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1. 等腰三角形的一个内角为 $100°$，则顶角的度数是.
答案
解：
分两种情况讨论：
1. 若这个100°的内角是等腰三角形的底角，
则两个底角的和为$100° × 2 = 200° ＞ 180°$，与三角形内角和为$180°$矛盾，该情况不存在。
2. 若这个100°的内角是等腰三角形的顶角，
则两个底角的和为$180° - 100° = 80°$，每个底角为$40°$，符合三角形内角和性质。
综上，顶角的度数是$\boldsymbol{100°}$。
分两种情况讨论：
1. 若这个100°的内角是等腰三角形的底角，
则两个底角的和为$100° × 2 = 200° ＞ 180°$，与三角形内角和为$180°$矛盾，该情况不存在。
2. 若这个100°的内角是等腰三角形的顶角，
则两个底角的和为$180° - 100° = 80°$，每个底角为$40°$，符合三角形内角和性质。
综上，顶角的度数是$\boldsymbol{100°}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆等腰三角形“两底角相等”的性质以及三角形内角和为180°的定理。题目仅给出一个内角为100°，未明确是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：第一种假设该角是底角，验证是否符合内角和定理；第二种假设该角是顶角，验证是否成立，最后排除不符合的情况即可得到结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若这个100°的内角是等腰三角形的底角，
则两个底角的和为$100° × 2 = 200° ＞ 180°$，与三角形内角和为$180°$矛盾，该情况不存在。
2. 若这个100°的内角是等腰三角形的顶角，
则两个底角的和为$180° - 100° = 80°$，每个底角为$40°$，符合三角形内角和性质。
综上，顶角的度数是$100°$。
【答案】
$100°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查等腰三角形性质与三角形内角和定理的结合应用，解题时需注意分类讨论思想的运用，同时要结合内角和定理验证假设是否成立，切勿忽略等腰三角形的底角必定为锐角的隐含限制，避免出现错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆等腰三角形“两底角相等”的性质以及三角形内角和为180°的定理。题目仅给出一个内角为100°，未明确是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：第一种假设该角是底角，验证是否符合内角和定理；第二种假设该角是顶角，验证是否成立，最后排除不符合的情况即可得到结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若这个100°的内角是等腰三角形的底角，
则两个底角的和为$100° × 2 = 200° ＞ 180°$，与三角形内角和为$180°$矛盾，该情况不存在。
2. 若这个100°的内角是等腰三角形的顶角，
则两个底角的和为$180° - 100° = 80°$，每个底角为$40°$，符合三角形内角和性质。
综上，顶角的度数是$100°$。
【答案】
$100°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查等腰三角形性质与三角形内角和定理的结合应用，解题时需注意分类讨论思想的运用，同时要结合内角和定理验证假设是否成立，切勿忽略等腰三角形的底角必定为锐角的隐含限制，避免出现错误。
【难度系数】
0.8
2.等腰三角形的一个外角是$140°$,则它的顶角的度数是.
答案
解：分两种情况讨论：
① 当140°的外角是顶角的邻补角时，
顶角的度数为$180° - 140° = 40°$；
② 当140°的外角是底角的邻补角时，
底角的度数为$180° - 140° = 40°$，
由等腰三角形两底角相等，得顶角的度数为$180° - 2×40° = 100°$。
综上，它的顶角的度数是$\boldsymbol{40°}$或$\boldsymbol{100°}$。
① 当140°的外角是顶角的邻补角时，
顶角的度数为$180° - 140° = 40°$；
② 当140°的外角是底角的邻补角时，
底角的度数为$180° - 140° = 40°$，
由等腰三角形两底角相等，得顶角的度数为$180° - 2×40° = 100°$。
综上，它的顶角的度数是$\boldsymbol{40°}$或$\boldsymbol{100°}$。
解析
【分析】
已知等腰三角形的一个外角为140°，由于题目未明确该外角对应顶角还是底角的邻补角，因此需要分两种情况讨论求解：第一步先利用邻补角互补的性质求出对应的内角度数，第二步结合等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理计算顶角的度数，最后验证两种情况均符合三角形内角和要求即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当140°的外角是顶角的邻补角时，
顶角的度数为$180° - 140° = 40°$；
② 当140°的外角是底角的邻补角时，
底角的度数为$180° - 140° = 40°$，
由等腰三角形两底角相等，得顶角的度数为$180° - 2×40° = 100°$。
综上，它的顶角的度数是$\boldsymbol{40°}$或$\boldsymbol{100°}$。
【答案】
$40°$或$100°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，邻补角的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质应用的典型易错题，解题的核心是树立分类讨论的意识，避免遗漏外角对应底角的情况，计算完成后可通过三角形内角和定理验证结果是否合理。
【难度系数】
0.6
已知等腰三角形的一个外角为140°，由于题目未明确该外角对应顶角还是底角的邻补角，因此需要分两种情况讨论求解：第一步先利用邻补角互补的性质求出对应的内角度数，第二步结合等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理计算顶角的度数，最后验证两种情况均符合三角形内角和要求即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当140°的外角是顶角的邻补角时，
顶角的度数为$180° - 140° = 40°$；
② 当140°的外角是底角的邻补角时，
底角的度数为$180° - 140° = 40°$，
由等腰三角形两底角相等，得顶角的度数为$180° - 2×40° = 100°$。
综上，它的顶角的度数是$\boldsymbol{40°}$或$\boldsymbol{100°}$。
【答案】
$40°$或$100°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，邻补角的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质应用的典型易错题，解题的核心是树立分类讨论的意识，避免遗漏外角对应底角的情况，计算完成后可通过三角形内角和定理验证结果是否合理。
【难度系数】
0.6
3.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ CAB=90°$,以点B为圆心,BA长为半径画弧,交CB于点T,连接AT,$∠ CAT=24°$,则$∠ C$的度数是.
答案
$\boldsymbol{42°}$
解析
【分析】
解题时首先根据“同圆的半径相等”，得到BA=BT，判定△BAT为等腰三角形；接下来结合∠CAB=90°和已知∠CAT=24°，先求出∠BAT的度数；再利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和求出∠B的度数；最后在Rt△ABC中，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠C的度数。
【解析】
∵ 以点B为圆心，BA长为半径画弧交CB于点T，
∴ BA=BT，即△BAT是等腰三角形，∠BAT=∠BTA。
∵ ∠CAB=90°，∠CAT=24°，
∴ ∠BAT=∠CAB - ∠CAT = 90° - 24° = 66°，
∴ ∠BTA=∠BAT=66°。
在△BAT中，根据三角形内角和为180°：
∠B = 180° - ∠BAT - ∠BTA = 180° - 66° - 66° = 48°。
在Rt△ABC中，∠CAB=90°，直角三角形两锐角互余：
∠C = 90° - ∠B = 90° - 48° = 42°。
【答案】
$\boldsymbol{42°}$
【知识点】
等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的突破口是根据圆的半径相等得到等腰三角形，再结合角度的和差关系、三角形内角和性质逐步推导计算，考查对基础几何性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据“同圆的半径相等”，得到BA=BT，判定△BAT为等腰三角形；接下来结合∠CAB=90°和已知∠CAT=24°，先求出∠BAT的度数；再利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和求出∠B的度数；最后在Rt△ABC中，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠C的度数。
【解析】
∵ 以点B为圆心，BA长为半径画弧交CB于点T，
∴ BA=BT，即△BAT是等腰三角形，∠BAT=∠BTA。
∵ ∠CAB=90°，∠CAT=24°，
∴ ∠BAT=∠CAB - ∠CAT = 90° - 24° = 66°，
∴ ∠BTA=∠BAT=66°。
在△BAT中，根据三角形内角和为180°：
∠B = 180° - ∠BAT - ∠BTA = 180° - 66° - 66° = 48°。
在Rt△ABC中，∠CAB=90°，直角三角形两锐角互余：
∠C = 90° - ∠B = 90° - 48° = 42°。
【答案】
$\boldsymbol{42°}$
【知识点】
等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的突破口是根据圆的半径相等得到等腰三角形，再结合角度的和差关系、三角形内角和性质逐步推导计算，考查对基础几何性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
4.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.
(1)若BC=6，则CD=；
(2)若∠B=40°，则∠DAC=°.
(1)若BC=6，则CD=；
(2)若∠B=40°，则∠DAC=°.
答案
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{50}$
解析
【分析】
本题考查等腰三角形性质的应用，解题思路如下：① 先由AB=AC判定△ABC是等腰三角形，结合AD⊥BC的条件，利用等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD是BC的中线，即可求出CD的长度；② 先利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到∠C的度数，再结合AD⊥BC得到△ADC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠DAC的度数。
【解析】
(1)
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，
又
∵ AD⊥BC，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD是BC边上的中线，
∴ D是BC的中点，
∴ CD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}×6=3$。
(2)
∵ AB=AC，
∴ ∠C=∠B=40°（等腰三角形等边对等角），
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠DAC + ∠C = 90°（直角三角形两锐角互余），
∴ ∠DAC = 90° - 40° = 50°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{50}$
【知识点】
等腰三角形三线合一，等腰三角形等边对等角，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何题，侧重对等腰三角形核心性质的直接考查，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.9
本题考查等腰三角形性质的应用，解题思路如下：① 先由AB=AC判定△ABC是等腰三角形，结合AD⊥BC的条件，利用等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD是BC的中线，即可求出CD的长度；② 先利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到∠C的度数，再结合AD⊥BC得到△ADC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠DAC的度数。
【解析】
(1)
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，
又
∵ AD⊥BC，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD是BC边上的中线，
∴ D是BC的中点，
∴ CD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}×6=3$。
(2)
∵ AB=AC，
∴ ∠C=∠B=40°（等腰三角形等边对等角），
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠DAC + ∠C = 90°（直角三角形两锐角互余），
∴ ∠DAC = 90° - 40° = 50°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{50}$
【知识点】
等腰三角形三线合一，等腰三角形等边对等角，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何题，侧重对等腰三角形核心性质的直接考查，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.9
5. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ B=70°$,以点$C$为圆心,$CA$长为半径作弧,交直线$BC$于点$P$,连接$AP$,则$∠ BAP$的度数是.
答案
解：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB=70°，
∴ ∠BAC=180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 70°×2 = 40°。
由题意得CA=CP，分两种情况：
① 当点P在BC的延长线上时：
∵ CA=CP，
∴ ∠CAP=∠CPA，
∵ ∠ACP=180° - ∠ACB = 110°，
∴ ∠CAP = (180° - 110°)÷2 = 35°，
∴ ∠BAP = ∠BAC + ∠CAP = 40° + 35° = 75°。
② 当点P在CB的延长线上时：
∵ CA=CP，
∴ ∠CAP=∠CPA，
∵ ∠ACP=∠ACB=70°，
∴ ∠CAP = (180° - 70°)÷2 = 55°，
∴ ∠BAP = ∠CAP - ∠BAC = 55° - 40° = 15°。
综上，∠BAP的度数是$\boldsymbol{15°}$或$\boldsymbol{75°}$。
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB=70°，
∴ ∠BAC=180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 70°×2 = 40°。
由题意得CA=CP，分两种情况：
① 当点P在BC的延长线上时：
∵ CA=CP，
∴ ∠CAP=∠CPA，
∵ ∠ACP=180° - ∠ACB = 110°，
∴ ∠CAP = (180° - 110°)÷2 = 35°，
∴ ∠BAP = ∠BAC + ∠CAP = 40° + 35° = 75°。
② 当点P在CB的延长线上时：
∵ CA=CP，
∴ ∠CAP=∠CPA，
∵ ∠ACP=∠ACB=70°，
∴ ∠CAP = (180° - 70°)÷2 = 55°，
∴ ∠BAP = ∠CAP - ∠BAC = 55° - 40° = 15°。
综上，∠BAP的度数是$\boldsymbol{15°}$或$\boldsymbol{75°}$。
解析
【分析】
首先根据已知AB=AC，可判定△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质先求出∠ACB和∠BAC的度数。接下来注意题目中是“交直线BC于点P”，直线向两端无限延伸，因此点P存在两种位置：①在BC的延长线上；②在CB的延长线上，需分类讨论两种情况。对每种情况，根据作图可知CA=CP，即△CAP也是等腰三角形，再结合三角形内角和定理分别计算对应∠BAP的度数即可。
【解析】
解：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB=70°，
∴ ∠BAC=180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 70°×2 = 40°。
由题意得CA=CP，分两种情况讨论：
① 当点P在BC的延长线上时：
∵ CA=CP，
∴ ∠CAP=∠CPA，
∵ ∠ACP=180° - ∠ACB = 110°，
∴ ∠CAP = (180° - 110°)÷2 = 35°，
∴ ∠BAP = ∠BAC + ∠CAP = 40° + 35° = 75°。
② 当点P在CB的延长线上时：
∵ CA=CP，
∴ ∠CAP=∠CPA，
∵ ∠ACP=∠ACB=70°，
∴ ∠CAP = (180° - 70°)÷2 = 55°，
∴ ∠BAP = ∠CAP - ∠BAC = 55° - 40° = 15°。
综上，∠BAP的度数为15°或75°。
【答案】
15°或75°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题解题的关键是注意“直线BC”的表述，避免因忽略P点的两种位置导致漏解，解题时要养成认真审题、全面考虑问题的习惯，熟练运用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理进行角度计算。
【难度系数】
0.6
首先根据已知AB=AC，可判定△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质先求出∠ACB和∠BAC的度数。接下来注意题目中是“交直线BC于点P”，直线向两端无限延伸，因此点P存在两种位置：①在BC的延长线上；②在CB的延长线上，需分类讨论两种情况。对每种情况，根据作图可知CA=CP，即△CAP也是等腰三角形，再结合三角形内角和定理分别计算对应∠BAP的度数即可。
【解析】
解：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB=70°，
∴ ∠BAC=180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 70°×2 = 40°。
由题意得CA=CP，分两种情况讨论：
① 当点P在BC的延长线上时：
∵ CA=CP，
∴ ∠CAP=∠CPA，
∵ ∠ACP=180° - ∠ACB = 110°，
∴ ∠CAP = (180° - 110°)÷2 = 35°，
∴ ∠BAP = ∠BAC + ∠CAP = 40° + 35° = 75°。
② 当点P在CB的延长线上时：
∵ CA=CP，
∴ ∠CAP=∠CPA，
∵ ∠ACP=∠ACB=70°，
∴ ∠CAP = (180° - 70°)÷2 = 55°，
∴ ∠BAP = ∠CAP - ∠BAC = 55° - 40° = 15°。
综上，∠BAP的度数为15°或75°。
【答案】
15°或75°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题解题的关键是注意“直线BC”的表述，避免因忽略P点的两种位置导致漏解，解题时要养成认真审题、全面考虑问题的习惯，熟练运用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理进行角度计算。
【难度系数】
0.6
6.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,则下列结论不一定成立的是()
A.AD=BD
B.BD=CD
C.∠1=∠2
D.∠B=∠C
A.AD=BD
B.BD=CD
C.∠1=∠2
D.∠B=∠C
答案
A
解析
【分析】
首先由已知AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，结合AD⊥BC的条件，我们可以调用等腰三角形的相关性质逐一验证选项：①等腰三角形两底角相等（等边对等角）；②等腰三角形底边上的高、顶角的角平分线、底边上的中线三线重合。题干要求选“不一定成立”的结论，需要判断哪个结论没有足够的条件支撑。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形。
根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠B=∠C，故D选项结论成立，不符合题意；
∵AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质：
AD是BC边上的中线，因此BD=CD，故B选项结论成立，不符合题意；
AD也是∠BAC的角平分线，因此∠1=∠2，故C选项结论成立，不符合题意；
AD=BD仅当∠B=45°（即△ABC为等腰直角三角形）时成立，题干未给出相关角度条件，因此该结论不一定成立，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；三线合一；等边对等角
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形的基础性质，解题时要注意题干要求选择“不一定成立”的选项，避免因粗心漏看要求选错答案，熟练掌握三线合一和等边对等角的内容即可快速解题。
【难度系数】
0.85
首先由已知AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，结合AD⊥BC的条件，我们可以调用等腰三角形的相关性质逐一验证选项：①等腰三角形两底角相等（等边对等角）；②等腰三角形底边上的高、顶角的角平分线、底边上的中线三线重合。题干要求选“不一定成立”的结论，需要判断哪个结论没有足够的条件支撑。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形。
根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠B=∠C，故D选项结论成立，不符合题意；
∵AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质：
AD是BC边上的中线，因此BD=CD，故B选项结论成立，不符合题意；
AD也是∠BAC的角平分线，因此∠1=∠2，故C选项结论成立，不符合题意；
AD=BD仅当∠B=45°（即△ABC为等腰直角三角形）时成立，题干未给出相关角度条件，因此该结论不一定成立，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；三线合一；等边对等角
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形的基础性质，解题时要注意题干要求选择“不一定成立”的选项，避免因粗心漏看要求选错答案，熟练掌握三线合一和等边对等角的内容即可快速解题。
【难度系数】
0.85
