例1 计算下列各题：
(1)$\frac{ab^2}{2c^2} · \frac{4cd}{-3a^2b^2}$；(2)$\frac{a^2 -4}{a^2 -4a +3} · \frac{a -3}{a^2 +3a +2}$
【思路导析】1. 分子和分母都是单项式的，先“分子乘分子，分母乘分母”，再约分；或先约分，再相乘。
2. 分子和分母是多项式的，先分解因式，再约分。
【请你解答】

解：
(1) 原式$=\frac{ab^2 · 4cd}{2c^2 · (-3a^2b^2)}$
$=-\frac{4ab^2cd}{6a^2b^2c^2}$
$=-\frac{2d}{3ac}$
(2) 原式$=\frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)(a-3)} · \frac{a-3}{(a+1)(a+2)}$
$=\frac{(a+2)(a-2)(a-3)}{(a-1)(a-3)(a+1)(a+2)}$
$=\frac{a-2}{(a-1)(a+1)}$
$=\frac{a-2}{a^2-1}$

【分析】
对于分式乘法运算，分两种情况处理：(1)当分子分母都是单项式时，可先根据“分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母”的法则写出乘积形式，再约去分子分母的公因式，也可先约分再相乘，运算时先确定结果的符号，再处理系数和相同字母的幂次；(2)当分子分母是多项式时，第一步先对每个多项式进行因式分解，再按照分式乘法法则相乘，最后约去所有公因式，将结果化为最简分式。
【解析】
(1) 原式$=\frac{ab^2 · 4cd}{2c^2 · (-3a^2b^2)}$
$=-\frac{4ab^2cd}{6a^2b^2c^2}$
$=-\frac{2d}{3ac}$
(2) 原式$=\frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)(a-3)} · \frac{a-3}{(a+1)(a+2)}$
$=\frac{(a+2)(a-2)(a-3)}{(a-1)(a-3)(a+1)(a+2)}$
$=\frac{a-2}{(a-1)(a+1)}$
$=\frac{a-2}{a^2-1}$
【答案】
(1) $-\frac{2d}{3ac}$；(2) $\frac{a-2}{a^2-1}$
【知识点】
分式的乘法运算；因式分解；分式的约分
【点评】
本题是分式乘法的基础运算题，解题核心是区分单项式型和多项式型分式的运算步骤：单项式型直接运算约分，多项式型要先因式分解再约分，运算时要注意符号处理，约分要彻底，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.8

例2 计算:(1)$-3xy ÷ \frac{2y^2}{3x}$；
(2)$(xy - x^2) ÷ \frac{x - y}{xy}$。
【思路导析】先确定商的符号，再把分式的除法变为乘法，然后按乘法法则进行计算。
【请你解答】

解：
(1) 原式$=-3xy · \frac{3x}{2y^2}$
$=-\frac{9x^2y}{2y^2}$
$=-\frac{9x^2}{2y}$
(2) 原式$=(xy - x^2) · \frac{xy}{x-y}$
$=x(y-x) · \frac{xy}{x-y}$
$=-x(x-y) · \frac{xy}{x-y}$
$=-x · xy$
$=-x^2y$

【分析】
解这两道分式除法题可按照以下思路逐步推导：
1. 依据分式除法法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，首先将除法运算统一转化为乘法运算，同时提前确定结果的符号；
2. 若被除式是多项式，先对多项式提取公因式进行因式分解，方便后续找公因式约分；
3. 遇到互为相反数的因式时（如$y-x$和$x-y$），可变形为$y-x=-(x-y)$，变形时注意不要遗漏负号；
4. 最后按分式乘法法则计算，约去分子分母的公因式，得到最简结果即可。
【解析】
(1) 计算$-3xy ÷ \frac{2y^2}{3x}$：
原式$=-3xy · \frac{3x}{2y^2}$
$=-\frac{9x^2y}{2y^2}$
约去分子分母的公因式$y$，得$=-\frac{9x^2}{2y}$
(2) 计算$(xy - x^2) ÷ \frac{x - y}{xy}$：
原式$=(xy - x^2) · \frac{xy}{x-y}$
对多项式提取公因式$x$，得$=x(y-x) · \frac{xy}{x-y}$
将$y-x$变形为$-(x-y)$，得$=-x(x-y) · \frac{xy}{x-y}$
约去分子分母的公因式$(x-y)$，得$=-x · xy$
$=-x^2y$
【答案】
(1)$-\frac{9x^2}{2y}$；(2)$-x^2y$
【知识点】
分式除法法则、提取公因式因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式乘除运算的基础题型，解题核心是先将除法转化为乘法，遇到多项式优先因式分解，需特别注意互为相反数的因式变形时的符号问题，约分要彻底，避免出现符号错误或约分不彻底的问题。
【难度系数】
0.8

例3 (1) $\frac{3ab^2}{2x^3y} · ( \frac{-8xy}{9a^2b} ) ÷ \frac{3x}{(-4b)}$；
(2) $\frac{2x - 6}{4 - 4x + x^2} ÷ (x + 3) · \frac{(x + 3)(x - 2)}{3 - x}$。
【思路导析】将除法变成乘法，再运算。
【示范解答】(1) $\frac{3ab^2}{2x^3y} · ( \frac{-8xy}{9a^2b} ) ÷ \frac{3x}{(-4b)}$
$= \frac{3ab^2}{2x^3y} · ( -\frac{8xy}{9a^2b} ) · \frac{-4b}{3x}$ （除法变乘法）
$= \frac{3ab^2}{2x^3y} · \frac{8xy}{9a^2b} · \frac{4b}{3x}$ （确定符号）
$= \frac{16b^2}{9ax^3}$。 （约分成最简分式）
(2) $\frac{2x - 6}{4 - 4x + x^2} ÷ (x + 3) · \frac{(x + 3)(x - 2)}{3 - x}$
$= \frac{2x - 6}{4 - 4x + x^2} · \frac{1}{x + 3} · \frac{(x + 3)(x - 2)}{3 - x}$
（除法变乘法）
$= \frac{2(x - 3)}{(2 - x)^2} · \frac{1}{x + 3} · \frac{(x + 3)(x - 2)}{3 - x}$
（分解因式）
$= \frac{2(x - 3)}{(x - 2)^2} · \frac{1}{x + 3} · \frac{(x + 3)(x - 2)}{-(x - 3)}$
（约分并相乘）
$= -\frac{2}{x - 2}$。

解：
(1) $\frac{3ab^2}{2x^3y} · ( \frac{-8xy}{9a^2b} ) ÷ \frac{3x}{(-4b)}$
$= \frac{3ab^2}{2x^3y} · ( -\frac{8xy}{9a^2b} ) · \frac{-4b}{3x}$
$= \frac{3ab^2 · 8xy · 4b}{2x^3y · 9a^2b · 3x}$
$= \frac{16b^2}{9ax^3}$
(2) $\frac{2x - 6}{4 - 4x + x^2} ÷ (x + 3) · \frac{(x + 3)(x - 2)}{3 - x}$
$= \frac{2x - 6}{4 - 4x + x^2} · \frac{1}{x + 3} · \frac{(x + 3)(x - 2)}{3 - x}$
$= \frac{2(x - 3)}{(x - 2)^2} · \frac{1}{x + 3} · \frac{(x + 3)(x - 2)}{-(x - 3)}$
$= -\frac{2}{x - 2}$

【分析】
分式乘除混合运算的核心是先将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数），再按从左到右的顺序计算：1. 先确定整个式子的符号，根据负因数的个数判断符号，负号个数为偶数结果为正，奇数为负；2. 若式子中存在多项式，先对分子、分母的多项式进行因式分解；3. 约去分子分母的公因式，最后将剩余的分子、分母分别相乘，得到最简分式。
第(1)问的分子分母均为单项式，转化为乘法后先定符号，再直接约分计算即可；第(2)问含有多项式，转化为乘法后先分解因式，再约分计算。
【解析】
(1) 第一步：将除法转化为乘法，除以$\frac{3x}{(-4b)}$等价于乘以$\frac{-4b}{3x}$，可得：
$\frac{3ab^2}{2x^3y} · ( -\frac{8xy}{9a^2b} ) · \frac{-4b}{3x}$
第二步：确定符号，式子中有2个负因数，结果为正，化简得：
$\frac{3ab^2 · 8xy · 4b}{2x^3y · 9a^2b · 3x}$
第三步：约分，约去分子分母的公因式$3a$、$b$、$2xy$，计算剩余部分：
分子剩余$b×4×4b=16b^2$，分母剩余$x^2×3a×3x=9ax^3$，即$\frac{16b^2}{9ax^3}$。
(2) 第一步：将除法转化为乘法，除以$(x+3)$等价于乘以$\frac{1}{x+3}$，可得：
$\frac{2x - 6}{4 - 4x + x^2} · \frac{1}{x + 3} · \frac{(x + 3)(x - 2)}{3 - x}$
第二步：对分子分母的多项式因式分解：$2x-6=2(x-3)$，$4-4x+x^2=(x-2)^2$，$3-x=-(x-3)$，代入得：
$\frac{2(x - 3)}{(x - 2)^2} · \frac{1}{x + 3} · \frac{(x + 3)(x - 2)}{-(x - 3)}$
第三步：约分，约去公因式$(x-3)$、$(x+3)$、$(x-2)$，剩余部分计算得：
$-\frac{2}{x - 2}$。
【答案】
(1) $\boxed{\frac{16b^2}{9ax^3}}$；(2) $\boxed{-\frac{2}{x-2}}$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的关键是牢记分式乘除的运算顺序，先将除法统一为乘法，遇到多项式先因式分解再约分，计算时要优先确定符号，避免符号错误，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.75

变式探究
老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简。
过程如图：

接力中，自己负责的一步出现错误的是()

A.只有乙
B.甲和丁
C.乙和丙
D.乙和丁

D

【分析】
要判断接力中谁负责的步骤出错，需按照分式乘除法的运算法则，从原式出发逐步骤核对每位同学的计算是否正确：首先依据分式除法法则，将除法转化为乘法，再核对符号变形、因式分解、约分每一步是否符合规则，即可找出错误的步骤。
【解析】
我们逐步骤核对每人的计算：
1. 核对甲的步骤：老师给出的原式为$\dfrac{x^2-2x}{x-1} ÷ \dfrac{x^2}{1-x}$，根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，因此原式可变形为$\dfrac{x^2-2x}{x-1} · \dfrac{1-x}{x^2}$，甲的计算正确。
2. 核对乙的步骤：由于$1-x=-(x-1)$，因此上式可改写为$\dfrac{x^2-2x}{x-1} · \dfrac{-(x-1)}{x^2}$，但乙直接将分子的$1-x$替换为$x-1$，遗漏了负号，乙的计算错误。
3. 核对丙的步骤：对分子$x^2-2x$提取公因式$x$，可得$x^2-2x=x(x-2)$，因此式子变形为$\dfrac{x(x-2)}{x-1} · \dfrac{x-1}{x^2}$，丙的因式分解正确，步骤无误。
4. 核对丁的步骤：对丙的式子约分：分子、分母的公因式$x$和$x-1$约去后，剩余结果应为$\dfrac{x-2}{x}$，但丁得到的结果是$\dfrac{x-2}{2}$，约分错误，丁的计算错误。
综上，出现错误的是乙和丁，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
分式乘除法则；因式分解；分式约分
【点评】
本题围绕分式化简的流程设置易错点，解题时要注意分式除法变倒数的符号处理、因式分解的正确性以及约分时分母和分子公因式的准确判断，避免因符号或粗心导致错误。
【难度系数】
0.7