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1. 如图,反比例函数图象$l_1$的表达式为$y=\frac{k_1}{x}(x＞0)$,图象$l_2$与图象$l_1$关于直线$x=1$对称,直线$y=k_2x$与$l_2$交于$A,B$两点,当$A$为$OB$中点时,$\frac{k_1}{k_2}$的值为 (
A.$\frac{8}{9}$
B.$\frac{4}{9}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
A
)A.$\frac{8}{9}$
B.$\frac{4}{9}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
1. A
解析
【分析】
首先我们需要先求出与$l_1$关于直线$x=1$对称的$l_2$的函数解析式，利用关于直线$x=a$对称的点的坐标规律：点$(x,y)$关于$x=1$的对称点为$(2-x,y)$，即可推导$l_2$的表达式；接下来根据$A$是$OB$中点的条件，设出点$B$的坐标，即可得到点$A$的坐标，再将两点坐标代入$l_2$的解析式，得到两个方程，消去无关参数后即可求出$\frac{k_1}{k_2}$的值。
【解析】
1. 求$l_2$的解析式：
设$P(x,y)$是$l_2$上任意一点，它关于直线$x=1$的对称点为$P'(2-x,y)$，该点在$l_1:y=\frac{k_1}{x}$上，代入得$y=\frac{k_1}{2-x}$，即$l_2$的表达式为$y=\frac{k_1}{2-x}$。
2. 设点坐标代入解析式：
设点$B$的坐标为$(t,k_2t)$，因为$A$是$OB$的中点，根据中点坐标公式，点$A$的坐标为$(\frac{t}{2},\frac{k_2t}{2})$。
因为$A$、$B$都在$l_2$上，分别代入得：
对$B$：$k_2t=\frac{k_1}{2-t}$ ---①
对$A$：$\frac{k_2t}{2}=\frac{k_1}{2-\frac{t}{2}}$ ---②
3. 联立方程求解：
将①变形得$k_1=k_2t(2-t)$，代入②中，左右两边同时约去不为0的$k_2t$，得：
$\frac{1}{2}=\frac{2-t}{2-\frac{t}{2}}$
交叉相乘得：$2-\frac{t}{2}=2(2-t)$
化简得：$2-\frac{t}{2}=4-2t$
移项合并同类项：$\frac{3t}{2}=2$，解得$t=\frac{4}{3}$。
将$t=\frac{4}{3}$代入①：
$k_2·\frac{4}{3}=\frac{k_1}{2-\frac{4}{3}}=\frac{3k_1}{2}$
整理得：$8k_2=9k_1$，即$\frac{k_1}{k_2}=\frac{8}{9}$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的对称性；中点坐标公式；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题综合考查了反比例函数的图象变换与性质，解题的关键是掌握函数对称的坐标变换规则，结合中点坐标关系设点代入解析式建立方程，通过消元求解比值，对代数运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先我们需要先求出与$l_1$关于直线$x=1$对称的$l_2$的函数解析式，利用关于直线$x=a$对称的点的坐标规律：点$(x,y)$关于$x=1$的对称点为$(2-x,y)$，即可推导$l_2$的表达式；接下来根据$A$是$OB$中点的条件，设出点$B$的坐标，即可得到点$A$的坐标，再将两点坐标代入$l_2$的解析式，得到两个方程，消去无关参数后即可求出$\frac{k_1}{k_2}$的值。
【解析】
1. 求$l_2$的解析式：
设$P(x,y)$是$l_2$上任意一点，它关于直线$x=1$的对称点为$P'(2-x,y)$，该点在$l_1:y=\frac{k_1}{x}$上，代入得$y=\frac{k_1}{2-x}$，即$l_2$的表达式为$y=\frac{k_1}{2-x}$。
2. 设点坐标代入解析式：
设点$B$的坐标为$(t,k_2t)$，因为$A$是$OB$的中点，根据中点坐标公式，点$A$的坐标为$(\frac{t}{2},\frac{k_2t}{2})$。
因为$A$、$B$都在$l_2$上，分别代入得：
对$B$：$k_2t=\frac{k_1}{2-t}$ ---①
对$A$：$\frac{k_2t}{2}=\frac{k_1}{2-\frac{t}{2}}$ ---②
3. 联立方程求解：
将①变形得$k_1=k_2t(2-t)$，代入②中，左右两边同时约去不为0的$k_2t$，得：
$\frac{1}{2}=\frac{2-t}{2-\frac{t}{2}}$
交叉相乘得：$2-\frac{t}{2}=2(2-t)$
化简得：$2-\frac{t}{2}=4-2t$
移项合并同类项：$\frac{3t}{2}=2$，解得$t=\frac{4}{3}$。
将$t=\frac{4}{3}$代入①：
$k_2·\frac{4}{3}=\frac{k_1}{2-\frac{4}{3}}=\frac{3k_1}{2}$
整理得：$8k_2=9k_1$，即$\frac{k_1}{k_2}=\frac{8}{9}$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的对称性；中点坐标公式；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题综合考查了反比例函数的图象变换与性质，解题的关键是掌握函数对称的坐标变换规则，结合中点坐标关系设点代入解析式建立方程，通过消元求解比值，对代数运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
2. ★★★(2025·宿迁三模)如图,将反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象绕点O顺时针旋转$α(0°＜α＜90°)$,旋转后的图象与x轴交于$A(10,0)$,若$\tanα=\frac{1}{3}$,则$k=$
30
。答案
2. 30
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先利用旋转的可逆性思考，原反比例函数顺时针旋转α得到新图像，那么新图像上的点A逆时针旋转α后，一定落在原反比例函数图像上；其次，结合OA=10、tanα=1/3的条件，通过解直角三角形求出A点旋转后的坐标；最后将该坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
【解析】
1. 由A(10,0)可得OA=10，将点A绕原点O逆时针旋转α得到点B，根据旋转的性质可知OB=OA=10，且点B在原反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图像上。
2. 过B作BC⊥x轴于点C，在$Rt△ OBC$中，$\tanα=\frac{BC}{OC}=\frac{1}{3}$，设$BC=m$，则$OC=3m$。
3. 由勾股定理得：$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{(3m)^2+m^2}=\sqrt{10}m$，代入OB=10，得$\sqrt{10}m=10$，解得$m=\sqrt{10}$。
4. 因此$OC=3\sqrt{10}$，$BC=\sqrt{10}$，即点B坐标为$(3\sqrt{10},\sqrt{10})$。
5. 将B点坐标代入反比例函数解析式，得$k=3\sqrt{10}×\sqrt{10}=30$。
【答案】
30
【知识点】
反比例函数的性质，旋转的性质，解直角三角形
【点评】
本题综合考查了反比例函数、图形旋转与解直角三角形的相关知识，核心是利用旋转的可逆性完成点的坐标转化，再结合三角函数求出对应点坐标，解题过程体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.4
解题思路可分为三步：首先利用旋转的可逆性思考，原反比例函数顺时针旋转α得到新图像，那么新图像上的点A逆时针旋转α后，一定落在原反比例函数图像上；其次，结合OA=10、tanα=1/3的条件，通过解直角三角形求出A点旋转后的坐标；最后将该坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
【解析】
1. 由A(10,0)可得OA=10，将点A绕原点O逆时针旋转α得到点B，根据旋转的性质可知OB=OA=10，且点B在原反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图像上。
2. 过B作BC⊥x轴于点C，在$Rt△ OBC$中，$\tanα=\frac{BC}{OC}=\frac{1}{3}$，设$BC=m$，则$OC=3m$。
3. 由勾股定理得：$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{(3m)^2+m^2}=\sqrt{10}m$，代入OB=10，得$\sqrt{10}m=10$，解得$m=\sqrt{10}$。
4. 因此$OC=3\sqrt{10}$，$BC=\sqrt{10}$，即点B坐标为$(3\sqrt{10},\sqrt{10})$。
5. 将B点坐标代入反比例函数解析式，得$k=3\sqrt{10}×\sqrt{10}=30$。
【答案】
30
【知识点】
反比例函数的性质，旋转的性质，解直角三角形
【点评】
本题综合考查了反比例函数、图形旋转与解直角三角形的相关知识，核心是利用旋转的可逆性完成点的坐标转化，再结合三角函数求出对应点坐标，解题过程体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.4
3. 如图,将反比例函数$y=\frac{5}{x}(x＞0)$的图象绕坐标原点$(0,0)$顺时针旋转$45°$,旋转后图象与$x$轴相交于$A$点,若直线$y=\frac{1}{2}x$与旋转后的图象相交于点$B$,则$△ OAB$的面积为
$\frac{5\sqrt{3}}{3}$
。答案
3. $\frac{5\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】
解决本题的核心是利用旋转变换的不变性（点到原点的距离不变、图形形状不变），将旋转后的陌生反比例函数图象转化为我们熟悉的原反比例函数图象求解：①先找A点对应的原反比例函数上的点，算出OA的长度；②再求直线$y=\frac{1}{2}x$对应的原坐标系下的直线方程，找到B点对应的原反比例函数上的点，得到OB长度和OA与OB夹角的正弦值；③最后用两边及夹角的三角形面积公式计算面积。
【解析】
1. 求OA的长度：原反比例函数$y=\frac{5}{x}$与倾斜角为$45°$的直线$y=x$的交点为$(\sqrt{5},\sqrt{5})$，该点绕原点顺时针旋转$45°$后恰好落在x轴上，即为点A。该点到原点的距离为$\sqrt{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{10}$，故$OA=\sqrt{10}$。
2. 设直线$y=\frac{1}{2}x$的倾斜角为$α$，则$\tanα=\frac{1}{2}$，由三角函数定义可得$\sinα=\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$。
3. 旋转后图象上的点B对应原反比例函数上的点$B'$，旋转不改变距离故$OB'=OB$，且$OB'$的倾斜角为$α+45°$。由正切和角公式：$\tan(α+45°)=\frac{\tanα+\tan45°}{1-\tanα·\tan45°}=\frac{\frac{1}{2}+1}{1-\frac{1}{2}×1}=3$，因此直线$OB'$的解析式为$y=3x$。
4. 联立$\begin{cases}y=3x\\y=\frac{5}{x}\end{cases}$，取正根得$x=\sqrt{\frac{5}{3}}$，$y=\sqrt{15}$，则$OB=OB'=\sqrt{(\sqrt{\frac{5}{3}})^2+(\sqrt{15})^2}=\frac{5\sqrt{6}}{3}$。
5. $△ OAB$中，OA在x轴上，$∠ AOB=α$，因此面积为：
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}× OA× OB×\sinα=\frac{1}{2}×\sqrt{10}×\frac{5\sqrt{6}}{3}×\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\frac{5\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
反比例函数的性质，图形旋转的性质，三角形面积计算
【点评】
本题将反比例函数与旋转变换结合考查，解题的突破口是利用旋转不变性将未知的旋转后图象问题转化为常规的反比例函数交点问题，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
解决本题的核心是利用旋转变换的不变性（点到原点的距离不变、图形形状不变），将旋转后的陌生反比例函数图象转化为我们熟悉的原反比例函数图象求解：①先找A点对应的原反比例函数上的点，算出OA的长度；②再求直线$y=\frac{1}{2}x$对应的原坐标系下的直线方程，找到B点对应的原反比例函数上的点，得到OB长度和OA与OB夹角的正弦值；③最后用两边及夹角的三角形面积公式计算面积。
【解析】
1. 求OA的长度：原反比例函数$y=\frac{5}{x}$与倾斜角为$45°$的直线$y=x$的交点为$(\sqrt{5},\sqrt{5})$，该点绕原点顺时针旋转$45°$后恰好落在x轴上，即为点A。该点到原点的距离为$\sqrt{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{10}$，故$OA=\sqrt{10}$。
2. 设直线$y=\frac{1}{2}x$的倾斜角为$α$，则$\tanα=\frac{1}{2}$，由三角函数定义可得$\sinα=\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$。
3. 旋转后图象上的点B对应原反比例函数上的点$B'$，旋转不改变距离故$OB'=OB$，且$OB'$的倾斜角为$α+45°$。由正切和角公式：$\tan(α+45°)=\frac{\tanα+\tan45°}{1-\tanα·\tan45°}=\frac{\frac{1}{2}+1}{1-\frac{1}{2}×1}=3$，因此直线$OB'$的解析式为$y=3x$。
4. 联立$\begin{cases}y=3x\\y=\frac{5}{x}\end{cases}$，取正根得$x=\sqrt{\frac{5}{3}}$，$y=\sqrt{15}$，则$OB=OB'=\sqrt{(\sqrt{\frac{5}{3}})^2+(\sqrt{15})^2}=\frac{5\sqrt{6}}{3}$。
5. $△ OAB$中，OA在x轴上，$∠ AOB=α$，因此面积为：
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}× OA× OB×\sinα=\frac{1}{2}×\sqrt{10}×\frac{5\sqrt{6}}{3}×\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\frac{5\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
反比例函数的性质，图形旋转的性质，三角形面积计算
【点评】
本题将反比例函数与旋转变换结合考查，解题的突破口是利用旋转不变性将未知的旋转后图象问题转化为常规的反比例函数交点问题，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
4. （2025·盐城期中）几何图形是数学研究的主要对象之一，图形的形状、大小和位置是几何中研究的主要内容，平面几何中，平移、翻折、旋转是常见的图形变换.鹿鸣学堂数学兴趣小组的同学们在学习了反比例函数的相关内容后，进一步探究反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象的平移、旋转、翻折的相关问题，过程如下：
(1)如图①，将反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象向左平移3个单位，求平移后的图象与y轴的交点坐标；
(2)如图②，将反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象绕点O顺时针旋转$60°$，点P为旋转后图象上的一点，过点P作直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$的垂线，垂足是H，若$OP=\sqrt{13}$，求PH的值；
(3)如图③，反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象沿直线$y=-x+b(b≠2\sqrt{6})$翻折得到新图象.若直线$y=x+1$与两条曲线交于E,F，直线$y=x-1$与两条曲线交于G,H，同学们发现E,F,G,H四个点组成的四边形是矩形，当这个矩形的面积是4时，直接写出b的值.
(1)如图①，将反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象向左平移3个单位，求平移后的图象与y轴的交点坐标；
(2)如图②，将反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象绕点O顺时针旋转$60°$，点P为旋转后图象上的一点，过点P作直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$的垂线，垂足是H，若$OP=\sqrt{13}$，求PH的值；
(3)如图③，反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象沿直线$y=-x+b(b≠2\sqrt{6})$翻折得到新图象.若直线$y=x+1$与两条曲线交于E,F，直线$y=x-1$与两条曲线交于G,H，同学们发现E,F,G,H四个点组成的四边形是矩形，当这个矩形的面积是4时，直接写出b的值.
答案
4. (1)
∵ 将反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象向左平移3个单位,
∴ 平移后的函数表达式为$y=\frac{6}{x+3}$.
∵ 当$x=0$时,$y=\frac{6}{3}=2$,
∴ 平移后的图象与y轴的交点坐标为$(0,2)$.
(2)设点$P'$为点P旋转前的图象上的对应点,过点$P'$作$P'H' ⊥ y$轴于$H'$,如图①,则$OP'=OP=\sqrt{13}$,设点$P'$坐标为$(a,b)$,则$ab=6$①,$a^2+b^2=13$ ②,联立①②,解得$a=3,b=2$或$a=2,b=3$,则$P'H'=2$或$P'H'=3$.
如图②,在直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$上取一点$T(3,\sqrt{3})$,过点T作$TS⊥x$轴于S,则$OS=3,ST=\sqrt{3},∠OST=90°$,
∴ $OT=\sqrt{OS^2+ST^2}=\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}=2\sqrt{3}$,满足直角三角形中,30度角所对的直角边等于斜边的一半,
∴ $∠TOS=30°$,即直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$与x轴的夹角为$30°$,
∴ $∠HOH'=∠POP'=60°$,
∴ $∠POH=∠P'OH'$.又$∠PHO=∠P'H'O=90°,OP=OP'$,
∴ $△POH≅△P'OH'$(AAS),
∴ $PH=P'H'$,即PH的值为2或3.
(3)b的值为7或3. 解析:解方程组$\begin{cases}y=\frac{6}{x},\\y=x-1,\end{cases}$得$\begin{cases}x=3,\\y=2\end{cases}$或$\begin{cases}x=-2,\\y=-3\end{cases}$(舍去),
∴ $G(3,2)$;解方程组$\begin{cases}y=\frac{6}{x},\\y=x+1,\end{cases}$得$\begin{cases}x=2,\\y=3\end{cases}$或$\begin{cases}x=-3,\\y=-2\end{cases}$(舍去),
∴ $F(2,3)$,
∴ $FG=\sqrt{(3-2)^2+(2-3)^2}=\sqrt{2}$.
∵ E,F,G,H四个点组成的四边形是矩形,且面积是4,
∴ $GH·FG=\sqrt{2}GH=4$,
∴ $GH=2\sqrt{2}$.
∵ 直线$y=x-1$与两条曲线交于G,H,
∴ 当点H在点G右上方时,形成矩形FGHE,
∴ $H(5,4)$,此矩形对角线的交点为FH的中点,坐标为$(\frac{7}{2},\frac{7}{2})$,根据轴对称性质,将$(\frac{7}{2},\frac{7}{2})$代入$y=-x+b(b≠2\sqrt{6})$,得$\frac{7}{2}=-\frac{7}{2}+b$,解得$b=7$;当点H在点G左下方时,形成矩形FGHE,
∴ $H(1,0)$,此矩形对角线的交点为FH的中点,坐标为$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$,根据轴对称性质,将$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$代入$y=-x+b(b≠2\sqrt{6})$,得$\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}+b$,解得$b=3$.综上,满足条件的b的值为7或3.
解析
【分析】
(1) 函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规律，先根据平移规则写出平移后的反比例函数解析式，再令x=0代入即可求得与y轴的交点坐标。
(2) 旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，旋转角大小不变。先设旋转前点P的对应点为P'，结合反比例函数解析式和OP'的长度求出P'的坐标，再通过角度关系证明△POH与△P'OH'全等，将PH转化为P'H'即可求解。
(3) 先联立反比例函数与两条直线的解析式，求出交点F、G的坐标，计算FG的长度，结合矩形面积求出GH的长度，得到点H的两种可能坐标。根据轴对称性质，矩形对角线的交点在对称轴y=-x+b上，代入中点坐标即可求出b的值。
【解析】
(1)
∵ 将反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象向左平移3个单位,
∴ 平移后的函数表达式为$y=\frac{6}{x+3}$.
∵ 当$x=0$时,$y=\frac{6}{3}=2$,
∴ 平移后的图象与y轴的交点坐标为$(0,2)$.
(2) 设点$P'$为点P旋转前的图象上的对应点,过点$P'$作$P'H' ⊥ y$轴于$H'$,如图①,则$OP'=OP=\sqrt{13}$,设点$P'$坐标为$(a,b)$,则$ab=6$①,$a^2+b^2=13$ ②,联立①②,解得$a=3,b=2$或$a=2,b=3$,则$P'H'=2$或$P'H'=3$.
如图②,在直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$上取一点$T(3,\sqrt{3})$,过点T作$TS⊥x$轴于S,则$OS=3,ST=\sqrt{3},∠OST=90°$,
∴ $OT=\sqrt{OS^2+ST^2}=\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}=2\sqrt{3}$,满足直角三角形中,30度角所对的直角边等于斜边的一半,
∴ $∠TOS=30°$,即直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$与x轴的夹角为$30°$,
∴ $∠HOH'=∠POP'=60°$,
∴ $∠POH=∠P'OH'$.又$∠PHO=∠P'H'O=90°,OP=OP'$,
∴ $△POH≅△P'OH'$(AAS),
∴ $PH=P'H'$,即PH的值为2或3.
(3) 解方程组$\begin{cases}y=\frac{6}{x},\\y=x-1,\end{cases}$得$\begin{cases}x=3,\\y=2\end{cases}$或$\begin{cases}x=-2,\\y=-3\end{cases}$(舍去),
∴ $G(3,2)$;解方程组$\begin{cases}y=\frac{6}{x},\\y=x+1,\end{cases}$得$\begin{cases}x=2,\\y=3\end{cases}$或$\begin{cases}x=-3,\\y=-2\end{cases}$(舍去),
∴ $F(2,3)$,
∴ $FG=\sqrt{(3-2)^2+(2-3)^2}=\sqrt{2}$.
∵ E,F,G,H四个点组成的四边形是矩形,且面积是4,
∴ $GH·FG=\sqrt{2}GH=4$,
∴ $GH=2\sqrt{2}$.
∵ 直线$y=x-1$与两条曲线交于G,H,
∴ 当点H在点G右上方时,形成矩形FGHE,
∴ $H(5,4)$,此矩形对角线的交点为FH的中点,坐标为$(\frac{7}{2},\frac{7}{2})$,根据轴对称性质,将$(\frac{7}{2},\frac{7}{2})$代入$y=-x+b(b≠2\sqrt{6})$,得$\frac{7}{2}=-\frac{7}{2}+b$,解得$b=7$;当点H在点G左下方时,形成矩形FGHE,
∴ $H(1,0)$,此矩形对角线的交点为FH的中点,坐标为$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$,根据轴对称性质,将$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$代入$y=-x+b(b≠2\sqrt{6})$,得$\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}+b$,解得$b=3$.综上,满足条件的b的值为7或3.
【答案】
(1) $(0,2)$
(2) 2或3
(3) 7或3
【知识点】
反比例函数图象变换、图形变换的性质、矩形的性质
【点评】
本题将反比例函数与平移、旋转、翻折三种图形变换结合考查，既涉及函数图象平移的基本规律，又融合了全等三角形判定、矩形性质、轴对称性质等知识点，综合性较强，对代数计算和几何推理能力都有一定要求。
【难度系数】
0.3
(1) 函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规律，先根据平移规则写出平移后的反比例函数解析式，再令x=0代入即可求得与y轴的交点坐标。
(2) 旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，旋转角大小不变。先设旋转前点P的对应点为P'，结合反比例函数解析式和OP'的长度求出P'的坐标，再通过角度关系证明△POH与△P'OH'全等，将PH转化为P'H'即可求解。
(3) 先联立反比例函数与两条直线的解析式，求出交点F、G的坐标，计算FG的长度，结合矩形面积求出GH的长度，得到点H的两种可能坐标。根据轴对称性质，矩形对角线的交点在对称轴y=-x+b上，代入中点坐标即可求出b的值。
【解析】
(1)
∵ 将反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象向左平移3个单位,
∴ 平移后的函数表达式为$y=\frac{6}{x+3}$.
∵ 当$x=0$时,$y=\frac{6}{3}=2$,
∴ 平移后的图象与y轴的交点坐标为$(0,2)$.
(2) 设点$P'$为点P旋转前的图象上的对应点,过点$P'$作$P'H' ⊥ y$轴于$H'$,如图①,则$OP'=OP=\sqrt{13}$,设点$P'$坐标为$(a,b)$,则$ab=6$①,$a^2+b^2=13$ ②,联立①②,解得$a=3,b=2$或$a=2,b=3$,则$P'H'=2$或$P'H'=3$.
如图②,在直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$上取一点$T(3,\sqrt{3})$,过点T作$TS⊥x$轴于S,则$OS=3,ST=\sqrt{3},∠OST=90°$,
∴ $OT=\sqrt{OS^2+ST^2}=\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}=2\sqrt{3}$,满足直角三角形中,30度角所对的直角边等于斜边的一半,
∴ $∠TOS=30°$,即直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$与x轴的夹角为$30°$,
∴ $∠HOH'=∠POP'=60°$,
∴ $∠POH=∠P'OH'$.又$∠PHO=∠P'H'O=90°,OP=OP'$,
∴ $△POH≅△P'OH'$(AAS),
∴ $PH=P'H'$,即PH的值为2或3.
(3) 解方程组$\begin{cases}y=\frac{6}{x},\\y=x-1,\end{cases}$得$\begin{cases}x=3,\\y=2\end{cases}$或$\begin{cases}x=-2,\\y=-3\end{cases}$(舍去),
∴ $G(3,2)$;解方程组$\begin{cases}y=\frac{6}{x},\\y=x+1,\end{cases}$得$\begin{cases}x=2,\\y=3\end{cases}$或$\begin{cases}x=-3,\\y=-2\end{cases}$(舍去),
∴ $F(2,3)$,
∴ $FG=\sqrt{(3-2)^2+(2-3)^2}=\sqrt{2}$.
∵ E,F,G,H四个点组成的四边形是矩形,且面积是4,
∴ $GH·FG=\sqrt{2}GH=4$,
∴ $GH=2\sqrt{2}$.
∵ 直线$y=x-1$与两条曲线交于G,H,
∴ 当点H在点G右上方时,形成矩形FGHE,
∴ $H(5,4)$,此矩形对角线的交点为FH的中点,坐标为$(\frac{7}{2},\frac{7}{2})$,根据轴对称性质,将$(\frac{7}{2},\frac{7}{2})$代入$y=-x+b(b≠2\sqrt{6})$,得$\frac{7}{2}=-\frac{7}{2}+b$,解得$b=7$;当点H在点G左下方时,形成矩形FGHE,
∴ $H(1,0)$,此矩形对角线的交点为FH的中点,坐标为$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$,根据轴对称性质,将$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$代入$y=-x+b(b≠2\sqrt{6})$,得$\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}+b$,解得$b=3$.综上,满足条件的b的值为7或3.
【答案】
(1) $(0,2)$
(2) 2或3
(3) 7或3
【知识点】
反比例函数图象变换、图形变换的性质、矩形的性质
【点评】
本题将反比例函数与平移、旋转、翻折三种图形变换结合考查，既涉及函数图象平移的基本规律，又融合了全等三角形判定、矩形性质、轴对称性质等知识点，综合性较强，对代数计算和几何推理能力都有一定要求。
【难度系数】
0.3
