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例6 已知A,B均为整式，$A=(xy+1)(xy-2)-2x^2y^2+2$. 小马在计算$A÷B$时，误把“÷”抄成了“−”，这样他计算的正确结果为$-x^2y^2$.
(1)将整式A化为最简形式；
(2)求整式B；
(3)求$A÷B$的正确结果.
【示范解答】
(1)$A=(xy+1)(xy-2)-2x^2y^2+2$
$=x^2y^2-2xy+xy-2-2x^2y^2+2$
$=-x^2y^2-xy$.
(2)由题意，得$A-B=-x^2y^2$，
由(1)知$A=-x^2y^2-xy$，
$\therefore -x^2y^2-xy-B=-x^2y^2$，$\therefore B=-xy$.
(3)由(1)知$A=-x^2y^2-xy$，由(2)知$B=-xy$，
$\therefore A÷B=(-x^2y^2-xy)÷(-xy)=xy$
(1)将整式A化为最简形式；
(2)求整式B；
(3)求$A÷B$的正确结果.
【示范解答】
(1)$A=(xy+1)(xy-2)-2x^2y^2+2$
$=x^2y^2-2xy+xy-2-2x^2y^2+2$
$=-x^2y^2-xy$.
(2)由题意，得$A-B=-x^2y^2$，
由(1)知$A=-x^2y^2-xy$，
$\therefore -x^2y^2-xy-B=-x^2y^2$，$\therefore B=-xy$.
(3)由(1)知$A=-x^2y^2-xy$，由(2)知$B=-xy$，
$\therefore A÷B=(-x^2y^2-xy)÷(-xy)=xy$
答案
解：
(1) 化简整式A：
$\begin{aligned}A&=(xy+1)(xy-2)-2x^2y^2+2\\&=x^2y^2-2xy+xy-2-2x^2y^2+2\\&=-x^2y^2-xy\end{aligned}$
(2) 由题意得$A-B=-x^2y^2$，将$A=-x^2y^2-xy$代入：
$\begin{aligned}-x^2y^2-xy-B&=-x^2y^2\\-B&=xy\\B&=-xy\end{aligned}$
(3) 求$A÷ B$的结果：
$\begin{aligned}A÷ B&=(-x^2y^2-xy)÷(-xy)\\&=(-x^2y^2)÷(-xy) - xy÷(-xy)\\&=xy+1\end{aligned}$
(1) 化简整式A：
$\begin{aligned}A&=(xy+1)(xy-2)-2x^2y^2+2\\&=x^2y^2-2xy+xy-2-2x^2y^2+2\\&=-x^2y^2-xy\end{aligned}$
(2) 由题意得$A-B=-x^2y^2$，将$A=-x^2y^2-xy$代入：
$\begin{aligned}-x^2y^2-xy-B&=-x^2y^2\\-B&=xy\\B&=-xy\end{aligned}$
(3) 求$A÷ B$的结果：
$\begin{aligned}A÷ B&=(-x^2y^2-xy)÷(-xy)\\&=(-x^2y^2)÷(-xy) - xy÷(-xy)\\&=xy+1\end{aligned}$
解析
【分析】
（1）化简整式A时，先利用多项式乘多项式法则展开$(xy+1)(xy-2)$，再去括号、合并同类项即可得到最简形式；（2）根据题意，小马误将“÷”抄为“−”，可得等式$A-B=-x^2y^2$，将第（1）问求出的A的最简式代入该等式，通过移项化简即可求出整式B；（3）将A、B的表达式代入$A÷B$，利用多项式除以单项式的法则，把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，即可得到正确结果。
【解析】
(1) 化简整式A：
$\begin{aligned}A&=(xy+1)(xy-2)-2x^2y^2+2\\&=x^2y^2-2xy+xy-2-2x^2y^2+2\\&=-x^2y^2-xy\end{aligned}$
(2) 由题意得$A-B=-x^2y^2$，将$A=-x^2y^2-xy$代入等式：
$\begin{aligned}-x^2y^2-xy-B&=-x^2y^2\\-B&=xy\\B&=-xy\end{aligned}$
(3) 计算$A÷ B$的正确结果：
$\begin{aligned}A÷ B&=(-x^2y^2-xy)÷(-xy)\\&=(-x^2y^2)÷(-xy) + (-xy)÷(-xy)\\&=xy+1\end{aligned}$
【答案】
(1) $A=-x^2y^2-xy$
(2) $B=-xy$
(3) $A÷B$的正确结果为$xy+1$
【知识点】
整式的化简，整式的加减运算，整式的除法
【点评】
本题是整式运算的基础综合题，解题核心是读懂题意，根据运算错误的结果列出正确的关系式，计算过程中要重点注意符号的处理，避免因符号失误导致结果错误。
【难度系数】
0.7
（1）化简整式A时，先利用多项式乘多项式法则展开$(xy+1)(xy-2)$，再去括号、合并同类项即可得到最简形式；（2）根据题意，小马误将“÷”抄为“−”，可得等式$A-B=-x^2y^2$，将第（1）问求出的A的最简式代入该等式，通过移项化简即可求出整式B；（3）将A、B的表达式代入$A÷B$，利用多项式除以单项式的法则，把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，即可得到正确结果。
【解析】
(1) 化简整式A：
$\begin{aligned}A&=(xy+1)(xy-2)-2x^2y^2+2\\&=x^2y^2-2xy+xy-2-2x^2y^2+2\\&=-x^2y^2-xy\end{aligned}$
(2) 由题意得$A-B=-x^2y^2$，将$A=-x^2y^2-xy$代入等式：
$\begin{aligned}-x^2y^2-xy-B&=-x^2y^2\\-B&=xy\\B&=-xy\end{aligned}$
(3) 计算$A÷ B$的正确结果：
$\begin{aligned}A÷ B&=(-x^2y^2-xy)÷(-xy)\\&=(-x^2y^2)÷(-xy) + (-xy)÷(-xy)\\&=xy+1\end{aligned}$
【答案】
(1) $A=-x^2y^2-xy$
(2) $B=-xy$
(3) $A÷B$的正确结果为$xy+1$
【知识点】
整式的化简，整式的加减运算，整式的除法
【点评】
本题是整式运算的基础综合题，解题核心是读懂题意，根据运算错误的结果列出正确的关系式，计算过程中要重点注意符号的处理，避免因符号失误导致结果错误。
【难度系数】
0.7
+1.
故$A÷B$的正确结果为$xy+1$.
变式探究
小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时，一不小心，让一滴墨水污染了这道习题，只看见被除式的第一项$-8x^3y^3$和中间的“÷”号，污染后习题形式如下：$(-8x^3y^3$$)÷$. 小明翻看了书后的答案是“$4x^2y^2 - 3xy + 6x$”，你能够复原这个算式吗？请你试一试.
故$A÷B$的正确结果为$xy+1$.
变式探究
小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时，一不小心，让一滴墨水污染了这道习题，只看见被除式的第一项$-8x^3y^3$和中间的“÷”号，污染后习题形式如下：$(-8x^3y^3$$)÷$. 小明翻看了书后的答案是“$4x^2y^2 - 3xy + 6x$”，你能够复原这个算式吗？请你试一试.
答案
解：
先求除式：
除式 $= (-8x^3y^3) ÷ 4x^2y^2 = -2xy$
根据“被除式 = 商 × 除式”，计算完整被除式：
$\begin{aligned}&(4x^2y^2 - 3xy + 6x) · (-2xy)\\=&4x^2y^2 · (-2xy) - 3xy · (-2xy) + 6x · (-2xy)\\=&-8x^3y^3 + 6x^2y^2 - 12x^2y\end{aligned}$
复原的算式为：$\boldsymbol{(-8x^3y^3 + 6x^2y^2 - 12x^2y) ÷ (-2xy)}$
先求除式：
除式 $= (-8x^3y^3) ÷ 4x^2y^2 = -2xy$
根据“被除式 = 商 × 除式”，计算完整被除式：
$\begin{aligned}&(4x^2y^2 - 3xy + 6x) · (-2xy)\\=&4x^2y^2 · (-2xy) - 3xy · (-2xy) + 6x · (-2xy)\\=&-8x^3y^3 + 6x^2y^2 - 12x^2y\end{aligned}$
复原的算式为：$\boldsymbol{(-8x^3y^3 + 6x^2y^2 - 12x^2y) ÷ (-2xy)}$
解析
【分析】
要复原算式，需先求出除式，再求出完整的被除式。首先根据多项式除以单项式的运算规律：多项式的每一项除以单项式得到商的对应项，已知被除式第一项和商的第一项，利用“除式=被除式首项÷商的首项”即可求出除式；再根据整式乘除的互逆关系“被除式=商×除式”，计算得到完整的被除式，就能复原整个算式。
【解析】
第一步：求除式
因为被除式的第一项除以除式等于商的第一项，所以：
除式 $= (-8x^3y^3) ÷ 4x^2y^2 = -2xy$
第二步：求完整被除式
根据“被除式 = 商 × 除式”，将商与除式相乘：
$\begin{aligned}&(4x^2y^2 - 3xy + 6x) · (-2xy)\\=&4x^2y^2 · (-2xy) - 3xy · (-2xy) + 6x · (-2xy)\\=&-8x^3y^3 + 6x^2y^2 - 12x^2y\end{aligned}$
第三步：复原算式
将求得的被除式和除式代入原式，得到完整算式。
【答案】
$\boldsymbol{(-8x^3y^3 + 6x^2y^2 - 12x^2y) ÷ (-2xy)}$
【知识点】
1.多项式除以单项式
2.单项式乘多项式
3.整式乘除互逆
【点评】
本题主要考查整式乘除的灵活运用，需要结合已知条件逆向推导未知部分，既要求熟练掌握整式乘除的运算法则，也能很好地锻炼逆向思维能力。
【难度系数】
0.7
要复原算式，需先求出除式，再求出完整的被除式。首先根据多项式除以单项式的运算规律：多项式的每一项除以单项式得到商的对应项，已知被除式第一项和商的第一项，利用“除式=被除式首项÷商的首项”即可求出除式；再根据整式乘除的互逆关系“被除式=商×除式”，计算得到完整的被除式，就能复原整个算式。
【解析】
第一步：求除式
因为被除式的第一项除以除式等于商的第一项，所以：
除式 $= (-8x^3y^3) ÷ 4x^2y^2 = -2xy$
第二步：求完整被除式
根据“被除式 = 商 × 除式”，将商与除式相乘：
$\begin{aligned}&(4x^2y^2 - 3xy + 6x) · (-2xy)\\=&4x^2y^2 · (-2xy) - 3xy · (-2xy) + 6x · (-2xy)\\=&-8x^3y^3 + 6x^2y^2 - 12x^2y\end{aligned}$
第三步：复原算式
将求得的被除式和除式代入原式，得到完整算式。
【答案】
$\boldsymbol{(-8x^3y^3 + 6x^2y^2 - 12x^2y) ÷ (-2xy)}$
【知识点】
1.多项式除以单项式
2.单项式乘多项式
3.整式乘除互逆
【点评】
本题主要考查整式乘除的灵活运用，需要结合已知条件逆向推导未知部分，既要求熟练掌握整式乘除的运算法则，也能很好地锻炼逆向思维能力。
【难度系数】
0.7
1.计算：$10^8 ÷ 10^3 ÷ 10^5 =$ ；
$a^{n+1} ÷ a^{n-4} =$ ；
$(\sqrt{3} -1)^0 =$ 。
$a^{n+1} ÷ a^{n-4} =$ ；
$(\sqrt{3} -1)^0 =$ 。
答案
解：
$10^8 ÷ 10^3 ÷ 10^5 = 10^{8-3-5} = 10^0 = 1$；
$a^{n+1} ÷ a^{n-4} = a^{(n+1)-(n-4)} = a^{5}$；
$\because \sqrt{3}-1 ≠ 0$，$\therefore (\sqrt{3}-1)^0 = 1$。
最终答案依次为：$\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{a^5}$；$\boldsymbol{1}$。
$10^8 ÷ 10^3 ÷ 10^5 = 10^{8-3-5} = 10^0 = 1$；
$a^{n+1} ÷ a^{n-4} = a^{(n+1)-(n-4)} = a^{5}$；
$\because \sqrt{3}-1 ≠ 0$，$\therefore (\sqrt{3}-1)^0 = 1$。
最终答案依次为：$\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{a^5}$；$\boldsymbol{1}$。
解析
【分析】
解决这道题需要用到同底数幂的除法法则和零指数幂的性质。对于同底数幂的除法运算，核心思路是底数保持不变，指数相减；对于零指数幂，首先要判断底数是否不为0，只要底数非零，结果就为1。第一问是同底数幂的连续除法，依次对指数做减法即可；第二问是含字母指数的同底数幂除法，计算指数差时注意去括号的符号规则；第三问先验证底数$\sqrt{3}-1$不等于0，再应用零指数幂性质计算。
【解析】
1. 计算$10^8 ÷ 10^3 ÷ 10^5$：
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得：
$10^8 ÷ 10^3 ÷ 10^5 = 10^{8-3-5} = 10^0 = 1$
2. 计算$a^{n+1} ÷ a^{n-4}$：
同理应用同底数幂除法法则：
$a^{n+1} ÷ a^{n-4} = a^{(n+1)-(n-4)} = a^{n+1-n+4} = a^5$
3. 计算$(\sqrt{3} -1)^0$：
先判断底数：$\sqrt{3}≈1.732$，因此$\sqrt{3}-1≈0.732≠0$，根据零指数幂的性质：任何非零数的0次幂都等于1，可得$(\sqrt{3} -1)^0 =1$
【答案】
$1$；$a^5$；$1$
【知识点】
同底数幂的除法，零指数幂的性质
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，重点考察对幂的运算规则的掌握程度，计算含字母指数的除法时要注意指数运算的去括号符号，零指数幂运算前一定要先确认底数不为0，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
解决这道题需要用到同底数幂的除法法则和零指数幂的性质。对于同底数幂的除法运算，核心思路是底数保持不变，指数相减；对于零指数幂，首先要判断底数是否不为0，只要底数非零，结果就为1。第一问是同底数幂的连续除法，依次对指数做减法即可；第二问是含字母指数的同底数幂除法，计算指数差时注意去括号的符号规则；第三问先验证底数$\sqrt{3}-1$不等于0，再应用零指数幂性质计算。
【解析】
1. 计算$10^8 ÷ 10^3 ÷ 10^5$：
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得：
$10^8 ÷ 10^3 ÷ 10^5 = 10^{8-3-5} = 10^0 = 1$
2. 计算$a^{n+1} ÷ a^{n-4}$：
同理应用同底数幂除法法则：
$a^{n+1} ÷ a^{n-4} = a^{(n+1)-(n-4)} = a^{n+1-n+4} = a^5$
3. 计算$(\sqrt{3} -1)^0$：
先判断底数：$\sqrt{3}≈1.732$，因此$\sqrt{3}-1≈0.732≠0$，根据零指数幂的性质：任何非零数的0次幂都等于1，可得$(\sqrt{3} -1)^0 =1$
【答案】
$1$；$a^5$；$1$
【知识点】
同底数幂的除法，零指数幂的性质
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，重点考察对幂的运算规则的掌握程度，计算含字母指数的除法时要注意指数运算的去括号符号，零指数幂运算前一定要先确认底数不为0，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
2.若$(x+1)^0=1$，则$x$的取值范围是
答案
解：
根据零指数幂的性质，底数不为0时，数的零次幂等于1，零的零次幂无意义，
可得 $ x+1 ≠ 0 $，
解得 $ x ≠ -1 $。
即x的取值范围是$\boldsymbol{x ≠ -1}$。
根据零指数幂的性质，底数不为0时，数的零次幂等于1，零的零次幂无意义，
可得 $ x+1 ≠ 0 $，
解得 $ x ≠ -1 $。
即x的取值范围是$\boldsymbol{x ≠ -1}$。
解析
【分析】
解决本题首先要明确零指数幂的成立条件：只有当底数不为0时，数的0次幂才等于1，0的0次幂无意义。因此我们只需令本题中零指数幂的底数x+1不等于0，求解该不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
根据零指数幂的性质可知：非零数的0次幂等于1，0的0次幂没有意义。
要使$(x+1)^0=1$成立，需满足底数不为0，即：
$x+1 ≠ 0$
移项解得：$x ≠ -1$
【答案】
$\boldsymbol{x ≠ -1}$
【知识点】
零指数幂性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念题，主要考查零指数幂的成立条件，易错点是容易忽略底数不能为0的限制，只要牢记零指数幂的相关规定就能正确作答。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确零指数幂的成立条件：只有当底数不为0时，数的0次幂才等于1，0的0次幂无意义。因此我们只需令本题中零指数幂的底数x+1不等于0，求解该不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
根据零指数幂的性质可知：非零数的0次幂等于1，0的0次幂没有意义。
要使$(x+1)^0=1$成立，需满足底数不为0，即：
$x+1 ≠ 0$
移项解得：$x ≠ -1$
【答案】
$\boldsymbol{x ≠ -1}$
【知识点】
零指数幂性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念题，主要考查零指数幂的成立条件，易错点是容易忽略底数不能为0的限制，只要牢记零指数幂的相关规定就能正确作答。
【难度系数】
0.8
3.计算:
(1)$8x^2y^5 ÷ 2xy^5 =$;
(2)$a^5b ÷ a^3 =$.
(1)$8x^2y^5 ÷ 2xy^5 =$;
(2)$a^5b ÷ a^3 =$.
答案
(1) $\boldsymbol{4x}$；(2) $\boldsymbol{a^2b}$
解析
【分析】
这两道题考查单项式除以单项式的运算，解题时按照单项式除以单项式的法则分步计算即可：第一步先将系数相除，得到商的系数；第二步将同底数幂分别相除，遵循底数不变指数相减的规则；第三步，只在被除式中出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式，最后将各部分结果相乘得到最终的商。
【解析】
(1) 计算$8x^2y^5 ÷ 2xy^5$：
① 系数相除：$8÷2=4$；
② 同底数幂相除：$x^2÷x = x^{2-1}=x$，$y^5÷y^5 = y^{5-5}=y^0=1$；
③ 合并各部分结果可得：$4× x×1=4x$。
(2) 计算$a^5b ÷ a^3$：
① 系数相除：$1÷1=1$；
② 同底数幂相除：$a^5÷a^3=a^{5-3}=a^2$；
③ 被除式独有的字母$b$直接保留作为商的因式；
④ 合并各部分结果可得：$1× a^2× b=a^2b$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4x}$；(2) $\boldsymbol{a^2b}$
【知识点】
单项式除以单项式、同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的基础题型，核心是熟练掌握单项式除以单项式的运算规则，计算时注意不要漏写仅在被除式中出现的字母，同底数幂相除时要注意是指数相减而非相除。
【难度系数】
0.85
这两道题考查单项式除以单项式的运算，解题时按照单项式除以单项式的法则分步计算即可：第一步先将系数相除，得到商的系数；第二步将同底数幂分别相除，遵循底数不变指数相减的规则；第三步，只在被除式中出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式，最后将各部分结果相乘得到最终的商。
【解析】
(1) 计算$8x^2y^5 ÷ 2xy^5$：
① 系数相除：$8÷2=4$；
② 同底数幂相除：$x^2÷x = x^{2-1}=x$，$y^5÷y^5 = y^{5-5}=y^0=1$；
③ 合并各部分结果可得：$4× x×1=4x$。
(2) 计算$a^5b ÷ a^3$：
① 系数相除：$1÷1=1$；
② 同底数幂相除：$a^5÷a^3=a^{5-3}=a^2$；
③ 被除式独有的字母$b$直接保留作为商的因式；
④ 合并各部分结果可得：$1× a^2× b=a^2b$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4x}$；(2) $\boldsymbol{a^2b}$
【知识点】
单项式除以单项式、同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的基础题型，核心是熟练掌握单项式除以单项式的运算规则，计算时注意不要漏写仅在被除式中出现的字母，同底数幂相除时要注意是指数相减而非相除。
【难度系数】
0.85
4. 计算：
(1)$(2a)^3 · (b^3)^2 ÷ 4a^3b^4 =$ ；
(2)$(-\dfrac{2}{3}a^2b^3c)^2 ÷ (-\dfrac{1}{2}a^3b^3) =$ 。
(1)$(2a)^3 · (b^3)^2 ÷ 4a^3b^4 =$ ；
(2)$(-\dfrac{2}{3}a^2b^3c)^2 ÷ (-\dfrac{1}{2}a^3b^3) =$ 。
答案
解：
(1) 原式$=8a^3 · b^6 ÷ 4a^3b^4$
$=(8÷4)·(a^3÷ a^3)·(b^6÷ b^4)$
$=2b^2$
(2) 原式$=\frac{4}{9}a^4b^6c^2 ÷ (-\frac{1}{2}a^3b^3)$
$=[\frac{4}{9}÷(-\frac{1}{2})]·(a^4÷ a^3)·(b^6÷ b^3)· c^2$
$=-\frac{8}{9}ab^3c^2$
(1) 原式$=8a^3 · b^6 ÷ 4a^3b^4$
$=(8÷4)·(a^3÷ a^3)·(b^6÷ b^4)$
$=2b^2$
(2) 原式$=\frac{4}{9}a^4b^6c^2 ÷ (-\frac{1}{2}a^3b^3)$
$=[\frac{4}{9}÷(-\frac{1}{2})]·(a^4÷ a^3)·(b^6÷ b^3)· c^2$
$=-\frac{8}{9}ab^3c^2$
解析
【分析】
这两道题属于整式乘除混合运算题，解题遵循“先算乘方，后算乘除”的运算顺序：第一步先用幂的乘方、积的乘方法则计算乘方部分；第二步将单项式的系数、同底数幂分别进行乘除运算，仅在一个单项式中出现的字母，连同它的指数直接作为运算结果的因式；最后整理得到最简结果，计算时需注意系数符号和同底数幂的指数运算规则。
【解析】
(1) 先计算乘方项：
原式$=8a^3 · b^6 ÷ 4a^3b^4$
将系数、同底数幂分别相除：
$=(8÷4)·(a^3÷ a^3)·(b^6÷ b^4)$
$=2×1×b^2$
$=2b^2$
(2) 先计算乘方项：
原式$=\frac{4}{9}a^4b^6c^2 ÷ (-\frac{1}{2}a^3b^3)$
将系数、同底数幂分别相除，单独因式$c^2$保留：
$=[\frac{4}{9}÷(-\frac{1}{2})]·(a^4÷ a^3)·(b^6÷ b^3)· c^2$
$=-\frac{8}{9}×a×b^3×c^2$
$=-\frac{8}{9}ab^3c^2$
【答案】
(1)$2b^2$；(2)$-\dfrac{8}{9}ab^3c^2$
【知识点】
幂的乘方与积的乘方；单项式乘除运算；同底数幂的除法
【点评】
本题是整式运算的基础题型，解题的关键是严格遵循运算顺序，熟练掌握各类幂的运算法则，计算过程中要注意系数的符号判断，避免因粗心混淆指数运算规则或者符号出错。
【难度系数】
0.8
这两道题属于整式乘除混合运算题，解题遵循“先算乘方，后算乘除”的运算顺序：第一步先用幂的乘方、积的乘方法则计算乘方部分；第二步将单项式的系数、同底数幂分别进行乘除运算，仅在一个单项式中出现的字母，连同它的指数直接作为运算结果的因式；最后整理得到最简结果，计算时需注意系数符号和同底数幂的指数运算规则。
【解析】
(1) 先计算乘方项：
原式$=8a^3 · b^6 ÷ 4a^3b^4$
将系数、同底数幂分别相除：
$=(8÷4)·(a^3÷ a^3)·(b^6÷ b^4)$
$=2×1×b^2$
$=2b^2$
(2) 先计算乘方项：
原式$=\frac{4}{9}a^4b^6c^2 ÷ (-\frac{1}{2}a^3b^3)$
将系数、同底数幂分别相除，单独因式$c^2$保留：
$=[\frac{4}{9}÷(-\frac{1}{2})]·(a^4÷ a^3)·(b^6÷ b^3)· c^2$
$=-\frac{8}{9}×a×b^3×c^2$
$=-\frac{8}{9}ab^3c^2$
【答案】
(1)$2b^2$；(2)$-\dfrac{8}{9}ab^3c^2$
【知识点】
幂的乘方与积的乘方；单项式乘除运算；同底数幂的除法
【点评】
本题是整式运算的基础题型，解题的关键是严格遵循运算顺序，熟练掌握各类幂的运算法则，计算过程中要注意系数的符号判断，避免因粗心混淆指数运算规则或者符号出错。
【难度系数】
0.8
5.计算：
(1)$(mx+my+mz)÷m=$；
(2)$(16x^3 - 24x^2)÷(-4x^2)=$.
(1)$(mx+my+mz)÷m=$；
(2)$(16x^3 - 24x^2)÷(-4x^2)=$.
答案
(1) $\boldsymbol{x+y+z}$；(2) $\boldsymbol{-4x+6}$
解析
【分析】
这两道题都属于多项式除以单项式的运算，解题思路如下：①回忆多项式除以单项式的运算法则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加；②计算单项式除以单项式时，遵循同底数幂的除法规则（底数不变，指数相减），同时注意带负号的运算要正确处理符号，避免符号错误。
【解析】
(1) 根据多项式除以单项式法则拆分计算：
原式$=mx÷ m + my÷ m + mz÷ m$
分别计算每一项的商，约去公因式$m$后得：$x+y+z$
(2) 拆分多项式分别除以单项式，注意处理负号：
原式$=16x^3÷(-4x^2) + (-24x^2)÷(-4x^2)$
计算第一项：$16÷(-4)=-4$，$x^3÷ x^2=x^{3-2}=x$，因此第一项为$-4x$；
计算第二项：负负得正，$24÷4=6$，$x^2÷ x^2=1$，因此第二项为$+6$；
相加得结果：$-4x+6$
【答案】
(1) $\boldsymbol{x+y+z}$；(2) $\boldsymbol{-4x+6}$
【知识点】
多项式除以单项式、同底数幂的除法
【点评】
本题考查整式除法的基础运算，核心是熟练掌握多项式除以单项式的拆分规则，计算时重点注意符号的处理和同底数幂的指数运算，避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.85
这两道题都属于多项式除以单项式的运算，解题思路如下：①回忆多项式除以单项式的运算法则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加；②计算单项式除以单项式时，遵循同底数幂的除法规则（底数不变，指数相减），同时注意带负号的运算要正确处理符号，避免符号错误。
【解析】
(1) 根据多项式除以单项式法则拆分计算：
原式$=mx÷ m + my÷ m + mz÷ m$
分别计算每一项的商，约去公因式$m$后得：$x+y+z$
(2) 拆分多项式分别除以单项式，注意处理负号：
原式$=16x^3÷(-4x^2) + (-24x^2)÷(-4x^2)$
计算第一项：$16÷(-4)=-4$，$x^3÷ x^2=x^{3-2}=x$，因此第一项为$-4x$；
计算第二项：负负得正，$24÷4=6$，$x^2÷ x^2=1$，因此第二项为$+6$；
相加得结果：$-4x+6$
【答案】
(1) $\boldsymbol{x+y+z}$；(2) $\boldsymbol{-4x+6}$
【知识点】
多项式除以单项式、同底数幂的除法
【点评】
本题考查整式除法的基础运算，核心是熟练掌握多项式除以单项式的拆分规则，计算时重点注意符号的处理和同底数幂的指数运算，避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.85
6.若$8x^6y^4z÷ M=4x^2y^2$，则$M$所表示的单项式为()
A.$32x^8y^4z$
B.$2x^3y^2$
C.$2x^4y^2z$
D.$2x^3y^2z$
A.$32x^8y^4z$
B.$2x^3y^2$
C.$2x^4y^2z$
D.$2x^3y^2z$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先根据除法运算中“除数=被除数÷商”的关系，确定M的计算式为$M=8x^6y^4z÷4x^2y^2$。接下来运用单项式除以单项式的运算法则计算：先将系数、同底数幂分别相除作为商的因式，只在被除式中存在的字母连同它的指数直接作为商的因式，逐步计算后对应选项即可得到答案。
【解析】
根据除法各部分的关系：除数=被除数÷商，可得：
$M=8x^6y^4z÷4x^2y^2$
按照单项式除以单项式的法则分步计算：
1. 系数相除：$8÷4=2$
2. 同底数幂分别相除：$x^6÷ x^2=x^{6-2}=x^4$，$y^4÷ y^2=y^{4-2}=y^2$
3. 被除式中独有的字母z连同指数保留，作为商的因式
综上可得$M=2x^4y^2z$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
单项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查单项式除法的运算法则，解题关键是明确除法各部分的数量关系，熟练掌握单项式除法的运算规则。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据除法运算中“除数=被除数÷商”的关系，确定M的计算式为$M=8x^6y^4z÷4x^2y^2$。接下来运用单项式除以单项式的运算法则计算：先将系数、同底数幂分别相除作为商的因式，只在被除式中存在的字母连同它的指数直接作为商的因式，逐步计算后对应选项即可得到答案。
【解析】
根据除法各部分的关系：除数=被除数÷商，可得：
$M=8x^6y^4z÷4x^2y^2$
按照单项式除以单项式的法则分步计算：
1. 系数相除：$8÷4=2$
2. 同底数幂分别相除：$x^6÷ x^2=x^{6-2}=x^4$，$y^4÷ y^2=y^{4-2}=y^2$
3. 被除式中独有的字母z连同指数保留，作为商的因式
综上可得$M=2x^4y^2z$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
单项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查单项式除法的运算法则，解题关键是明确除法各部分的数量关系，熟练掌握单项式除法的运算规则。
【难度系数】
0.8
7.已知$x^a=3,x^b=5$，则$x^{4a-3b}$等于（）
A.$-44$
B.$\frac{12}{15}$
C.$\frac{27}{625}$
D.$\frac{81}{125}$
A.$-44$
B.$\frac{12}{15}$
C.$\frac{27}{625}$
D.$\frac{81}{125}$
答案
D
解析
【分析】
本题考查幂的运算性质的应用，解题时先观察待求式的指数为$4a-3b$，包含减法和乘法运算，对应逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，将待求式变形为用已知的$x^a$、$x^b$表示的形式，再代入数值计算即可。
【解析】
根据幂的运算法则逆用变形：
1. 逆用同底数幂的除法法则$x^{m-n}=x^m ÷ x^n$，可得：
$x^{4a-3b}=x^{4a} ÷ x^{3b}$
2. 逆用幂的乘方法则$x^{mn}=(x^m)^n$，可得：
$x^{4a}=(x^a)^4$，$x^{3b}=(x^b)^3$
3. 将$x^a=3$，$x^b=5$代入计算：
$(x^a)^4=3^4=81$，$(x^b)^3=5^3=125$
因此$x^{4a-3b}=81 ÷ 125=\frac{81}{125}$
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握幂的相关运算性质，尤其要注意运算法则的逆用，将待求式合理变形后结合已知条件代入求解即可。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的运算性质的应用，解题时先观察待求式的指数为$4a-3b$，包含减法和乘法运算，对应逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，将待求式变形为用已知的$x^a$、$x^b$表示的形式，再代入数值计算即可。
【解析】
根据幂的运算法则逆用变形：
1. 逆用同底数幂的除法法则$x^{m-n}=x^m ÷ x^n$，可得：
$x^{4a-3b}=x^{4a} ÷ x^{3b}$
2. 逆用幂的乘方法则$x^{mn}=(x^m)^n$，可得：
$x^{4a}=(x^a)^4$，$x^{3b}=(x^b)^3$
3. 将$x^a=3$，$x^b=5$代入计算：
$(x^a)^4=3^4=81$，$(x^b)^3=5^3=125$
因此$x^{4a-3b}=81 ÷ 125=\frac{81}{125}$
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握幂的相关运算性质，尤其要注意运算法则的逆用，将待求式合理变形后结合已知条件代入求解即可。
【难度系数】
0.8
