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10. 我国自主研发的新一代隐身战斗机歼-20，其部分机身采用了高性能碳纤维复合材料，这种材料的使用显著提高了抗疲劳、耐腐蚀等性能，同时减小了机身的质量。将一个体积为0.02 m³的钢制零件替换成碳纤维复合材料零件，在体积不变的情况下，质量减小了122 kg。已知$\rho_{钢}=7.9×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$。求：
（1）碳纤维复合材料零件的质量。
（2）此碳纤维复合材料的密度。
（1）碳纤维复合材料零件的质量。
（2）此碳纤维复合材料的密度。
答案
解：
（1）由$\rho=\frac{m}{V}$可得，钢制零件的质量：
$m_{\mathrm{钢}}=\rho_{\mathrm{钢}}V=7.9×10^3\ \mathrm{kg/m^3} × 0.02\ \mathrm{m^3}=158\ \mathrm{kg}$
碳纤维复合材料零件的质量：
$m_{\mathrm{碳}}=m_{\mathrm{钢}}-\Delta m=158\ \mathrm{kg}-122\ \mathrm{kg}=36\ \mathrm{kg}$
（2）由题意可知，碳纤维复合材料零件的体积$V_{\mathrm{碳}}=V=0.02\ \mathrm{m^3}$
则碳纤维复合材料的密度：
$\rho_{\mathrm{碳}}=\frac{m_{\mathrm{碳}}}{V_{\mathrm{碳}}}=\frac{36\ \mathrm{kg}}{0.02\ \mathrm{m^3}}=1.8×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
答：（1）碳纤维复合材料零件的质量为36 kg；（2）此碳纤维复合材料的密度为$1.8×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$。
（1）由$\rho=\frac{m}{V}$可得，钢制零件的质量：
$m_{\mathrm{钢}}=\rho_{\mathrm{钢}}V=7.9×10^3\ \mathrm{kg/m^3} × 0.02\ \mathrm{m^3}=158\ \mathrm{kg}$
碳纤维复合材料零件的质量：
$m_{\mathrm{碳}}=m_{\mathrm{钢}}-\Delta m=158\ \mathrm{kg}-122\ \mathrm{kg}=36\ \mathrm{kg}$
（2）由题意可知，碳纤维复合材料零件的体积$V_{\mathrm{碳}}=V=0.02\ \mathrm{m^3}$
则碳纤维复合材料的密度：
$\rho_{\mathrm{碳}}=\frac{m_{\mathrm{碳}}}{V_{\mathrm{碳}}}=\frac{36\ \mathrm{kg}}{0.02\ \mathrm{m^3}}=1.8×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
答：（1）碳纤维复合材料零件的质量为36 kg；（2）此碳纤维复合材料的密度为$1.8×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$。
解析
【分析】
本题考查密度公式的应用，解题思路如下：①先利用密度公式的变形公式$m=\rho V$，计算出钢制零件的质量；②根据“替换后质量减小了122kg”，用钢制零件的质量减去减小的质量，得到碳纤维复合材料零件的质量；③由于替换时体积不变，碳纤维复合材料零件的体积等于钢制零件的体积，再利用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，计算出碳纤维复合材料的密度。
【解析】
解：（1）由$\rho=\frac{m}{V}$可得，钢制零件的质量：
$m_{\mathrm{钢}}=\rho_{\mathrm{钢}}V=7.9×10^3\ \mathrm{kg/m^3} × 0.02\ \mathrm{m^3}=158\ \mathrm{kg}$
碳纤维复合材料零件的质量：
$m_{\mathrm{碳}}=m_{\mathrm{钢}}-\Delta m=158\ \mathrm{kg}-122\ \mathrm{kg}=36\ \mathrm{kg}$
（2）由题意可知，碳纤维复合材料零件的体积$V_{\mathrm{碳}}=V=0.02\ \mathrm{m^3}$
则碳纤维复合材料的密度：
$\rho_{\mathrm{碳}}=\frac{m_{\mathrm{碳}}}{V_{\mathrm{碳}}}=\frac{36\ \mathrm{kg}}{0.02\ \mathrm{m^3}}=1.8×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
答：（1）碳纤维复合材料零件的质量为36 kg；（2）此碳纤维复合材料的密度为$1.8×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$。
【答案】
（1）36 kg；（2）$1.8×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
【知识点】
密度公式应用、密度计算
【点评】
本题结合实际材料替换场景，考查密度公式的基本应用，关键是抓住“体积不变”的隐含条件，属于初中物理密度部分的基础题，只要掌握密度公式的变形即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
本题考查密度公式的应用，解题思路如下：①先利用密度公式的变形公式$m=\rho V$，计算出钢制零件的质量；②根据“替换后质量减小了122kg”，用钢制零件的质量减去减小的质量，得到碳纤维复合材料零件的质量；③由于替换时体积不变，碳纤维复合材料零件的体积等于钢制零件的体积，再利用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，计算出碳纤维复合材料的密度。
【解析】
解：（1）由$\rho=\frac{m}{V}$可得，钢制零件的质量：
$m_{\mathrm{钢}}=\rho_{\mathrm{钢}}V=7.9×10^3\ \mathrm{kg/m^3} × 0.02\ \mathrm{m^3}=158\ \mathrm{kg}$
碳纤维复合材料零件的质量：
$m_{\mathrm{碳}}=m_{\mathrm{钢}}-\Delta m=158\ \mathrm{kg}-122\ \mathrm{kg}=36\ \mathrm{kg}$
（2）由题意可知，碳纤维复合材料零件的体积$V_{\mathrm{碳}}=V=0.02\ \mathrm{m^3}$
则碳纤维复合材料的密度：
$\rho_{\mathrm{碳}}=\frac{m_{\mathrm{碳}}}{V_{\mathrm{碳}}}=\frac{36\ \mathrm{kg}}{0.02\ \mathrm{m^3}}=1.8×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
答：（1）碳纤维复合材料零件的质量为36 kg；（2）此碳纤维复合材料的密度为$1.8×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$。
【答案】
（1）36 kg；（2）$1.8×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
【知识点】
密度公式应用、密度计算
【点评】
本题结合实际材料替换场景，考查密度公式的基本应用，关键是抓住“体积不变”的隐含条件，属于初中物理密度部分的基础题，只要掌握密度公式的变形即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
11. 实验室有一个铁球，为了判断它是不是空心的，小明用天平、量筒和水测得如下数据。
已知$\rho_{铁}=7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，量筒内的水始终没有溢出。请你根据实验数据回答下列问题。
（1）小明通过计算判断出铁球是空心的，请你写出他的判断依据。
（2）铁球空心部分的体积$V_{空}$是多少？
已知$\rho_{铁}=7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，量筒内的水始终没有溢出。请你根据实验数据回答下列问题。
（1）小明通过计算判断出铁球是空心的，请你写出他的判断依据。
（2）铁球空心部分的体积$V_{空}$是多少？
答案
解：
（1）单位换算得$\rho_{\mathrm{铁}}=7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=7.9\ \mathrm{g/cm}^3$
铁球的实际总体积：
$V_{\mathrm{球}}=V_{\mathrm{总}}-V_{\mathrm{水}}=150\ \mathrm{mL}-100\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{cm}^3$
质量为158g的实心铁的体积：
$V_{\mathrm{铁}}=\frac{m}{\rho_{\mathrm{铁}}}=\frac{158\ \mathrm{g}}{7.9\ \mathrm{g/cm}^3}=20\ \mathrm{cm}^3$
因为$V_{\mathrm{铁}}＜V_{\mathrm{球}}$，所以铁球是空心的。
（2）铁球空心部分的体积：
$V_{\mathrm{空}}=V_{\mathrm{球}}-V_{\mathrm{铁}}=50\ \mathrm{cm}^3-20\ \mathrm{cm}^3=30\ \mathrm{cm}^3$
答：（1）判断依据是铁球所含纯铁的体积小于铁球测得的实际总体积，因此铁球为空心；（2）铁球空心部分的体积为$30\ \mathrm{cm}^3$。
（1）单位换算得$\rho_{\mathrm{铁}}=7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=7.9\ \mathrm{g/cm}^3$
铁球的实际总体积：
$V_{\mathrm{球}}=V_{\mathrm{总}}-V_{\mathrm{水}}=150\ \mathrm{mL}-100\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{cm}^3$
质量为158g的实心铁的体积：
$V_{\mathrm{铁}}=\frac{m}{\rho_{\mathrm{铁}}}=\frac{158\ \mathrm{g}}{7.9\ \mathrm{g/cm}^3}=20\ \mathrm{cm}^3$
因为$V_{\mathrm{铁}}＜V_{\mathrm{球}}$，所以铁球是空心的。
（2）铁球空心部分的体积：
$V_{\mathrm{空}}=V_{\mathrm{球}}-V_{\mathrm{铁}}=50\ \mathrm{cm}^3-20\ \mathrm{cm}^3=30\ \mathrm{cm}^3$
答：（1）判断依据是铁球所含纯铁的体积小于铁球测得的实际总体积，因此铁球为空心；（2）铁球空心部分的体积为$30\ \mathrm{cm}^3$。
解析
【分析】
要判断铁球是否空心，需先计算铁球的实际体积，再根据密度公式算出质量为158g的实心铁的体积，通过比较两者体积大小判断铁球是否空心；计算空心体积时，用铁球实际体积减去实心铁的体积即可。
【解析】
（1）单位换算：$\rho_{铁}=7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=7.9\ \mathrm{g/cm}^3$。
铁球的实际体积：$V_{球}=V_{总}-V_{水}=150\ \mathrm{mL}-100\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{cm}^3$。
质量为158g的实心铁的体积：由$\rho=\frac{m}{V}$得，$V_{铁}=\frac{m}{\rho_{铁}}=\frac{158\ \mathrm{g}}{7.9\ \mathrm{g/cm}^3}=20\ \mathrm{cm}^3$。
因为$V_{铁}=20\ \mathrm{cm}^3 ＜ V_{球}=50\ \mathrm{cm}^3$，所以铁球是空心的。
（2）铁球空心部分的体积：$V_{空}=V_{球}-V_{铁}=50\ \mathrm{cm}^3 - 20\ \mathrm{cm}^3=30\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
（1）铁球的实际体积为50cm³，质量为158g的实心铁的体积为20cm³，实心铁体积小于铁球实际体积，故铁球为空心；（2）铁球空心部分的体积为30cm³。
【知识点】
密度公式应用、判断物体空心、空心体积计算
【点评】
本题是密度知识的实际应用题型，核心是利用密度公式计算体积并比较，考察学生对密度公式的掌握和运用，属于初中物理密度部分的基础题，解题思路清晰，步骤明确。
【难度系数】
0.6
要判断铁球是否空心，需先计算铁球的实际体积，再根据密度公式算出质量为158g的实心铁的体积，通过比较两者体积大小判断铁球是否空心；计算空心体积时，用铁球实际体积减去实心铁的体积即可。
【解析】
（1）单位换算：$\rho_{铁}=7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=7.9\ \mathrm{g/cm}^3$。
铁球的实际体积：$V_{球}=V_{总}-V_{水}=150\ \mathrm{mL}-100\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{cm}^3$。
质量为158g的实心铁的体积：由$\rho=\frac{m}{V}$得，$V_{铁}=\frac{m}{\rho_{铁}}=\frac{158\ \mathrm{g}}{7.9\ \mathrm{g/cm}^3}=20\ \mathrm{cm}^3$。
因为$V_{铁}=20\ \mathrm{cm}^3 ＜ V_{球}=50\ \mathrm{cm}^3$，所以铁球是空心的。
（2）铁球空心部分的体积：$V_{空}=V_{球}-V_{铁}=50\ \mathrm{cm}^3 - 20\ \mathrm{cm}^3=30\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
（1）铁球的实际体积为50cm³，质量为158g的实心铁的体积为20cm³，实心铁体积小于铁球实际体积，故铁球为空心；（2）铁球空心部分的体积为30cm³。
【知识点】
密度公式应用、判断物体空心、空心体积计算
【点评】
本题是密度知识的实际应用题型，核心是利用密度公式计算体积并比较，考察学生对密度公式的掌握和运用，属于初中物理密度部分的基础题，解题思路清晰，步骤明确。
【难度系数】
0.6
12. 假期芳芳一家外出旅游时购买了一件铜制摆件，芳芳想鉴别其是不是纯铜的。于是聪明的她用电子秤和一盆水对该摆件进行了测量：先用电子秤测出摆件的质量为4.45 kg；将盆内装满水，并测出这一满盆水的总质量为7.3 kg；然后将摆件浸没入水盆中，水溢出，将盆四周擦干，测出此时摆件、水和盆的总质量为11.25 kg。已知$\rho_{铜}=8.9×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$，$\rho_{水}=1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$，该摆件材料为非合金。
（1）求将摆件浸没在水盆中时，从盆中溢出的水的质量。
（2）求溢出的水的体积。
（3）求摆件的密度。
（4）判断摆件是不是纯铜制品。
（1）求将摆件浸没在水盆中时，从盆中溢出的水的质量。
（2）求溢出的水的体积。
（3）求摆件的密度。
（4）判断摆件是不是纯铜制品。
答案
解：
（1）溢出的水的质量：
$m_{\mathrm{溢}} = m_{\mathrm{摆件}} + m_{\mathrm{满盆水}} - m_{\mathrm{总}}$
$= 4.45\ \mathrm{kg} + 7.3\ \mathrm{kg} - 11.25\ \mathrm{kg} = 0.5\ \mathrm{kg}$
（2）由$\rho = \frac{m}{V}$得，溢出的水的体积：
$V_{\mathrm{溢}} = \frac{m_{\mathrm{溢}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{0.5\ \mathrm{kg}}{1×10^3\ \mathrm{kg/m^3}} = 5×10^{-4}\ \mathrm{m^3}$
（3）摆件浸没在水中，摆件的体积等于溢出水的体积，即$V_{\mathrm{摆件}} = V_{\mathrm{溢}} = 5×10^{-4}\ \mathrm{m^3}$
摆件的密度：
$\rho_{\mathrm{摆件}} = \frac{m_{\mathrm{摆件}}}{V_{\mathrm{摆件}}} = \frac{4.45\ \mathrm{kg}}{5×10^{-4}\ \mathrm{m^3}} = 8.9×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
（4）因为$\rho_{\mathrm{摆件}} = \rho_{\mathrm{铜}} = 8.9×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，且摆件材料为非合金，所以该摆件是纯铜制品。
答：（1）从盆中溢出的水的质量为$0.5\ \mathrm{kg}$；（2）溢出的水的体积为$5×10^{-4}\ \mathrm{m^3}$；（3）摆件的密度为$8.9×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$；（4）该摆件是纯铜制品。
（1）溢出的水的质量：
$m_{\mathrm{溢}} = m_{\mathrm{摆件}} + m_{\mathrm{满盆水}} - m_{\mathrm{总}}$
$= 4.45\ \mathrm{kg} + 7.3\ \mathrm{kg} - 11.25\ \mathrm{kg} = 0.5\ \mathrm{kg}$
（2）由$\rho = \frac{m}{V}$得，溢出的水的体积：
$V_{\mathrm{溢}} = \frac{m_{\mathrm{溢}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{0.5\ \mathrm{kg}}{1×10^3\ \mathrm{kg/m^3}} = 5×10^{-4}\ \mathrm{m^3}$
（3）摆件浸没在水中，摆件的体积等于溢出水的体积，即$V_{\mathrm{摆件}} = V_{\mathrm{溢}} = 5×10^{-4}\ \mathrm{m^3}$
摆件的密度：
$\rho_{\mathrm{摆件}} = \frac{m_{\mathrm{摆件}}}{V_{\mathrm{摆件}}} = \frac{4.45\ \mathrm{kg}}{5×10^{-4}\ \mathrm{m^3}} = 8.9×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
（4）因为$\rho_{\mathrm{摆件}} = \rho_{\mathrm{铜}} = 8.9×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，且摆件材料为非合金，所以该摆件是纯铜制品。
答：（1）从盆中溢出的水的质量为$0.5\ \mathrm{kg}$；（2）溢出的水的体积为$5×10^{-4}\ \mathrm{m^3}$；（3）摆件的密度为$8.9×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$；（4）该摆件是纯铜制品。
解析
【分析】
要解决这道题，需利用排水法的核心原理：浸没在液体中的物体体积等于其排开液体的体积。解题思路分四步：（1）溢出水的质量等于“摆件质量+满盆水总质量”减去“溢出后摆件、水和盆的总质量”，因为溢出的水使总质量减少，减少量即为溢出水的质量；（2）根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，变形为$V=\frac{m}{\rho}$，代入溢出水的质量和水的密度，计算溢出水的体积；（3）摆件浸没时体积等于溢出水的体积，再用摆件质量除以该体积，得到摆件的密度；（4）将计算出的摆件密度与纯铜的密度对比，若相等则为纯铜制品。
【解析】
解：
（1）溢出的水的质量：
$m_{\mathrm{溢}} = m_{\mathrm{摆件}} + m_{\mathrm{满盆水}} - m_{\mathrm{总}} = 4.45\ \mathrm{kg} + 7.3\ \mathrm{kg} - 11.25\ \mathrm{kg} = 0.5\ \mathrm{kg}$
（2）由$\rho = \frac{m}{V}$得，溢出的水的体积：
$V_{\mathrm{溢}} = \frac{m_{\mathrm{溢}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{0.5\ \mathrm{kg}}{1×10^3\ \mathrm{kg/m^3}} = 5×10^{-4}\ \mathrm{m^3}$
（3）摆件浸没在水中，摆件的体积等于溢出水的体积，即$V_{\mathrm{摆件}} = V_{\mathrm{溢}} = 5×10^{-4}\ \mathrm{m^3}$
摆件的密度：
$\rho_{\mathrm{摆件}} = \frac{m_{\mathrm{摆件}}}{V_{\mathrm{摆件}}} = \frac{4.45\ \mathrm{kg}}{5×10^{-4}\ \mathrm{m^3}} = 8.9×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
（4）因为$\rho_{\mathrm{摆件}} = \rho_{\mathrm{铜}} = 8.9×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，且摆件材料为非合金，所以该摆件是纯铜制品。
【答案】
（1）从盆中溢出的水的质量为$0.5\ \mathrm{kg}$；（2）溢出的水的体积为$5×10^{-4}\ \mathrm{m^3}$；（3）摆件的密度为$8.9×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$；（4）该摆件是纯铜制品。
【知识点】
密度的计算、密度公式的应用、物质鉴别
【点评】
本题结合排水法测量固体体积，运用密度公式进行计算并鉴别物质，是密度知识的基础应用题，侧重考查学生对物理原理和公式的应用能力，难度适中。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需利用排水法的核心原理：浸没在液体中的物体体积等于其排开液体的体积。解题思路分四步：（1）溢出水的质量等于“摆件质量+满盆水总质量”减去“溢出后摆件、水和盆的总质量”，因为溢出的水使总质量减少，减少量即为溢出水的质量；（2）根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，变形为$V=\frac{m}{\rho}$，代入溢出水的质量和水的密度，计算溢出水的体积；（3）摆件浸没时体积等于溢出水的体积，再用摆件质量除以该体积，得到摆件的密度；（4）将计算出的摆件密度与纯铜的密度对比，若相等则为纯铜制品。
【解析】
解：
（1）溢出的水的质量：
$m_{\mathrm{溢}} = m_{\mathrm{摆件}} + m_{\mathrm{满盆水}} - m_{\mathrm{总}} = 4.45\ \mathrm{kg} + 7.3\ \mathrm{kg} - 11.25\ \mathrm{kg} = 0.5\ \mathrm{kg}$
（2）由$\rho = \frac{m}{V}$得，溢出的水的体积：
$V_{\mathrm{溢}} = \frac{m_{\mathrm{溢}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{0.5\ \mathrm{kg}}{1×10^3\ \mathrm{kg/m^3}} = 5×10^{-4}\ \mathrm{m^3}$
（3）摆件浸没在水中，摆件的体积等于溢出水的体积，即$V_{\mathrm{摆件}} = V_{\mathrm{溢}} = 5×10^{-4}\ \mathrm{m^3}$
摆件的密度：
$\rho_{\mathrm{摆件}} = \frac{m_{\mathrm{摆件}}}{V_{\mathrm{摆件}}} = \frac{4.45\ \mathrm{kg}}{5×10^{-4}\ \mathrm{m^3}} = 8.9×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
（4）因为$\rho_{\mathrm{摆件}} = \rho_{\mathrm{铜}} = 8.9×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，且摆件材料为非合金，所以该摆件是纯铜制品。
【答案】
（1）从盆中溢出的水的质量为$0.5\ \mathrm{kg}$；（2）溢出的水的体积为$5×10^{-4}\ \mathrm{m^3}$；（3）摆件的密度为$8.9×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$；（4）该摆件是纯铜制品。
【知识点】
密度的计算、密度公式的应用、物质鉴别
【点评】
本题结合排水法测量固体体积，运用密度公式进行计算并鉴别物质，是密度知识的基础应用题，侧重考查学生对物理原理和公式的应用能力，难度适中。
【难度系数】
0.7
