{cases}$
∴ $△ OEC ≌ △ OBC(\mathrm{SSS})$,
∴ $∠ OBC=∠ OEC=90°$.
∵ OB为$\odot O$的半径,
∴ BC是$\odot O$的切线.
(2)如图②,过点 C 作 $CH ⊥ AD$ 于 H,则四边形 HABC 为矩形,
∴ $BC=AH$,$HC=AB=12$,
设 $BC=x$,则 $AH=x$,
∴ $DH=8-x$,
由切线长定理可知, $DE = AD = 8$, $EC = CB = x$,
∴ $DC = 8+x$,
在 $\mathrm{Rt}△ DHC$ 中,$DH^2+HC^2=DC^2$,
即 $(8-x)^2+12^2=(8+x)^2$,
解得 $x=\frac{9}{2}$,即 $BC=\frac{9}{2}$.

【答案】
(1)证明见解析；(2)$BC=\frac{9}{2}$

【知识点】
切线的判定与性质，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的典型综合题，核心考查切线的判定方法、线段关系的转化以及方程思想的应用，解题的关键是熟练掌握圆切线相关的辅助线构造方法，能将未知量和已知量转化到同一个直角三角形中建立等量关系。
【难度系数】
0.6

2. 如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O,恰与另一腰CD相切于点E,连结OD,OC,BE.
(1)求证:OD//BE;
(2)若梯形ABCD的面积是48,设OD=x,OC=y,且x+y=14,求CD的长.

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2. (1)连结 OE,
∵ $AD // BC$, $∠ABC=90°$,
∴ $∠BAD = 90°$.
∵ CD 是$\odot O$ 的切线,
∴ $OE ⊥ CD$. 在 $\mathrm{Rt}△ OAD$ 和 $\mathrm{Rt}△ OED$ 中,$\begin{cases} OA=OE, \\ OD=OD, \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ OAD ≌ \mathrm{Rt}△ OED \ (\mathrm{HL})$,
∴ $∠AOD = ∠EOD = \frac{1}{2}∠AOE$.在$\odot O$ 中, $∠ABE = \frac{1}{2}∠AOE$,
∴ $∠AOD = ∠ABE$,
∴ $OD // BE$(同位角相等,两直线平行).
(2)与(1)同理可证: $\mathrm{Rt}△ COE ≌ \mathrm{Rt}△ COB$,
∴ $∠COE = ∠COB = \frac{1}{2}∠BOE$.
∴ $∠DOE+∠COE = \frac{1}{2}(∠AOE+∠BOE)=90°$,
∴ $△ COD$是直角三角形.
∵ $S_{△ DEO}=S_{△ DAO}$,$S_{△ OCE}=S_{△ COB}$,
∴ $S_{\mathrm{梯形}ABCD}=2(S_{△ DOE}+S_{△ COE})=2S_{△ COD}=OC · OD=48$,即 $xy=48$.又
∵ $x+y=14$,
∴ $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=14^2-2×48=100$. 在 $\mathrm{Rt}△ COD$ 中, $CD = \sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{100}=10$,
∴ $CD=10$.

【分析】
(1) 要证OD//BE，可通过证明同位角相等推导：先连结辅助线OE，利用切线性质得到OE⊥CD，结合AD与⊙O相切于A，用HL证明Rt△OAD≌Rt△OED，得到∠AOD是∠AOE的一半；再根据圆周角定理，∠ABE也是∠AOE的一半，即可得到同位角∠AOD=∠ABE，进而证得平行。
(2) 先同理证明Rt△COE≌Rt△COB，推导得∠COD=90°，即△COD为直角三角形；再利用全等三角形面积相等，得到梯形ABCD的面积等于2倍△COD的面积，由此推出OD·OC=48即xy=48；结合x+y=14，利用完全平方公式求出x²+y²，最后用勾股定理即可求出CD的长度。
【解析】
(1) 连结OE，
∵ $AD// BC$，$∠ ABC=90°$，
∴ $∠ BAD = 90°$。
∵ CD是$\odot O$的切线，
∴ $OE ⊥ CD$。
在 $\mathrm{Rt}△ OAD$ 和 $\mathrm{Rt}△ OED$ 中，
$\begin{cases} OA=OE, \\ OD=OD, \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ OAD ≌ \mathrm{Rt}△ OED \ (\mathrm{HL})$，
∴ $∠ AOD = ∠ EOD = \frac{1}{2}∠ AOE$。
在$\odot O$中， $∠ ABE = \frac{1}{2}∠ AOE$，
∴ $∠ AOD = ∠ ABE$，
∴ $OD // BE$(同位角相等，两直线平行)。
(2) 与(1)同理可证： $\mathrm{Rt}△ COE ≌ \mathrm{Rt}△ COB$，
∴ $∠ COE = ∠ COB = \frac{1}{2}∠ BOE$，
∴ $∠ DOE+∠ COE = \frac{1}{2}(∠ AOE+∠ BOE)=90°$，即$∠ COD=90°$，
∴ $△ COD$是直角三角形。
∵ $S_{△ DEO}=S_{△ DAO}$，$S_{△ OCE}=S_{△ COB}$，
∴ $S_{\mathrm{梯形}ABCD}=2(S_{△ DOE}+S_{△ COE})=2S_{△ COD}=OC · OD=48$，即 $xy=48$。
又
∵ $x+y=14$，
∴ $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=14^2-2×48=100$。
在 $\mathrm{Rt}△ COD$ 中， $CD = \sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{100}=10$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{CD=10}$
【知识点】
切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是圆与四边形的综合题型，融合了平行线判定、完全平方公式等多个知识点，解题核心是合理添加辅助线，通过全等三角形实现角和面积的转化，能有效考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6