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1. 某科技园区第一年的总利润为8000万元，第三年的总利润达到了11520万元. 如果该园区的年利润增长率相同，那么该园区的年利润每年增长百分之几？
答案
1. 该园区的年利润每年增长20%. 提示：设该园区的年利润每年增长x，根据题意，得方程8 000(1+x)²=11 520. 解得x₁=0.2，x₂=-2.2(不合题意，舍去).
解析
【分析】
这是一道平均增长率类的应用题，解题思路如下：第一步，明确增长率问题的基本等量关系：初始量×(1+增长率)^增长次数=最终量；第二步，本题中初始利润是第一年的8000万元，到第三年总共经过了2次增长，最终利润是11520万元，设年增长率为x，即可对应列出一元二次方程；第三步，解方程后，结合增长率为正数的实际要求，舍去不符合题意的负根，得到最终结果。
【解析】
解：设该园区的年利润每年增长的百分率为x，
根据题意列方程：
$8000(1+x)^2=11520$
方程两边同时除以8000，得：
$(1+x)^2=1.44$
开平方得：
$1+x=\pm1.2$
解得：$x_1=1.2-1=0.2=20\%$，$x_2=-1.2-1=-2.2$
由于年利润增长率不能为负数，因此$x_2=-2.2$不符合题意，舍去。
【答案】
该园区的年利润每年增长20%
【知识点】
1. 一元二次方程的应用 2. 平均增长率问题
【点评】
本题属于典型的增长率应用题，解题核心是准确梳理增长次数、找准等量关系列方程，同时要注意结合实际意义对解进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率类的应用题，解题思路如下：第一步，明确增长率问题的基本等量关系：初始量×(1+增长率)^增长次数=最终量；第二步，本题中初始利润是第一年的8000万元，到第三年总共经过了2次增长，最终利润是11520万元，设年增长率为x，即可对应列出一元二次方程；第三步，解方程后，结合增长率为正数的实际要求，舍去不符合题意的负根，得到最终结果。
【解析】
解：设该园区的年利润每年增长的百分率为x，
根据题意列方程：
$8000(1+x)^2=11520$
方程两边同时除以8000，得：
$(1+x)^2=1.44$
开平方得：
$1+x=\pm1.2$
解得：$x_1=1.2-1=0.2=20\%$，$x_2=-1.2-1=-2.2$
由于年利润增长率不能为负数，因此$x_2=-2.2$不符合题意，舍去。
【答案】
该园区的年利润每年增长20%
【知识点】
1. 一元二次方程的应用 2. 平均增长率问题
【点评】
本题属于典型的增长率应用题，解题核心是准确梳理增长次数、找准等量关系列方程，同时要注意结合实际意义对解进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
2. 小海将5 000元人民币按一年期定期存入银行，到期后他取出一半的本利和买年货，剩下的继续按一年期定期存入银行. 如果这两年存款的利率不变，第二年到期他可得本利和2 601元，求银行一年期定期存款的年利率.
答案
2. 银行一年期定期存款的年利率为2%. 提示：设银行一年期定期存款的年利率为x，根据题意，得方程$\frac{1}{2}×5\ 000(1+x)^2=2\ 601$. 解得x₁=0.02，x₂=-2.02(不合题意，舍去).
解析
【分析】
这是储蓄利率类应用题，解题核心是掌握“本利和=本金×(1+年利率)”的数量关系。思考步骤如下：1. 设年利率为未知数x；2. 先计算第一年到期的总本利和：初始本金5000元，存1年的本利和为$5000(1+x)$；3. 取出一半后剩余的钱就是第二年的存款本金，即$\frac{1}{2}×5000(1+x)$；4. 第二年到期的本利和为第二年本金再乘$(1+x)$，结合题目给出的第二年本利和为2601元，即可列方程求解，最后注意年利率不能为负，要舍去不符合实际的解。
【解析】
解：设银行一年期定期存款的年利率为$x$。
第一年到期后的本利和为：$5000(1+x)$元
取出一半买年货后，第二年的存款本金为：$\frac{1}{2}×5000(1+x)=2500(1+x)$元
第二年到期后的本利和为$2500(1+x)·(1+x)=2500(1+x)^2$元，根据题意列方程：
$2500(1+x)^2=2601$
两边同时除以2500，得：
$(1+x)^2=\frac{2601}{2500}$
开平方得：
$1+x=\pm\frac{51}{50}$
当$1+x=\frac{51}{50}$时，$x=\frac{51}{50}-1=0.02=2\%$
当$1+x=-\frac{51}{50}$时，$x=-2.02$，年利率不能为负数，不符合实际意义，舍去。
【答案】
银行一年期定期存款的年利率为2%
【知识点】
一元二次方程应用；储蓄利率计算；解的合理性检验
【点评】
这道题是结合生活实际的方程应用题，解题关键是理清两次存款的本金变化，熟练运用本利和公式列方程，同时要注意结合实际情境筛选方程的解，排除不符合常理的结果。
【难度系数】
0.7
这是储蓄利率类应用题，解题核心是掌握“本利和=本金×(1+年利率)”的数量关系。思考步骤如下：1. 设年利率为未知数x；2. 先计算第一年到期的总本利和：初始本金5000元，存1年的本利和为$5000(1+x)$；3. 取出一半后剩余的钱就是第二年的存款本金，即$\frac{1}{2}×5000(1+x)$；4. 第二年到期的本利和为第二年本金再乘$(1+x)$，结合题目给出的第二年本利和为2601元，即可列方程求解，最后注意年利率不能为负，要舍去不符合实际的解。
【解析】
解：设银行一年期定期存款的年利率为$x$。
第一年到期后的本利和为：$5000(1+x)$元
取出一半买年货后，第二年的存款本金为：$\frac{1}{2}×5000(1+x)=2500(1+x)$元
第二年到期后的本利和为$2500(1+x)·(1+x)=2500(1+x)^2$元，根据题意列方程：
$2500(1+x)^2=2601$
两边同时除以2500，得：
$(1+x)^2=\frac{2601}{2500}$
开平方得：
$1+x=\pm\frac{51}{50}$
当$1+x=\frac{51}{50}$时，$x=\frac{51}{50}-1=0.02=2\%$
当$1+x=-\frac{51}{50}$时，$x=-2.02$，年利率不能为负数，不符合实际意义，舍去。
【答案】
银行一年期定期存款的年利率为2%
【知识点】
一元二次方程应用；储蓄利率计算；解的合理性检验
【点评】
这道题是结合生活实际的方程应用题，解题关键是理清两次存款的本金变化，熟练运用本利和公式列方程，同时要注意结合实际情境筛选方程的解，排除不符合常理的结果。
【难度系数】
0.7
3. 某学校七年级、八年级各有一个摄影小组，共22人，其中七年级的学生较多. 如果摄影小组中同年级的每两名学生都拍一张合影，共有119张合影照片，那么摄影小组中七年级和八年级的学生各有几人？
答案
3. 摄影小组中七年级的学生有14人，八年级的学生有8人. 提示：设摄影小组中七年级的学生有x人，则八年级的学生有(22−x)人. 根据题意，得方程$\frac{1}{2}x(x-1)+\frac{1}{2}(22-x)(21-x)=119$. 解得x₁=14，x₂=8(不合题意，舍去).
解析
【分析】
这是一道结合实际计数场景的一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步，合理设未知数，已知两个年级总人数为22人，可设七年级人数为x人，则八年级人数可表示为(22-x)人；第二步，明确合影数的计算逻辑：同年级每2人拍1张合影，相当于从n个同年级学生中任选2人组合，不考虑顺序，因此n个人的合影总数为$\frac{1}{2}n(n-1)$；第三步，根据两个年级合影总数为119张，列一元二次方程；第四步，解方程后，结合“七年级学生较多”的条件对根进行取舍，得到符合实际的结果。
【解析】
解：设摄影小组中七年级的学生有x人，则八年级的学生有$(22-x)$人。
同年级每两名学生拍一张合影，因此七年级合影总数为$\frac{1}{2}x(x-1)$张，八年级合影总数为$\frac{1}{2}(22-x)(22-x-1)=\frac{1}{2}(22-x)(21-x)$张。
根据总合影数为119张，列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)+\frac{1}{2}(22-x)(21-x)=119$
两边同乘2消去分母，得：
$x(x-1)+(22-x)(21-x)=238$
展开并整理方程：
$x^2 - x + 462 - 43x + x^2 = 238$
$2x^2 - 44x + 224 = 0$
化简得：
$x^2 - 22x + 112 = 0$
因式分解得：
$(x-14)(x-8)=0$
解得：$x_1=14$，$x_2=8$
∵题目说明七年级学生较多，即$x＞22-x$，也就是$x＞11$
∴$x=8$不符合题意，舍去
则八年级人数为$22-14=8$（人）
【答案】
摄影小组中七年级的学生有14人，八年级的学生有8人。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 一元二次方程的解法
3. 单循环计数
【点评】
本题将方程知识和实际生活场景结合，核心是理解“每两人仅拍一张合影”的计数规则，列方程时要注意避免重复计数，求出方程的解后需要结合题目的限制条件检验根的合理性，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6
这是一道结合实际计数场景的一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步，合理设未知数，已知两个年级总人数为22人，可设七年级人数为x人，则八年级人数可表示为(22-x)人；第二步，明确合影数的计算逻辑：同年级每2人拍1张合影，相当于从n个同年级学生中任选2人组合，不考虑顺序，因此n个人的合影总数为$\frac{1}{2}n(n-1)$；第三步，根据两个年级合影总数为119张，列一元二次方程；第四步，解方程后，结合“七年级学生较多”的条件对根进行取舍，得到符合实际的结果。
【解析】
解：设摄影小组中七年级的学生有x人，则八年级的学生有$(22-x)$人。
同年级每两名学生拍一张合影，因此七年级合影总数为$\frac{1}{2}x(x-1)$张，八年级合影总数为$\frac{1}{2}(22-x)(22-x-1)=\frac{1}{2}(22-x)(21-x)$张。
根据总合影数为119张，列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)+\frac{1}{2}(22-x)(21-x)=119$
两边同乘2消去分母，得：
$x(x-1)+(22-x)(21-x)=238$
展开并整理方程：
$x^2 - x + 462 - 43x + x^2 = 238$
$2x^2 - 44x + 224 = 0$
化简得：
$x^2 - 22x + 112 = 0$
因式分解得：
$(x-14)(x-8)=0$
解得：$x_1=14$，$x_2=8$
∵题目说明七年级学生较多，即$x＞22-x$，也就是$x＞11$
∴$x=8$不符合题意，舍去
则八年级人数为$22-14=8$（人）
【答案】
摄影小组中七年级的学生有14人，八年级的学生有8人。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 一元二次方程的解法
3. 单循环计数
【点评】
本题将方程知识和实际生活场景结合，核心是理解“每两人仅拍一张合影”的计数规则，列方程时要注意避免重复计数，求出方程的解后需要结合题目的限制条件检验根的合理性，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6
