登录
7.(1)约分：$\frac{a^2 -4a +4}{4 -a^2}$；
(2)通分：$\frac{x}{x^2 -9}$，$\frac{2}{(x+3)^2}$。
(2)通分：$\frac{x}{x^2 -9}$，$\frac{2}{(x+3)^2}$。
答案
解：
(1) 对分子、分母分别因式分解：
分子：$a^2-4a+4=(a-2)^2$
分母：$4-a^2=(2-a)(2+a)=-(a-2)(a+2)$
原式$=\frac{(a-2)^2}{-(a-2)(a+2)}=-\frac{a-2}{a+2}$
(2) 先确定最简公分母：
$\because x^2-9=(x+3)(x-3)$，
$\therefore$ 两个分式的最简公分母为$(x+3)^2(x-3)$。
通分第一个分式：
$\frac{x}{x^2-9}=\frac{x}{(x+3)(x-3)}=\frac{x(x+3)}{(x+3)^2(x-3)}=\frac{x^2+3x}{(x+3)^2(x-3)}$
通分第二个分式：
$\frac{2}{(x+3)^2}=\frac{2(x-3)}{(x+3)^2(x-3)}=\frac{2x-6}{(x+3)^2(x-3)}$
(1) 对分子、分母分别因式分解：
分子：$a^2-4a+4=(a-2)^2$
分母：$4-a^2=(2-a)(2+a)=-(a-2)(a+2)$
原式$=\frac{(a-2)^2}{-(a-2)(a+2)}=-\frac{a-2}{a+2}$
(2) 先确定最简公分母：
$\because x^2-9=(x+3)(x-3)$，
$\therefore$ 两个分式的最简公分母为$(x+3)^2(x-3)$。
通分第一个分式：
$\frac{x}{x^2-9}=\frac{x}{(x+3)(x-3)}=\frac{x(x+3)}{(x+3)^2(x-3)}=\frac{x^2+3x}{(x+3)^2(x-3)}$
通分第二个分式：
$\frac{2}{(x+3)^2}=\frac{2(x-3)}{(x+3)^2(x-3)}=\frac{2x-6}{(x+3)^2(x-3)}$
解析
【分析】
（1）约分的解题思路：首先利用因式分解分别对分子、分母变形，分子是完全平方式，分母是平方差形式，将分母变形后找到与分子的公因式，再根据分式的基本性质约去公因式即可，注意变形时的符号处理。
（2）通分的解题思路：先将两个分式的分母分别因式分解，取各分母所有因式的最高次幂的乘积作为最简公分母，再根据分式的基本性质，给每个分式的分子、分母同乘分母缺少的因式，使两个分式的分母都化为最简公分母即可。
【解析】
(1) 对分子、分母分别因式分解：
分子：$a^2-4a+4=(a-2)^2$
分母：$4-a^2=(2-a)(2+a)=-(a-2)(a+2)$
根据分式的基本性质，约去公因式$(a-2)$（$a≠2$）：
原式$=\frac{(a-2)^2}{-(a-2)(a+2)}=-\frac{a-2}{a+2}$
(2) 先确定最简公分母：
$\because x^2-9=(x+3)(x-3)$，
两个分母的因式分别为$(x+3)(x-3)$和$(x+3)^2$，因此最简公分母为$(x+3)^2(x-3)$。
通分第一个分式：
$\frac{x}{x^2-9}=\frac{x}{(x+3)(x-3)}=\frac{x(x+3)}{(x+3)^2(x-3)}=\frac{x^2+3x}{(x+3)^2(x-3)}$
通分第二个分式：
$\frac{2}{(x+3)^2}=\frac{2(x-3)}{(x+3)^2(x-3)}=\frac{2x-6}{(x+3)^2(x-3)}$
【答案】
(1) $-\frac{a-2}{a+2}$；
(2) $\frac{x}{x^2-9}=\frac{x^2+3x}{(x+3)^2(x-3)}$，$\frac{2}{(x+3)^2}=\frac{2x-6}{(x+3)^2(x-3)}$
【知识点】
因式分解、分式约分、分式通分
【点评】
本题是分式基本性质应用的基础题型，约分需要注意因式变形时的符号问题，通分的关键是准确找到最简公分母，熟练掌握因式分解是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.7
（1）约分的解题思路：首先利用因式分解分别对分子、分母变形，分子是完全平方式，分母是平方差形式，将分母变形后找到与分子的公因式，再根据分式的基本性质约去公因式即可，注意变形时的符号处理。
（2）通分的解题思路：先将两个分式的分母分别因式分解，取各分母所有因式的最高次幂的乘积作为最简公分母，再根据分式的基本性质，给每个分式的分子、分母同乘分母缺少的因式，使两个分式的分母都化为最简公分母即可。
【解析】
(1) 对分子、分母分别因式分解：
分子：$a^2-4a+4=(a-2)^2$
分母：$4-a^2=(2-a)(2+a)=-(a-2)(a+2)$
根据分式的基本性质，约去公因式$(a-2)$（$a≠2$）：
原式$=\frac{(a-2)^2}{-(a-2)(a+2)}=-\frac{a-2}{a+2}$
(2) 先确定最简公分母：
$\because x^2-9=(x+3)(x-3)$，
两个分母的因式分别为$(x+3)(x-3)$和$(x+3)^2$，因此最简公分母为$(x+3)^2(x-3)$。
通分第一个分式：
$\frac{x}{x^2-9}=\frac{x}{(x+3)(x-3)}=\frac{x(x+3)}{(x+3)^2(x-3)}=\frac{x^2+3x}{(x+3)^2(x-3)}$
通分第二个分式：
$\frac{2}{(x+3)^2}=\frac{2(x-3)}{(x+3)^2(x-3)}=\frac{2x-6}{(x+3)^2(x-3)}$
【答案】
(1) $-\frac{a-2}{a+2}$；
(2) $\frac{x}{x^2-9}=\frac{x^2+3x}{(x+3)^2(x-3)}$，$\frac{2}{(x+3)^2}=\frac{2x-6}{(x+3)^2(x-3)}$
【知识点】
因式分解、分式约分、分式通分
【点评】
本题是分式基本性质应用的基础题型，约分需要注意因式变形时的符号问题，通分的关键是准确找到最简公分母，熟练掌握因式分解是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.7
8. 先约分，再求值：
(1) $\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 1}$，其中 $x=2$；
(2) $\frac{4b^2 - a^2}{4b^2 - 4ab + a^2}$，其中 $a=3b$。
(1) $\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 1}$，其中 $x=2$；
(2) $\frac{4b^2 - a^2}{4b^2 - 4ab + a^2}$，其中 $a=3b$。
答案
解：
(1) 先对分子、分母因式分解：
$\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}=\frac{(x+1)^2}{(x+1)(x-1)}=\frac{x+1}{x-1}$
当$x=2$时，代入得：
原式$=\frac{2+1}{2-1}=3$
(2) 先对分子、分母因式分解：
$\frac{4b^2-a^2}{4b^2-4ab+a^2}=\frac{(2b+a)(2b-a)}{(2b-a)^2}=\frac{2b+a}{2b-a}$
当$a=3b$时，代入得：
原式$=\frac{2b+3b}{2b-3b}=\frac{5b}{-b}=-5$
(1) 先对分子、分母因式分解：
$\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}=\frac{(x+1)^2}{(x+1)(x-1)}=\frac{x+1}{x-1}$
当$x=2$时，代入得：
原式$=\frac{2+1}{2-1}=3$
(2) 先对分子、分母因式分解：
$\frac{4b^2-a^2}{4b^2-4ab+a^2}=\frac{(2b+a)(2b-a)}{(2b-a)^2}=\frac{2b+a}{2b-a}$
当$a=3b$时，代入得：
原式$=\frac{2b+3b}{2b-3b}=\frac{5b}{-b}=-5$
解析
【分析】
这两道题均为分式化简求值类题目，遵循“先约分、再求值”的原则可简化计算、降低错误率。解题思路：第一步，利用完全平方公式、平方差公式分别对分式的分子、分母因式分解；第二步，根据分式的基本性质约去分子分母的公因式，得到最简分式；第三步，将给定的取值或变量关系代入最简分式计算结果，注意需保证约分过程中分母不为0。
【解析】
(1) 对分子、分母分别因式分解：
分子$x^2+2x+1$符合完全平方公式，分解为$(x+1)^2$；分母$x^2-1$符合平方差公式，分解为$(x+1)(x-1)$，因此：
$\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}=\frac{(x+1)^2}{(x+1)(x-1)}=\frac{x+1}{x-1}$（$x≠\pm1$，$x=2$符合取值要求）
将$x=2$代入最简分式得：
原式$=\frac{2+1}{2-1}=3$
(2) 对分子、分母分别因式分解：
分子$4b^2-a^2$符合平方差公式，分解为$(2b+a)(2b-a)$；分母$4b^2-4ab+a^2$符合完全平方公式，分解为$(2b-a)^2$，因此：
$\frac{4b^2-a^2}{4b^2-4ab+a^2}=\frac{(2b+a)(2b-a)}{(2b-a)^2}=\frac{2b+a}{2b-a}$（$2b-a≠0$，$a=3b$时$2b-3b=-b≠0$，符合取值要求）
将$a=3b$代入最简分式得：
原式$=\frac{2b+3b}{2b-3b}=\frac{5b}{-b}=-5$
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{-5}$
【知识点】
分式的约分，因式分解，分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，核心是熟练运用因式分解公式对分子分母变形，通过约分化简后计算，既减少运算量也能降低出错概率，解题时需注意确保约分前后分式有意义。
【难度系数】
0.8
这两道题均为分式化简求值类题目，遵循“先约分、再求值”的原则可简化计算、降低错误率。解题思路：第一步，利用完全平方公式、平方差公式分别对分式的分子、分母因式分解；第二步，根据分式的基本性质约去分子分母的公因式，得到最简分式；第三步，将给定的取值或变量关系代入最简分式计算结果，注意需保证约分过程中分母不为0。
【解析】
(1) 对分子、分母分别因式分解：
分子$x^2+2x+1$符合完全平方公式，分解为$(x+1)^2$；分母$x^2-1$符合平方差公式，分解为$(x+1)(x-1)$，因此：
$\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}=\frac{(x+1)^2}{(x+1)(x-1)}=\frac{x+1}{x-1}$（$x≠\pm1$，$x=2$符合取值要求）
将$x=2$代入最简分式得：
原式$=\frac{2+1}{2-1}=3$
(2) 对分子、分母分别因式分解：
分子$4b^2-a^2$符合平方差公式，分解为$(2b+a)(2b-a)$；分母$4b^2-4ab+a^2$符合完全平方公式，分解为$(2b-a)^2$，因此：
$\frac{4b^2-a^2}{4b^2-4ab+a^2}=\frac{(2b+a)(2b-a)}{(2b-a)^2}=\frac{2b+a}{2b-a}$（$2b-a≠0$，$a=3b$时$2b-3b=-b≠0$，符合取值要求）
将$a=3b$代入最简分式得：
原式$=\frac{2b+3b}{2b-3b}=\frac{5b}{-b}=-5$
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{-5}$
【知识点】
分式的约分，因式分解，分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，核心是熟练运用因式分解公式对分子分母变形，通过约分化简后计算，既减少运算量也能降低出错概率，解题时需注意确保约分前后分式有意义。
【难度系数】
0.8
9.已知$a＞3,A=2a^2-8,B=3a^2+6a,C=a^3-4a^2+4a.$
(1)因式分解$A$；
(2)在$A,B,C$中任选两个式子，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式.
(1)因式分解$A$；
(2)在$A,B,C$中任选两个式子，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式.
答案
解：
(1) $A=2a^2-8$
$=2(a^2-4)$
$=2(a+2)(a-2)$
(2) 示例：选$A$为分子，$B$为分母，组成分式$\frac{A}{B}=\frac{2a^2-8}{3a^2+6a}$
对分母因式分解：$B=3a^2+6a=3a(a+2)$
原式$=\frac{2(a+2)(a-2)}{3a(a+2)}$
$\because a＞3$，$\therefore a+2≠0$，约去公因式$a+2$
化简得：$\frac{2(a-2)}{3a}=\frac{2a-4}{3a}$
(1) $A=2a^2-8$
$=2(a^2-4)$
$=2(a+2)(a-2)$
(2) 示例：选$A$为分子，$B$为分母，组成分式$\frac{A}{B}=\frac{2a^2-8}{3a^2+6a}$
对分母因式分解：$B=3a^2+6a=3a(a+2)$
原式$=\frac{2(a+2)(a-2)}{3a(a+2)}$
$\because a＞3$，$\therefore a+2≠0$，约去公因式$a+2$
化简得：$\frac{2(a-2)}{3a}=\frac{2a-4}{3a}$
解析
【分析】
(1) 因式分解A时，先观察式子特征，先提取公因式，再判断剩余部分能否用公式法继续分解即可。(2) 组成分式需保证分母不为0，结合a＞3的条件任选两个式子后，先对分子、分母分别因式分解，再根据分式的基本性质约去公因式完成化简，约分时要确认公因式不为0。
【解析】
(1) 对A进行因式分解：
$A=2a^2-8$
提取公因式2，得：$=2(a^2-4)$
利用平方差公式继续分解，得：$=2(a+2)(a-2)$
(2) 示例：选A为分子，B为分母，组成分式$\frac{A}{B}=\frac{2a^2-8}{3a^2+6a}$
先对分母B因式分解：$B=3a^2+6a=3a(a+2)$
将分子、分母的因式分解结果代入原式，得：
原式$=\frac{2(a+2)(a-2)}{3a(a+2)}$
$\because a＞3$，$\therefore a+2≠0$，可约去公因式$a+2$
化简得：$\frac{2(a-2)}{3a}=\frac{2a-4}{3a}$
（注：选其他两个式子组成分式的化简方法一致，答案合理即可）
【答案】
(1) $2(a+2)(a-2)$
(2) 示例：组成分式$\frac{2a^2-8}{3a^2+6a}$，化简结果为$\frac{2a-4}{3a}$（答案不唯一）
【知识点】
因式分解、分式的基本性质、约分
【点评】
本题是基础运算题，考查因式分解的步骤和分式化简的规则，解题时要注意因式分解需分解到不能再分解为止，约分时要保证公因式不为0，符合分式有意义的前提。
【难度系数】
0.8
(1) 因式分解A时，先观察式子特征，先提取公因式，再判断剩余部分能否用公式法继续分解即可。(2) 组成分式需保证分母不为0，结合a＞3的条件任选两个式子后，先对分子、分母分别因式分解，再根据分式的基本性质约去公因式完成化简，约分时要确认公因式不为0。
【解析】
(1) 对A进行因式分解：
$A=2a^2-8$
提取公因式2，得：$=2(a^2-4)$
利用平方差公式继续分解，得：$=2(a+2)(a-2)$
(2) 示例：选A为分子，B为分母，组成分式$\frac{A}{B}=\frac{2a^2-8}{3a^2+6a}$
先对分母B因式分解：$B=3a^2+6a=3a(a+2)$
将分子、分母的因式分解结果代入原式，得：
原式$=\frac{2(a+2)(a-2)}{3a(a+2)}$
$\because a＞3$，$\therefore a+2≠0$，可约去公因式$a+2$
化简得：$\frac{2(a-2)}{3a}=\frac{2a-4}{3a}$
（注：选其他两个式子组成分式的化简方法一致，答案合理即可）
【答案】
(1) $2(a+2)(a-2)$
(2) 示例：组成分式$\frac{2a^2-8}{3a^2+6a}$，化简结果为$\frac{2a-4}{3a}$（答案不唯一）
【知识点】
因式分解、分式的基本性质、约分
【点评】
本题是基础运算题，考查因式分解的步骤和分式化简的规则，解题时要注意因式分解需分解到不能再分解为止，约分时要保证公因式不为0，符合分式有意义的前提。
【难度系数】
0.8
